湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡教育集團(tuán)2024屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題 含解析

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2024年湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡教育集團(tuán)高考三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則集合（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位數(shù)為（

）A．14 B．15 C．16 D．184．已知，則（

）A． B． C． D．5．已知向量，，若，則（

）A． B．1 C． D．26．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值507．已知三棱錐中，平面，4，3，，7，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，若直線上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足：過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且使得四邊形為正方形，則正實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C．3 D．7二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．某校高一年級(jí)共有男女學(xué)生500人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為50人的樣本，若樣本中男生有30人，則該校高一年級(jí)女生人數(shù)是200B．?dāng)?shù)據(jù)1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位數(shù)為10C．線性回歸方程中，若線性相關(guān)系數(shù)越大，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)D．根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.0510．瑞士數(shù)學(xué)家JakobBernoulli于17世紀(jì)提出如下不等式：，有，請(qǐng)運(yùn)用以上知識(shí)解決如下問(wèn)題：若，，，則以下不等式正確的是（

）A． B．C． D．11．若定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有且，則下列判斷正確的有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．在定義域上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．根據(jù)國(guó)家“鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”提出的“推動(dòng)城鄉(xiāng)義務(wù)教育一體化發(fā)展，高度重視農(nóng)村義務(wù)教育”，某師范大學(xué)4名畢業(yè)生主動(dòng)申請(qǐng)到某貧困山區(qū)的鄉(xiāng)村小學(xué)工作，若將這4名畢業(yè)生分配到該山區(qū)的3所鄉(xiāng)村小學(xué)，每所學(xué)校至少分配1人，則不同分配方案的種數(shù)為．13．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，，則的取值范圍為．14．如圖所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一條直角邊在平面內(nèi)，另一條直角邊長(zhǎng)為且，若平面上存在點(diǎn)，使得的面積為，則線段長(zhǎng)度的最小值為．

四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知，(1)求角A.(2)若，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)D滿足，且BC平分，求面積的取值范圍.16．已知某科技公司的某型號(hào)芯片的各項(xiàng)指標(biāo)經(jīng)過(guò)全面檢測(cè)后，分為Ⅰ級(jí)和Ⅱ級(jí)，兩種品級(jí)芯片的某項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示：

