高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《函數(shù)性質(zhì)的靈活運用》專項測試卷（含答案）

第第④函數(shù)或函數(shù)．2.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.(2)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.【知識點3函數(shù)的周期性與對稱性常用結(jié)論】1．函數(shù)的周期性常用結(jié)論(a是不為0的常數(shù))(1)若f(x+a)=f(x)，則T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，則T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，則T=2a；(4)若f(x+a)=，則T=2a；(5)若f(x+a)=，則T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，則T=|a-b|(a≠b);2．對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線對稱.(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=-f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點對稱.(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖象關(guān)于點對稱.3．函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系(1)若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；(2)若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；(3)若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且．【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】【例1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx的定義域為R，若對?x∈R都有f3+x=f1?x，且fx在A．f4<f1C．f1<f2【變式1-1】（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校?？级＃┒x在R上的函數(shù)f（x）滿足f2?x=fx，且當(dāng)x≥1時，A．12,+∞ B．0,12 【變式1-2】（2023上·江西鷹潭·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=?x2+2ax+4,x?1,1A．?1,?12 C．?1,?12 【變式1-3】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)fx為x?1與x2?2ax+a+3中較大的數(shù)，若存在x使得fxA．?43,?1C．?∞,1?【題型2函數(shù)的最值問題】【例2】（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測）若0<x<6，則6x?x2有（A．最小值3 B．最大值3 C．最小值9 D．最大值9【變式2-1】（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)fx=bx?b+3x3在?1,1上的最小值為?3A．?∞,?4 B．9,+∞ C．?4,9【變式2-2】（2023上·廣東廣州·高一?？茧A段練習(xí)）定義一種運算mina,b=a,a≤bb,a>b，設(shè)fx=min4+2x?x2,A．?2或4 B．6 C．4或6 D．?4【變式2-3】（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若函數(shù)fx的定義域為D，如果對D中的任意一個x，都有fx>0,?x∈D，且f?xfx=1A．若0在gx定義域中，則B．若gxmaxC．若gx在0,+∞上單調(diào)遞增，則gxD．若gx定義域為R，且函數(shù)?x也是定義域為R的“類奇函數(shù)”，則函數(shù)【題型3函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用】【例3】（2023·廣東·東莞市校聯(lián)考一模）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=ax+1，若f(?2)=5，則不等式f(x)>12的解集為（A．?∞,?1C．?∞,?1【變式3-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，f(3x+1)為奇函數(shù)，g(x+2)為偶函數(shù)，f(x+1)+g(1?x)=2，f(0)=?12，則k=1102A．?51 B．52 C．4152 【變式3-2】（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)gx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx，gx在A．ff2>fC．gg2>g【變式3-3】（2023·江西吉安·江西省遂川中學(xué)?？家荒＃┤舳x在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)?2016，且x>0時，f(x)>2016A．2016 B．2017 C．4032 D．4034【題型4函數(shù)的對稱性的應(yīng)用】【例4】（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)f(x)的圖像既關(guān)于點(?1,1)對稱，又關(guān)于直線y=x對稱，且當(dāng)x∈[?1,0]時，f(x)=x2，則f17A．?194 B．?92 C．【變式4-1】（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)?？