高等數(shù)學(xué)高等教育出版社第六版第八章D82數(shù)量積與向量積培訓(xùn)資料_第1頁(yè)
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*三、向量的混合積第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積數(shù)量積向量積*混合積第八章一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動(dòng),1.定義設(shè)向量的夾角為,稱記作數(shù)量積(點(diǎn)積).引例.設(shè)一物體在常力F作用下,位移為s,則力F所做的功為記作故2.性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,則有

例1.

證明三角形余弦定理證:如圖.則設(shè)4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時(shí),由于兩向量的夾角公式,得例2.

已知三點(diǎn)

AMB.解:則求故為

).求單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)該平面域的流體的質(zhì)量m

(流體密度例3.

設(shè)均勻流速為的流體流過(guò)一個(gè)面積為A的平面域,與該平面域的單位垂直向量解:單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)的體積:的夾角為且為單位向量二、兩向量的向量積引例.設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn),有一個(gè)與杠桿夾角為由力學(xué)知識(shí)：其方向按右手規(guī)則矩是一個(gè)向量

M:的力F作用在杠桿的P點(diǎn)上,則力F作用在杠桿上的力1.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,

稱引例中的力矩思考:右圖三角形面積S＝2.性質(zhì)為非零向量,則∥3.運(yùn)算律(2)分配律(3)結(jié)合律4.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則向量積的行列式計(jì)算法(行列式計(jì)算見(jiàn)上冊(cè)P355～P358)例4.已知三點(diǎn)角形

ABC的面積.解:如圖所示,求三*三、向量的混合積1.定義已知三向量稱數(shù)量混合積.記作幾何意義為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其2.混合積的坐標(biāo)表示設(shè)3.性質(zhì)(1)三個(gè)非零向量共面的充要條件是(2)輪換對(duì)稱性:(可用三階行列式推出)內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:叉積:混合積:2.向量關(guān)系:思考與練習(xí)1.設(shè)計(jì)算并求夾角

的正弦與余弦.答案:2.用向量方法證明正弦定理:證:由三角形面積公式所以因練習(xí)題1.已知向量的夾角且解：在頂點(diǎn)為

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