若只利用該指標(biāo)制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值K，按規(guī)定須將該指標(biāo)大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機(jī)，小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機(jī)．若將Ⅰ級(jí)品中該指標(biāo)小于或等于臨界值K的芯片錯(cuò)誤應(yīng)用于A型手機(jī)會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失800元；若將Ⅱ級(jí)品中該指標(biāo)大于臨界值K的芯片錯(cuò)誤應(yīng)用于B型手機(jī)會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失400元；假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)設(shè)臨界值時(shí)，將1個(gè)Ⅰ級(jí)品芯片和1個(gè)Ⅱ級(jí)品芯片分別應(yīng)用于A型手機(jī)和B型手機(jī)．求兩部手機(jī)有損失的概率（計(jì)算結(jié)果用小數(shù)表示）；(2)設(shè)且，現(xiàn)有足夠多的芯片Ⅰ級(jí)品、Ⅱ級(jí)品，分別應(yīng)用于A型手機(jī)、B型手機(jī)各1萬(wàn)部的生產(chǎn)，試估計(jì)芯片生產(chǎn)商損失費(fèi)用的最小值．17．已知直三棱柱中，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，.(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成的角的余弦值為?18．已知函數(shù)．(1)判斷并證明的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(2)記在上的零點(diǎn)為，求證;（i）是一個(gè)遞減數(shù)列（ii）．19．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，直線與雙曲線交于兩點(diǎn).(1)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，求；(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩點(diǎn)在雙曲線的左支上，則在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值.若存在，請(qǐng)求出面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．D【分析】利用不等式性質(zhì)、交集、并集、補(bǔ)集定義求解．【詳解】由題意，，所以.故選：D.2．A【分析】先利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)椋栽搹?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A3．D【分析】根據(jù)題意，由百分位數(shù)的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序可得，共8個(gè)樣本數(shù)據(jù)，則上四分位數(shù)即第百分位數(shù)為，即為.故選：D4．A【分析】使用誘導(dǎo)公式和二倍角公式，結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】.故選：A.5．B【分析】先出求，再根據(jù)即可得出的值，最后求的模.【詳解】由題意可知，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，即，解?所以.故選：B.6．B【分析】由，利用等差數(shù)列的性質(zhì)推出，再利用基本不等式計(jì)算即得.【詳解】由可得，因則等差數(shù)列的公差，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值25.故選：B.7．B【分析】由題意畫出圖形，利用正弦定理求出的外接圓的半徑，再由勾股定理求出三棱錐外接球的半徑，代入球的表面積公式得答案．【詳解】如圖，設(shè)的外心為，過(guò)作底面的垂線，使，則為三棱錐的外接球的球心，在中，由3，，7，得，故，設(shè)的外接圓的半徑為，則，，．三棱錐外接球的表面積為．故選：B8．C【分析】根據(jù)直線與圓相切得圓心與點(diǎn)的距離，即結(jié)合正方形的性質(zhì)可得符合的點(diǎn)的位置，從而可得結(jié)論.【詳解】由可知圓心，半徑為2，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危疫呴L(zhǎng)為圓的半徑2，所以，所以直線上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，即，所以圓心到直線的距離為，所以，解得或，又，所以．故選：C.9．ABD【分析】利用分層抽樣計(jì)算判斷A；求出第75百分位數(shù)判斷B；利用線性相關(guān)系數(shù)的意義判斷C；利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想判斷D.【詳解】對(duì)于A，該校高一年級(jí)女生人數(shù)是，A正確；對(duì)于B，由，得第75百分位數(shù)為，B正確；對(duì)于C，線性回歸方程中，線性相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05，D正確.故選：ABD10．ABC【分析】不妨設(shè)，根據(jù)選項(xiàng)C的結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合題目不等式結(jié)論即可判定正確，再根據(jù)題目不等式結(jié)論證明得及，相加即可判斷B正確，結(jié)合C判斷A正確，得解.【詳解】不妨設(shè)，先證明C：證明在上單調(diào)遞減即可.，即要證明，即要證明，因?yàn)椋米C，所以，即，故選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤；再證明B：，因此，同理，故，且，所以AB正確.故選：ABC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．11．BCD【分析】直接證明，然后逐個(gè)判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由知恒成立，再由知恒成立.設(shè)，則，且.故，.由于，故.而，故歸納即知.又因?yàn)閷?duì)有，故歸納即知.特別地有，故，所以對(duì)有.這就得到了，從而.設(shè)有無(wú)理數(shù)，有理數(shù)數(shù)列使得，由于是連續(xù)的，故，而，故.這就表明.由于，故不是奇函數(shù)，故其圖象并不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A錯(cuò)誤；由于在定義域上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，故B，C正確；對(duì)于D，由可得，從而，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：值得注意的是，如果去掉是連續(xù)函數(shù)的條件，并承認(rèn)選擇公理，則此時(shí)不能說(shuō)明對(duì)無(wú)理數(shù)，有，且不一定單調(diào)遞增.事實(shí)上，此時(shí)可以構(gòu)造一個(gè)的滿足的線性映射，再取，即可得到反例.12．36【分析】把4人分成3組，再分配到3所學(xué)校即可.【詳解】依題意，有2人去同一所學(xué)校，所以不同分配方案的種數(shù)為.故答案為：3613．【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，討論四種情況，即可求出的取值范圍.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：則，所以，當(dāng)時(shí)，有，即，此時(shí)的取值范圍為，當(dāng)時(shí)，有，即，此時(shí)的取值范圍為，當(dāng)時(shí)，有，即，此時(shí)的取值范圍為，當(dāng)時(shí)，有，即，此時(shí)的取值范圍為，綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.14．/【分析】由題意，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，利用線面垂直的性質(zhì)可得，進(jìn)而，由三角形的面積公式可得，即可求解.【詳解】在中，，則，又平面，平面平面，所以平面，連接，，所以，得，設(shè)（），則，即，得，當(dāng)即即時(shí)，取到最小值1，此時(shí)取到最小值.故答案為：