家荒＃┤艉瘮?shù)y=fx滿足fa+x+f(a?x)=2b，則說y=fx的圖象關(guān)于點a,b對稱，則函數(shù)A．(?1011,2022) B．1011,2022 C．(?1012,2023) D．1012,2023【變式4-2】（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？既＃┖瘮?shù)fx和gx的定義域均為R，且y=f3+3x為偶函數(shù)，y=gx+3+2為奇函數(shù)，對?x∈R，均有fA．615 B．616 C．1176 D．2058【變式4-3】（2023·甘肅張掖·高臺縣?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)f(x)的定義域為R，fx?1的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，f3=0，且對任意的x1,x2∈?A．?∞,1∪C．?4,?1∪1,2 【題型5對稱性與周期性的綜合應(yīng)用】【例5】（2023·四川宜賓·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx,gx的定義域為R,gx的圖像關(guān)于x=1對稱，且g①g(?3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=?4；④n=12024A．1 B．2 C．3 D．4【變式5-1】（2023·北京大興·校考三模）已知函數(shù)fx對任意x∈R都有fx+2=?fx，且f?x=?fxA．函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點k,0B．函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線x=2kC．當(dāng)x∈2,3時，D．函數(shù)y=f【變式5-2】（2023·四川綿陽·綿陽?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx的定義域為R,f1=0，且f0①f0=1；②③fx關(guān)于點1,0對稱；④i=1A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④【變式5-3】（2023·安徽合肥·合肥一中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx與g(x)的定義域均為R，f(x+1)為偶函數(shù)，且f(3?x)+g(x)=1，f(x)?g(1?x)=1，則下面判斷錯誤的是(

A．fx的圖象關(guān)于點(2,1)B．fx與gC．i=1D．i=0【題型6類周期函數(shù)】【例6】（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校考模擬預(yù)測）定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+1=12fx，且當(dāng)x∈0,1時，fxA．278 B．298 C．134【變式6-1】（2023上·湖南長沙·高三?？茧A段練習(xí)）定義域為R的函數(shù)fx滿足fx+2=2fx?1，當(dāng)x∈0,2時，fx=xA．1,2 B．1,52 C．12【變式6-2】（2022·四川內(nèi)江·校聯(lián)考二模）定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=3f(x)，當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)=x2?2x，若x∈[?4,?2]時，f(x)≥A．?∞,?1∪0,3 C．?1,0∪3,+∞ 【變式6-3】（2023上·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)fx的定義域為R，滿足fx=2fx?2，且當(dāng)x∈0,2時，fx=x2?x．若對任意A．?∞,5C．?∞,9【題型7抽象函數(shù)的性質(zhì)】【例7】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）已知fx，gx都是定義在R上的函數(shù)，對任意x，y滿足fx?y=fxA．f0=1 B．函數(shù)g2x+1C．g1+g?1=0 【變式7-1】（2023·福建寧德·福鼎市?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f′x的定義域均為R，對任意的x,y∈R，恒有①f0=0；②f′x必為奇函數(shù)；③fxA．1 B．2 C．3 D．4【變式7-2】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx對任意實數(shù)x,y恒有f(x?y)+f(x+y)=f(2x)成立，且當(dāng)x<0時，f(x)>0(1)求f(0)的值;(2)判斷fx(3)解關(guān)于x的不等式:fx【變式7-3】（2023上·廣東東莞·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx對任意實數(shù)x,y恒有fx+y=fx+fy，當(dāng)(1)判斷fx(2)判斷函數(shù)單調(diào)性，求fx在區(qū)間?3,3(3)若fx<m2?2am+2【題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例8】（2023上·河北石家莊·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ax，g(x)=b?a?x+x，a>0且a≠1，若f(1)+g(1)=52(1)求函數(shù)?(x)的解析式并判斷其奇偶性；(2)判斷函數(shù)?(x)的單調(diào)性（不需證明），并求不等式?(2x+1)+?(2x?1)≥0的解集．【變式8-1】（2023上·上?！じ咭恍？计谥校┮阎x在全體實數(shù)上的函數(shù)fx滿足：①fx是偶函數(shù)；②fx不是常值函數(shù)；③對于任何實數(shù)x、y(1)求f1和f(2)證明：對于任何實數(shù)x，都有fx+4(3)若fx還滿足對0<x<1有fx>0【變式8-2】（2023下·山西運城·高二統(tǒng)考期末）已知fx(1)證明：fx關(guān)于x=1(2)若fx（i）求a；（ii）不等式fmex【變式8-3】（2023下·廣東·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=φx的圖象關(guān)于點Pa,b成中心對稱圖形的充要條件是φa+x+φa?x(1)求c的值；(2)判斷fx在區(qū)間0,+(3)已知函數(shù)gx的圖象關(guān)于點1,1對稱，且當(dāng)x∈0,1時，gx=x2?mx+m．