大一微積分考前復習2

總復習二第二章極限與連續(xù)

1、正確理解數列極限與函數極限的定義，能用定義證明簡單函數的極限.

2.

熟練掌握極限存在的充要條件，會用充要條件判定分段函數在分段點的極限的存在性.證明因為所以不存在

例1、證明

不存在

設則有(2)(3)(4)(1)3熟練掌握極限的四則運算法則熟練掌握極限存在的準則.

準則I設函數f(x)，g(x)，h(x)在點x0的某空心鄰域內滿足條件（1）

g(x)≤f(x)≤h(x)（2）則有準則II單調有界數列必有極限.5、熟練掌握重要極限

(1)用四則運算法則求極限.(2)用“適當變型法”求極限.(3)用重要極限求極限.(4)用無窮小量的性質求極限.(5)用極限存在的充要條件來確定分段函數在分段點處的極限.6、熟練掌握求極限的方法

7.理解無窮小量與無窮大量的定義。

(1)以零為極限的變量叫做無窮小量.(2)絕對值可以無限增大的變量叫做無限大量.8.熟記無窮小的性質，熟練掌握用性質求極限的方法.

性質1有限個無窮小量的和是無窮小量.

性質2有限個無窮小量的乘積是無窮小量.

性質3有界變量與無窮小量的乘積是無窮小量.設f(x)和g(x)為同一變化過程中的無窮小量，

(1)如果0<K<＋∞，則稱f(x)和g(x)為此變化過程中的同階無窮小量；

(2)如果K＝0，則在此變化過程中，稱f(x)是比g(x)高階的無窮小量，簡稱f(x)是g(x)的高階無窮小量，記作f(x)＝o(g(x))；

(3)如果K＝∞，則在此變化過程中，稱f(x)是比g(x)低階的無窮小量，簡稱f(x)是g(x)的低階無窮小量.9.理解無窮小的階的概念，會比較無窮小的階.

一些常見的等價無窮小量例2、求下列各極限

(1)解

(2)解

(3)解

(4)解

(5)解

(6)解

(7)解

(8)解若

求k的值所以當x3時

x3與x2

2xk是同階的無窮小量

因此k3

例3、

解因為例4、

當x

0時

無窮小量xsin

x2是x的幾階無窮小量？所以當x0時

xsin

x2與x是等價無窮小量

解因為1、

下列極限存在的有()

(B)

(C)

(D)例5、選擇題

(B)

(C)

(D)

(A)

(A)

提示

答A

2

下列極限不正確的是().

(A)不存在

這是因為

(B)當x0

時

(C)當x0

時

(D)當x

時

(B)

(C)

(D)(A)答

A

3

f(x)在點x

x0處有定義

是當x

x0時

f(x)有極限的()

(A)必要條件

(B)充分條件

(C)充分必要條件

(D)無關的條件

答

D

函數f(x)在x0點的極限與函數f(x)在x0點的定義情況無關

(A)1

(B)0

(C)2

(D)答

C

十、函數在一點連續(xù)的定義；

定義1設函數)(xf在)(0xUd內有定義,如果0lim0=D?Dyx

,則稱函數)(xf在點0x連續(xù)。

定義2設函數)(xf在)(0xUd內有定義,如果

,則稱函數)(xf在點0x連續(xù)。

2.間斷點—函數的不連續(xù)點十一．初等函數的連續(xù)性

(1)、連續(xù)函數經過有限次四則運算后得到的函數仍為連續(xù)函數．

(2)、連續(xù)函數經過有限次復合運算后得到的復合函數仍為連續(xù)函數．

(3)、嚴格單調的連續(xù)函數的反函數仍為嚴格單調的連續(xù)函數．

(4)、基本初等函數在其定義域內連續(xù)．

(5)、一切初等函數在其定義區(qū)間內都連續(xù)。十二．閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質在閉區(qū)間上連續(xù)，則(1)有界性定理：若函數它在上有界．

(2)最大值和最小值定理：若函數在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上必能取得最大值和最小值．

(3)介值定理：若函數在閉區(qū)間上連續(xù)，則它必取得介于端點函數值f（a）與f（b）之間的一切值C.(4)根的存在定理：若函數在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則方程在（a,b）內至少。有一個實根例6、證明下列函數y3x2

1在(

)內是連續(xù)函數。從而y3x2

1在(

)內是連續(xù)函數

解因為所以y3x21在(

)內任意點處都連續(xù)

例7、函數在其定義域內是否連續(xù)？

解、函數的定義域為[

3,3]

因為f(1)

|

1|

1

而所以函數在x1處不連續(xù)因此函數在定義域內不連續(xù)

例8、解因為所以令f(0)1能使f(x)在點x0處連續(xù)給f(0)補充定義一個什么數值

能使在點x0處連續(xù)？例9、設問當k為何值時

函數f(x)在其定義域內連續(xù)？解因為函數在區(qū)間(,0)和(0,)內是連續(xù)，所以當k1時

函數f(x)在其定義域內連續(xù)又在x0處

f(0)k

f(00)

f(00)

1，例10、設解因為函數在區(qū)間(,0)和(0,)內是連續(xù)，所以函數f(x)在x0處是連續(xù)的

問當k為值時

函數f(x)在其定義域內連續(xù)？所以當k2時

函數f(x)在其定義域內連續(xù)

又當k2時

f(0)2

并有例11、證明方程y

x4

3x2

7x

10在(1

2)內至少有一個實根證明設f(x)x4

3x2

7x

10

則f(x)是閉區(qū)間[12]上的連續(xù)函數，且f(1)5

0

f(2)18

0。根的存在定理知

至少有一點x

(1

2)使f(x)0

即方程y

x4

3x2

7x

10在(1

2)內至少有一個實根例12、解因為是初等函數且在x

0有定義求所以例13、選擇題

(A)是連續(xù)函數

(B)有界函數

(C)有最大值與最小值

(D)有最大值無最小值

函數在x0處取得最大值

無最小值

所以(D)是正確的

1、

當|x|1時

()

答

A

B

D

是初等函數

在其定義域[1,1]內是連續(xù)有界當然在(1,1)內也是連續(xù)的有界的

所以(A)、(B)正確

(A