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是利用勾股定理和三角形面積公式計(jì)算得到、，而，即為所求.15．(1)(2)【分析】（1）由兩角和的正切公式結(jié)合題意化簡(jiǎn)得，即可得解；（2）設(shè)，由正弦定理把邊化成角，再用三角形面積公式得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解即可.【詳解】（1）由題，即，即，所以，即，所以，又，所以.（2）由題（1）知，又，設(shè)，由中，，故，則，由正弦定理有，，則，故面積，令，則，又，所以，知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，故面積的取值范圍為.16．(1)0.163(2)136萬(wàn)元【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，I級(jí)品中該指標(biāo)小于或等于60的頻率和II級(jí)品中該指標(biāo)大于60的頻率，即可求解；（2）由題意分別計(jì)算A、B型手機(jī)的損失費(fèi)用可得，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）臨界值時(shí)，I級(jí)品中該指標(biāo)小于或等于60的頻率為，II級(jí)品中該指標(biāo)大于60的頻率為0.1，故將1個(gè)I級(jí)品芯片和1個(gè)II級(jí)芯片分別應(yīng)用于A型手機(jī)和B型手機(jī)，兩部手機(jī)有損失的概率為：；（2）當(dāng)臨界值時(shí)，I級(jí)品中該指標(biāo)小于或等于臨界值的概率為，可以估計(jì)10000部A型手機(jī)中有部手機(jī)芯片應(yīng)用錯(cuò)誤；II級(jí)品中該指標(biāo)大于臨界值的概率為，可以估計(jì)10000部B型手機(jī)中有部手機(jī)芯片應(yīng)用錯(cuò)誤；故可以估計(jì)芯片生產(chǎn)商的損失費(fèi)用又，所以，即芯片生產(chǎn)商損失費(fèi)用的最小值為136萬(wàn)元.17．(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在.【分析】（1）先用線面垂直的判定定理證明平面，再使用面面垂直的判定定理即可；（2）使用空間向量法直接求解兩平面的夾角（用表示），再根據(jù)夾角條件，解關(guān)于的方程即可.【詳解】（1）由于在直三棱柱中，有平面，而在平面內(nèi)，故.同時(shí)有，且，故.由于，，且和在平面內(nèi)交于點(diǎn)，故平面.由于在平面內(nèi)，故.取的中點(diǎn)，由于分別是和的中點(diǎn)，故，而，故，即.由于分別是和的中點(diǎn)，可以得到，所以有平行四邊形，故.設(shè)和交于點(diǎn)，由于，，，從而得到全等于，故.這就得到，從而，即.而，故.由于，即，而，和在平面內(nèi)交于點(diǎn)，故平面.由于平面，在平面內(nèi)，故平面平面.（2）有，又因?yàn)槠矫妫驮谄矫鎯?nèi)，故，.由于兩兩垂直，故我們能夠以為原點(diǎn)，分別作為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.由于題設(shè)條件和需要求證的結(jié)論均只依賴于線段間的比值，不妨設(shè)，這就得到，，，，，，，.據(jù)題設(shè)有，顯然，此時(shí).從而有，，，.設(shè)和分別是平面和平面的法向量，則，.即，，從而可取，.此時(shí)平面與平面所成的角的余弦值為，故條件等價(jià)于，即，解得，所以存在，使得平面與平面所成的角的余弦值為.18．(1)當(dāng)為奇數(shù)數(shù)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)和零點(diǎn)的存在性定理可知其在內(nèi)有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，分類討論為奇、偶數(shù)時(shí)零點(diǎn)的情況，即可下結(jié)論；（2）（i）易知，當(dāng)時(shí)可得，利用的單調(diào)性解不等式可得，即可證明；（ii）由（i），求和可得；由得，利用放縮法和函數(shù)單調(diào)性解不等式可證得，求和，結(jié)合等比數(shù)列數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可證明.【詳解】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).證明如下：當(dāng)時(shí)，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，若為奇數(shù)，，則，此時(shí)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；若為偶數(shù)，設(shè)，則，方程有一個(gè)解，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，此時(shí)在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).（2）（i）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在在內(nèi)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，則，故，所以數(shù)列是一個(gè)遞減數(shù)列；（ii）由（i）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，有，所以，求和可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，故，則，得，即，即，即，即，即，即，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，均有成立，求和可得.綜上，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在證明導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式綜合問(wèn)題時(shí)，常常將上一問(wèn)的結(jié)論直接應(yīng)用到證明當(dāng)中去，再綜合考慮不等式特征合理選取方法巧妙放縮求和，即可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題求解.19．(1)；(2)存在，.【分析】（1）先利用點(diǎn)在雙曲線上和雙曲線的性質(zhì)求出雙曲線方程，然后分直線的斜率存在與否討論，存在時(shí)，設(shè)出直線方程，利用韋達(dá)定理法表示出，再代入直線方程表示出，最后利用向量的數(shù)量積為零求出斜率，再代入弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)；（2）假設(shè)存在，設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理法表示出，要使為定值，則，解出后得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再用弦長(zhǎng)公式表示出三角形的面積，最后利用換元法和分離常數(shù)法結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出面積的最小值.【詳解】（1）

把代入得：，又.又，解得.雙曲線方