若對任意x1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若fx=x+aln2x?1A．?1 B．0 C．12 2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx的定義域為R，fx+2為偶函數(shù)，f2x+1A．f?12=0 B．f?1=03．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y),f(1)=1，則k=122f(k)=（A．?3 B．?2 C．0 D．14．（2021·全國·高考真題）設(shè)fx是定義域為R的奇函數(shù)，且f1+x=f?x.若f?A．?53 B．?13 C．5．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)fx=xA． B．C． D．6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(2?x)=5,g(x)?f(x?4)=7．若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，g(2)=4，則k=122fkA．?21 B．?22 C．?23 D．?247．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)fx的定義域為R，fx+1為奇函數(shù)，fx+2為偶函數(shù)，當(dāng)x∈1,2時，f(x)=ax2+bA．?94 B．?32 C．8．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=sinx+1sinA．f(x)的最小值為2 B．f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱C．f(x)的圖象關(guān)于直線x=π對稱 D．f(x)的圖象關(guān)于直線x=π9．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(?∞,0)單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足xf(x?1)≥0的x的取值范圍是（

）A．[?1,1]∪[3,+∞) B．[?3,?1]∪[0,1]C．[?1,0]∪[1,+∞) D．[?1,0]∪[1,3]參考答案【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】【例1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx的定義域為R，若對?x∈R都有f3+x=f1?x，且fx在2，+∞上單調(diào)遞減，則f1，f2與fA．f4<f1C．f1<f2【解題思路】由f3+x=f1?x【解答過程】因為對?x∈R都有f3+x=f又因為fx在2，+所以f4<f3故選：A．【變式1-1】（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校?？级＃┒x在R上的函數(shù)f（x）滿足f2?x=fx，且當(dāng)x≥1時，A．12,+∞ B．0,12 【解題思路】根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性即可.【解答過程】由f2?x=f(x)，得f(x)的對稱軸方程為x=1，故2?x?1≥x+1故選：D.【變式1-2】（2023上·江西鷹潭·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=?x2+2ax+4,x?1,1A．?1,?12 C．?1,?12 【解題思路】首先分析知，x>1，函數(shù)單調(diào)遞減，則x?1也應(yīng)為減函數(shù)，同時注意分界點處的縱坐標(biāo)大小關(guān)系即可列出不等式組，解出即可.【解答過程】顯然當(dāng)x>1時，fx=當(dāng)x?1時，fx=?x2若fx是?12,+∞故選：A.【變式1-3】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)fx為x?1與x2?2ax+a+3中較大的數(shù)，若存在x使得fxA．?43,?1C．?∞,1?【解題思路】根據(jù)絕對值函數(shù)的圖像和二次函數(shù)討論對稱軸判定函數(shù)的圖像即可求解.【解答過程】因為fx所以fx代表x?1與不妨假設(shè)g(x)=|x|?1,?(x)=g(x)的函數(shù)圖像如下圖所示：?(x)=x2?2ax+a+3①當(dāng)a<?1時，?(x)=x2?2ax+a+3需要?(?1)=(?1)2?2a(?1)+a+3=3a+4≤0則存在x使得fx故a≤?4②當(dāng)?1≤a≤1時，?(x)=x2?2ax+a+3需要?(x)即a2解得a≥1+132又1+132故?1≤a≤1時無解；③當(dāng)a>1時，?(x)=x2?2ax+a+3需要?(1)=12?2a+a+3=?a+4≤0則存在x使得fx故a≥4.綜上所述，a的取值范圍為?∞故選：B.【題型2函數(shù)的最值問題】【例2】（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測）若0<x<6，則6x?x2有（A．最小值3 B．最大值3 C．最小值9 D．最大值9【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【解答過程】令y=6x?x2=?因為0<x<6，所以當(dāng)x=3時，6x?x故選：D.【變式2-1】（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)fx=bx?b+3x3在?1,1上的最小值為?3A．?∞,?4 B．9,+∞ C．?4,9【解題思路】由已知可得當(dāng)?1≤x<1時，可得bx【解答過程】因為f1=?3，函數(shù)fx=bx?b+3所以對?x∈?1,1，f所以bx?b+3x3當(dāng)x=1時，b∈R當(dāng)?1≤x<1當(dāng)x=0或x=當(dāng)0<x<1時，b≥?3因為x2+x∈0,2，所以1x2所以b≥?9當(dāng)?1<x<0時，b≤?31+因為x2+x∈?14,0，所以所以b≤9.綜上可得，實數(shù)b的取值范圍是?9故選：D.【變式2-2】（2023上·廣東廣州·高一?？茧A段練習(xí)）定義一種運算mina,b=a,a≤bb,a>b，設(shè)fx=min4+2x?x2,A．?2或4 B．6 C．4或6 D．?4【解題思路】根據(jù)定義，先計算y=4+2x?x2在x∈?3,3上的最大值，然后利用條件函數(shù)f(x)最大值為4【解答過程】y=4+2x?x2=?x?12所以由4+2x?x2=4，解得x=2所以x∈0,2時，y=4+2x?所以要使函數(shù)f(x)最大值為4，則根據(jù)定義可知，當(dāng)t≤1時，即x=2時，2?t=4，此時解得t=?2當(dāng)t>1時，即x=0時，0?t=4，此時解得t=4故t=?2或4.故選：A.【變式2-3】（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若函數(shù)fx的定義域為D，如果對D中的任意一個x，都有fx>0,?x∈D，且f?xfx=1A．若0在gx定義域中，則B．若gxmaxC．若gx在0,+∞上單調(diào)遞增，則gxD．若gx定義域為R，且函數(shù)?x也是定義域為R的“類奇函數(shù)”，則函數(shù)【解題思路】對A，根據(jù)“類奇函數(shù)”的定義，代入x=0求解即可；對B，根據(jù)題意可得g?x對C，根據(jù)g?x對D，根據(jù)“類奇函數(shù)”的定義，推導(dǎo)Gx【解答過程】對于A，由函數(shù)gx是“類奇函數(shù)”，所以gxg?x=1，且gx>0對于B，由gxg?x=1，即g?x=1對于C，由gx在0,+∞上單調(diào)遞增，所以g?x=1gx，在x∈0,+∞上單調(diào)遞減，設(shè)t=?x∈對于D，由gxg?x=1,?x故選：C.【題型3函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用】【例3】（2023·廣東·東莞市校聯(lián)考一模）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=ax+1，若f(?2)=5，則不等式f(x)>12的解集為（A．?∞,?1C．?∞,?1【解題思路】根據(jù)條件可求得x>0時f(x)的解析式，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)繼而可求得當(dāng)x<0時f(x)的解析式，分情況解出不等式即可.【解答過程】因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(?2)=?f(2)=5，則f(2)=?5，則2a+1=?5，所以a=?3，則當(dāng)x>0時，f(x)=?3x+1，當(dāng)x<0時，?x>0，則f(x)=?f(?x)=?[?3×(?x)+1]=?3x?1，則當(dāng)x>0時，不等式f(x)>12為解得0<x<1當(dāng)x<0時，不等式f(x)>12為解得x<?1故不等式的解集為?∞故選：A.【變式3-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，f(3x+1)為奇函數(shù)，g(x+2)為偶函數(shù)，f(x+1)+g(1?x)=2，f(0)=?12，則k=1102A．?51 B．52 C．4152 【解題思路】由題意，根據(jù)函數(shù)奇偶性可得f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱、g(x)的圖象關(guān)于點(1,2)中心對稱，進而可知g(x)是以4為周期的周期函數(shù)．求出g(1)，g(2)，g(3)，g(4)，結(jié)合周期即可求解.【解答過程】因為f(3x+1)為奇函數(shù)，所以f(x+1)為奇函數(shù)，所以f(x+1)=?f(?x+1)，f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱，f(1)=0．因為g(x+2)為偶函數(shù)，所以g(x+2)=g(?x+2)，g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱．由f(x+1)+g(1?x)=2，得f(?x+1)+g(1+x)=2，則?f(x+1)+g(1+x)=2，所以g(x+1)+g(1?x)=4,g(x)+g(2?x)=4，所以g(x)的圖象關(guān)于點(1,2)中心對稱．因為g(x)的圖象關(guān)于x=2軸對稱，所以g(x)+g(2+x)=4，g(x+2)+g(x+4)=4，所以g(x+4)=g(x)，即g(x)是以4為周期的周期函數(shù)．因為f(1)=0，f(0)=?12，所以g(1)=2，g(2)=52，所以k=1102故選：D．【變式3-2】（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)gx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx，gx在A．ff2>fC．gg2>g【解題思路】利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性，判斷各選項的正負即可.【解答過程】因為fx，gx在0,+∞上單調(diào)遞減，f所以gx在R上單調(diào)遞減，fx在對于A，f2>f3對于B，g2>g3對于C，g2>g3，gx在對于D，f2>f3，gx在故選：D.【變式3-3】（2023·江西吉安·江西省遂川中學(xué)?？家荒＃┤舳x在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)?2016，且x>0時，f(x)>2016A．2016 B．2017 C．4032 D．4034【解題思路】先計算得到f(0)=2016，再構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)?2016，判斷g(x)的奇偶性得出結(jié)論．【解答過程】解：令x1=x2=0令x1=?x∴f(?x令g(x)=f(x)?2016，則gmax(x)=M?2016，∵g(?x)+g(x)=f(?x)+f(x)?4032=0，∴g(x)是奇函數(shù)，∴gmax(x)+∴M+N=4032．故選：C．【題型4函數(shù)的對稱性的應(yīng)用】【例4】（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)f(x)的圖像既關(guān)于點(?1,1)對稱，又關(guān)于直線y=x對稱，且當(dāng)x∈[?1,0]時，f(x)=x2，則f17A．?194 B．?92 C．【解題思路】用Γ表示函數(shù)y=fx的圖像，設(shè)x0,y0∈Γ，根據(jù)中心對稱性與軸對稱性，得到4+【解答過程】用Γ表示函數(shù)y=fx的圖像，對任意的x令y0=x02又函數(shù)f(x)的圖像既關(guān)于點(?1,1)對稱，且關(guān)于直線y=x對稱，所以y0,x0∈則?4+x0,4+令4+y0=174，即y此時?4+x0=?4+?1故選：B.【變式4-1】（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)?？家荒＃┤艉瘮?shù)y=fx滿足fa+x+f(a?x)=2b，則說y=fx的圖象關(guān)于點a,b對稱，則函數(shù)A．(?1011,2022) B．1011,2022 C．(?1012,2023) D．1012,2023【解題思路】求出定義域，由定義域的對稱中心，猜想a=?1012，計算出f(?1012+x)+f(?1012?x)=4046，從而求出對稱中心.【解答過程】函數(shù)定義域為{x|x≠?1,x≠?2...定義域的對稱中心為(?1012,0)，所以可猜a=?1012，則f(?1012+x)=?1012+xf(?1012?x)==1012+x故f(?1012+x)+f(?1012?x)==2×2023=4046所以y=fx的對稱中心為(?1012,2023)故選：C．【變式4-2】（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？既＃┖瘮?shù)fx和gx的定義域均為R，且y=f3+3x為偶函數(shù)，y=gx+3+2為奇函數(shù)，對?x∈R，均有fA．615 B．616 C．1176 D．2058【解題思路】由題意可以推出fx=f6?x，g【解答過程】由函數(shù)f3+3x為偶函數(shù)，則f3+3x=f3?3x，即函數(shù)fx由函數(shù)gx+3+2為奇函數(shù)，則整理可得gx+3+g?x+3=?4，即函數(shù)gx由fx+gx所以fx?4?gx解得fx所以f7所以f7g故選：B.【變式4-3】（2023·甘肅張掖·高臺縣?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)f(x)的定義域為R，fx?1的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，f3=0，且對任意的x1,x2∈?A．?∞,1∪C．?4,?1∪1,2 【解題思路】首先根據(jù)f(x?1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，得出(x)是定義在R上的奇函數(shù)，由對任意的x1，x2∈(?∞,0)，x1≠【解答過程】∵f(x?1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，∴f(x)的圖象關(guān)于點(0,0)對稱，∴f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∵對任意的x1，x2∈(?∞,0)，x1≠x2，滿足f(又f3=0所以f?3所以當(dāng)x∈?∞,?3∪0,3時，f所以由x?1fx+1≥0可得x?1<0,?3≤x+1≤0或解得?4≤x≤?1或1≤x≤2，即不等式x?1fx+1≥0故選：C.【題型5對稱性與周期性的綜合應(yīng)用】【例5】（2023·四川宜賓·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx,gx的定義域為R,gx的圖像關(guān)于x=1對稱，且g①g(?3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=?4；④n=12024A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)定義得到g?2x+2=?g2x+2【解答過程】因為g2x+2為奇函數(shù)，所以g?2x+2=?g所以gx對稱中心為2,0又因為gx的圖像關(guān)于x=1對稱，則g所以?gx+2=gx所以gx的周期T=4①g?3②因為g1=1，g?x+2=gx所以g0=g2③因為fx=g3?x因為?gx+2=gx則f4=g?1④因為fx=g3?x+1且所以fx+4=g3?x?4+1=g3?x因為f1=g2+1=1，f2所以f1所以n=12024故選：C.【變式5-1】（2023·北京大興·?？既＃┮阎瘮?shù)fx對任意x∈R都有fx+2=?fx，且f?x=?fxA．函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點k,0B．函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線x=2kC．當(dāng)x∈2,3時，D．函數(shù)y=f【解題思路】根據(jù)fx+2=?fx得到fx+2=fx?2，所以fx的周期為4，根據(jù)f?x=?fx得到fx關(guān)于x=?1【解答過程】因為fx+2=?fx，所以f所以fx又f?x=?fx，所以f?x=f又x∈?1,1時，fx=

A選項，函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點1,0B選項，函數(shù)y=fx的圖象不關(guān)于直線x=2C選項，當(dāng)x∈2,3時，x?2∈0,1，則D選項，由圖象可知y=fx又fx+2=?f故選：D.【變式5-2】（2023·四川綿陽·綿陽?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx的定義域為R,f1=0，且f0①f0=1；②③fx關(guān)于點1,0對稱；④i=1A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④【解題思路】利用特殊值法，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性進行求解即可.【解答過程】對于①，由于?x,y∈R都有f所以令x=y=0，則f0+f0因為f0≠0，所以對于②，令x=0，則fy+f?y=2f0所以?x∈R對于③，令x=1，則f1+y+f1?y即f1+x=?f1?x，所以f對于④，因為f1+x=?f1?x因為fx=f?x，所以f所以f4+x=fx在fx+y+fx?yf2+f0=2f1f(3)=f(?1)=f(1)=0,f(4)=f(0)=1，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0+(?1)+0+1=0，所以i=12023故選：D.【變式5-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx與g(x)的定義域均為R，f(x+1)為偶函數(shù)，且f(3?x)+g(x)=1，f(x)?g(1?x)=1，則下面判斷錯誤的是(

A．fx的圖象關(guān)于點(2,1)B．fx與gC．i=1D．i=0【解題思路】由f(x+1)為偶函數(shù)可得函數(shù)關(guān)于直線x=1軸對稱，結(jié)合f(3?x)+g(x)=1和f(x)?g(1?x)=1可得fx的周期為4，繼而得到g【解答過程】因為fx+1為偶函數(shù)，所以fx+1=f?x+1①，所以因為fx?g1?x又f3?x+gx=1③，②+③得f1?x所以f4+x=2?f2+x又gx=1?f3?x①代入④得f1+x+f3?x=2，故fx的圖象關(guān)于點2,1由f2+x=2?fx，f2=1可得f故i=12022因為f1與f3值不確定，故選項因為f3?x+gx所以g0+g2故i=02023故選:C.【題型6類周期函數(shù)】【例6】（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測）定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+1=12fx，且當(dāng)x∈0,1時，fxA．278 B．298 C．134【解題思路】根據(jù)已知計算出fx=12n1?2x?【解答過程】由題意得，當(dāng)x∈1,2時，故f當(dāng)x∈2,3時，故f可得在區(qū)間n,n+1n∈Z上，所以當(dāng)n≥4時，fx≤3

當(dāng)x∈72,4時，由f所以m的最小值為29故選：B.【變式6-1】（2023上·湖南長沙·高三?？茧A段練習(xí)）定義域為R的函數(shù)fx滿足fx+2=2fx?1，當(dāng)x∈0,2時，fx=xA．1,2 B．1,52 C．12【解題思路】由f（x+2）=2f（x）-1，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]的函數(shù)的解析式，分別求出（0，4]內(nèi)的四段的最小值和最大值，注意運用二次函數(shù)的最值和函數(shù)的單調(diào)性，再由t2?7t2≤f【解答過程】當(dāng)x∈(2,3),則x?2∈(0,1)，則f(x)=2f(x?2)?1=2(x?2)2?2(x?2)?1，即為f(x)=2x2?10x+11，當(dāng)x∈[3，4]，則x?2∈[1，2]，則f(x)=2f(x?2)?1=2x?2當(dāng)x∈(0,1)時,當(dāng)x=12時,f(x)取得最小值,且為?1當(dāng)x∈[1,2]時,當(dāng)x=2時,f(x)取得最小值,且為12當(dāng)x∈(2,3)時,當(dāng)x=52時,f(x)取得最小值,且為?3當(dāng)x∈[3,4]時,當(dāng)x=4時,f(x)取得最小值，且為0.綜上可得,f(x)在(0,4]的最小值為?32若x∈(0,4]時,t2則有t2解得12當(dāng)x∈(0,2)時,f(x)的最大值為1,當(dāng)x∈(2,3)時,f(x)∈[?32當(dāng)x∈[3,4]時,f(x)∈[0,1]，即有在(0,4]上f(x)的最大值為1.由fxmax≤3?t，即為1≤3?t綜上，即有實數(shù)t的取值范圍是12故選：C.【變式6-2】（2022·四川內(nèi)江·校聯(lián)考二模）定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=3f(x)，當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)=x2?2x，若x∈[?4,?2]時，f(x)≥A．?∞,?1∪0,3 C．?1,0∪3,+∞ 【解題思路】根據(jù)題意首先得得到函數(shù)的具體表達式，由x∈[?4,?2]，所以x+4∈[0,2]，所以f(x+4)=x【解答過程】因為x∈[?4,?2]，所以x+4∈[0,2因為x∈[0,2]時，所以fx+4因為函數(shù)fx滿足f所以fx+4所以fx=1又因為x∈[?4,?2]，fx故118解不等式可得t≥3或?1≤故選C.【變式6-3】（2023上·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)fx的定義域為R，滿足fx=2fx?2，且當(dāng)x∈0,2時，fx=x2?x．若對任意A．?∞,5C．?∞,9【解題思路】根據(jù)給定條件分段求解析式及對應(yīng)函數(shù)值集合，再利用數(shù)形結(jié)合即得.【解答過程】因為函數(shù)fx的定義域為R，滿足f且當(dāng)x∈0,2時，f當(dāng)x∈(2,4]，時，x?2∈(0,2]，則f(x)=2f(x?2)=2x?2當(dāng)x∈(4,6]，時，x?4∈(0,2]，則f(x)=4f(x?2)=4x?2?2當(dāng)x∈(?2,0]，時，x+2∈(0,2]，則f(x)=1作出函數(shù)fx對任意x∈?∞,m，都有fx≤3則ft=3，所以?4t?52+4=3結(jié)合圖象知m的最大值為92，即m的取值范圍是?故選：C.【題型7抽象函數(shù)的性質(zhì)】【例7】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）已知fx，gx都是定義在R上的函數(shù)，對任意x，y滿足fx?y=fxA．f0=1 B．函數(shù)g2x+1C．g1+g?1=0 【解題思路】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可判斷AC，取fx=sin2π3x,gx=cos2π3x可判斷B，對于D，通過觀察選項可以推斷【解答過程】解：對于A，令x=y=0，代入已知等式得f0=f0對于B，取fx=sin2π因為g3=cos2π所以函數(shù)g2x+1的圖象不關(guān)于點1,0對于C，令y=0，x=1，代入已知等式得f1可得f11?g0=?g1f0再令x=0，代入已知等式得f?y將f0=0，g0=1代入上式，得令x=1，y=?1，代入已知等式，得f2因為f?1=?f1又因為f2=?f?2因為f1≠0，所以對于D，分別令y=?1和y=1，代入已知等式，得以下兩個等式：fx+1=fx兩式相加易得fx+1+fx?1即：fx有：?fx即：fx?1=fx+2因為f1=1，所以f?2=1，所以所以f1所以n=12023故選：D.【變式7-1】（2023·福建寧德·福鼎市校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f′x的定義域均為R，對任意的x,y∈R，恒有①f0=0；②f′x必為奇函數(shù)；③fxA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】利用賦值法可判斷①；利用賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性定義判斷②；賦值，令y=x，得出f2x+f0≥0，變量代換可判斷③；利用賦值法求出【解答過程】令x=y=0，則由fx+y+fx?y故f(0)=0或f0當(dāng)f(0)=0時，令y=0，則f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0，則f(x)=0，故f′(x)=0，函數(shù)當(dāng)f(0)=1時，令x=0，則f(y)+f(?y)=2f(0)f(y)，所以f?y則?f′(?y)=f′綜合以上可知f′令y=x，則f2x+f0由于x∈R，令t=2x,t∈R，即ft對于D，若f1=12，令x=1,y=0，則令x=y=1，則f2+f0令x=2,y=1，則f3+f1令x=3,y=1，則f4+f2令x=4,y=1，則f5+f3令x=5,y=1，則f6+f4令x=6,y=1，則f7+f5令x=7,y=1，則f8+f6??，由此可得f(n),n∈N?的值有周期性，且6個為一周期，且故n=12023即正確的是②③④，故選：C.【變式7-2】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx對任意實數(shù)x,y恒有f(x?y)+f(x+y)=f(2x)成立，且當(dāng)x<0時，f(x)>0(1)求f(0)的值;(2)判斷fx(3)解關(guān)于x的不等式:fx【解題思路】（1）根據(jù)題意，令x=0,y=0，即可求得f(0)=0；（2）令x=0，得到f(?y)=?f(y)，所以fx（3）化簡不等式為fx2?(a+2)x>f(?2a)，結(jié)合函數(shù)【解答過程】（1）解：因為函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y恒有f(x?y)+f(x+y)=f(2x)成立，令x=0,y=0，則f(0)+f(0)=f(0)，所以f(0)=0.（2）解：函數(shù)fx為R證明:令x=0，則f(?y)+f(y)=f(0)=0，所以f(?y)=?f(y)，故fx任取x1,x2∈因為當(dāng)x<0時，f(x)>0，所以fx所以fx=fx1?x2>0，即（3）解：根據(jù)題意，可得fx由（2）知fx在R上單調(diào)遞減，所以x即x2?(a+2)x+2a<0，可得當(dāng)a>2時，原不等式的解集為(2,a)；當(dāng)a=2時，原不等式的解集為?；當(dāng)a<2時，原不等式的解集為(a,2).【變式7-3】（2023上·廣東東莞·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx對任意實數(shù)x,y恒有fx+y=fx+fy，當(dāng)(1)判斷fx(2)判斷函數(shù)單調(diào)性，求fx在區(qū)間?3,3(3)若fx<m2?2am+2【解題思路】（1）令x=y=0，求得f0=0，再令y=?x，從而得（2）設(shè)x1,x2∈R且（3）根據(jù)函數(shù)fx<m2?2am+2對所有的x∈?1,1，a∈?1,1恒成立，說明f【解答過程】（1）fx令x=y=0，則f0+0=2f0令y=?x，則fx?x所以：f?x=?fx所以函數(shù)fx（2）fx在R任取x1,x2fx2?f所以fx在R當(dāng)x∈?3,3時，f所以當(dāng)x=?3時，fx有最大值為f因為f3=f2故fx在區(qū)間?3,3上的最大值為6（3）由（2）知fx在區(qū)間?1,1所以fx因為fx<m2?2am+2即m2?2am>0對任意令ga=?2am+m2，則解得：m>2或m<?2.故m的取值范圍為?∞,?2∪【題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例8】（2023上·河北石家莊·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ax，g(x)=b?a?x+x，a>0且a≠1，若f(1)+g(1)=52(1)求函數(shù)?(x)的解析式并判斷其奇偶性；(2)判斷函數(shù)?(x)的單調(diào)性（不需證明），并求不等式?(2x+1)+?(2x?1)≥0的解集．【解題思路】（1）由f(1)+g(1)=52、f(1)?g(1)=32代入可解出a、b，得到?(x)，再計算（2）分別判斷?(x)中每一部分的單調(diào)性可得?(x)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解決該不等式即可得.【解答過程】（1）由f(1)+g(1)=52，f(1)?g(1)=32，即有即f(x)=2x，g(x)=?2其定義域為R，?(?x)=2故?(x)為奇函數(shù).（2）?(x)=2x?2?x+x，由2xx在R上單調(diào)遞增，故?(x)在R上單調(diào)遞增，由?(2x+1)+?(2x?1)≥0，且?(x)為奇函數(shù)，即有?(2x+1)≥??(2x?1)=?1?2x即有2x+1≥1?2x，解得x≥0，故該不等式的解集為xx≥0【變式8-1】（2023上·上海·高一?？计谥校┮阎x在全體實數(shù)上的函數(shù)fx滿足：①fx是偶函數(shù)；②fx不是常值函數(shù)；③對于任何實數(shù)x、y(1)求f1和f(2)證明：對于任何實數(shù)x，都有fx+4(3)若fx還滿足對0<x<1有fx>0【解題思路】（1）取x=1，y=0代入計算得到f1=0，取y=0得到（2）取y=1，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)得到fx+2=?fx（3）根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性計算f13+f23+?+f123=0，取x=y=【解答過程】（1）f取x=1，y=0得到f1=f1取y=0得到fxfx不是常值函數(shù)，故f（2）fx+y取y=1得到fx+1fx是偶函數(shù)，故fx+1=?ffx+4（3）fx+2+fx取x=?13，則f5取x=?23，則f4故f7f2=?f0=?1，故f1取x=y=13得到取x=13，y=?1f13>0，ff1【變式8-2】（2023下·山西運城·高二統(tǒng)考期末）已知fx(1)證明：fx關(guān)于x=1(2)若fx（i）求a；（ii）不等式fmex【解題思路】（1）代入驗證f(x)=f(2?x)即可求解，（2）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合對稱性求解a=2，分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為m>ex【解答過程】（1）證明：因為fx所以f(2?x)=e所以f(x)=f(2?x)，所以f(x)關(guān)于x=1對稱.（2）（?。┤稳1,f==(∵1<x1<x∴f(x所以f(x)在1,+∞上單調(diào)遞增，又f(x)關(guān)于x=1對稱，則在?所以f(x)所以a=2.（單調(diào)性也可以用單調(diào)性的性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷、導(dǎo)數(shù)證明）（ⅱ）不等式f(m(e等價于(m(ex即m>e令F(x)=ex?令ex+2=n,n∈2,+∞，則因為n∈2,+∞,n?4+5n所以gn所以m>52【變式8-3】（2023下·廣東·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=φx的圖象關(guān)于點Pa,b成中心對稱圖形的充要條件是φa+x+φa?x(1)求c的值；(2)判斷fx在區(qū)間0,+(3)已知函數(shù)gx的圖象關(guān)于點1,1對稱，且當(dāng)x∈0,1時，gx=x2?mx+m．若對任意x【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)的對稱性得到關(guān)于c的方程，解出即可求出函數(shù)的對稱中心；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷函數(shù)f(x)單增,（3）問題轉(zhuǎn)化為g(x)在[0,2]上的值域A?[?2,4]，通過討論m的范圍，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．【解答過程】（1）由于f(x)的圖象的對稱中心為?1,c，則f(?1+x)+f(?1?x)=2c，即(x?1)?6整理得?2=2c，解得：c=?1，故f(x)的對稱中心為(?1,?1)；（2）函數(shù)f(x)在(0,+∞設(shè)0<x1<x2，則fx1?fx2=x1?（3）由已知，g(x)的值域為f(x)值域的子集，由（2）知f(x)在[1,5]上遞增，且f(1)=?2,f5=4，故f(x)的值域為[?2,于是原問題轉(zhuǎn)化為g(x)在[0,2]上的值域A?[?2,4]，當(dāng)m2≤0即m≤0時，g(x)在[0,注意到g(x)=x2?mx+m可知g(x)在(1,2]上亦單調(diào)遞增，故g(x)在[0，2]遞增，又g(0)=m，g2=2?g(0)=2?m，故A=[m,2?m][m,2?m]?[?2，4]，∴m≥?2且2?m≤4，解得?2≤m≤0，當(dāng)0<m2<1即0<m<2時，g(x)在(0,m2又g(x)過對稱中心(1,1)，故g(x)在(1,2?m2)遞增，在(2?故此時A=[min{g2，g(m2欲使A?[?2，4]，只需g(2)=2?g(0)=2?m≥?2g(m2解不等式得：2?23≤m≤4，又0<m<2，此時當(dāng)m2≥1即m≥2時，g(x)在[0,1]遞減，在(1,由對稱性知g(x)在[0,2]上遞減，于是A=[2?m,m]，則[2?m,m]?[?2，4]，故2?m≥?2m≤4，解得：2≤m≤4綜上：實數(shù)m的取值范圍是[?2,4]．1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若fx=x+aln2x?1A．?1 B．0 C．12 【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出a值，再檢驗即可.【解答過程】因為f(x)為偶函數(shù)，則f(1)=f(?1)，∴(1+a)ln當(dāng)a=0時，fx=xln2x?12x+1，2x?1則其定義域為x|x>12或f?x故此時fx故選：B.2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx的定義域為R，fx+2為偶函數(shù)，f2x+1A．f?12=0 B．f?1=0【解題思路】推導(dǎo)出函數(shù)fx是以4為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出f【解答過程】因為函數(shù)fx+2為偶函數(shù)，則f2+x=f因為函數(shù)f2x+1為奇函數(shù)，則f1?2x=?f所以，fx+3=?fx+1故函數(shù)fx是以4因為函數(shù)Fx=f2x+1故f?1故選：B.3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y),f(1)=1，則k=122f(k)=（A．?3 B．?2 C．0 D．1【解題思路】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)fx的一個周期為6，求出函數(shù)一個周期中的f【解答過程】[方法一]：賦值加性質(zhì)因為fx+y+fx?y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f?y=