2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十章計(jì)數(shù)原理10.2排列與組合講義理蘇教版

§10.2排列與組合基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.排列與組合的概念知識(shí)梳理名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照

排成一列組合并成一組一定的順序2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的

的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用

表示.(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的

的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用

表示.所有排列所有組合3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)A＝_______________________＝性質(zhì)(1)0！＝

；

＝___

n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1n?。絖____________判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.(

)(2)一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后順序.(

)(3)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(

)(4)(n＋1)！－n?。絥·n！.(

)思考辨析√××√√√考點(diǎn)自測(cè)由題意可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)只能是1,3,5；分為兩步：先從1,3,5三個(gè)數(shù)中選一個(gè)作為個(gè)位數(shù)有

種情況，再將剩下的4個(gè)數(shù)字排列得到

種情況，則滿足條件的五位數(shù)有 (個(gè)).1.(2016·四川改編)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為____.答案解析72“插空法”，先排3個(gè)空位，形成4個(gè)空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為

＝4×3×2＝24.2.6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為____.答案解析243.(2016·蘇州模擬)安排6名歌手的演出順序時(shí)，要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面，則排法的種數(shù)為_____.答案解析先全排列有

，甲、乙、丙的順序有

，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的順序有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，共4種順序，所以不同排法的種數(shù)為 .4804.某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案有___種.答案解析14∴不同的選派方案有8＋6＝14(種).5.(教材改編)用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為____.答案解析48題型分類深度剖析題型一排列問(wèn)題例1

(1)3名男生，4名女生，選其中5人排成一排，則有_______種不同的排法.答案解析問(wèn)題即為從7個(gè)元素中選出5個(gè)全排列，2520(2)六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有____種.答案解析216引申探究1.本例(1)中，若將條件“選其中5人排成一排”改為“排成前后兩排，前排3人，后排4人”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？解答2.本例(1)中，若將條件“選其中5人排成一排”改為“全體站成一排，男、女各站在一起”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？相鄰問(wèn)題(捆綁法)：男生必須站在一起，是男生的全排列，有

種排法；女生必須站在一起，是女生的全排列，有

種排法；全體男生、女生各視為一個(gè)元素，有

種排法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有 (種)排法.解答3.本例(1)中，若將條件“選其中5人排成一排”改為“全體站成一排，男生不能站在一起”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？不相鄰問(wèn)題(插空法)：先安排女生共有

種排法，男生在4個(gè)女生隔成的5個(gè)空中安排共有

種排法，故共有 (種)排法.解答4.本例(1)中，若將條件“選其中5人排成一排”改為“全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？先安排甲，從除去排頭和排尾的5個(gè)位置中安排甲，有

＝5(種)排法；再安排其他人，有

＝720(種)排法.所以共有 (種)排法.解答排列應(yīng)用問(wèn)題的分類與解法(1)對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，分析問(wèn)題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過(guò)多的問(wèn)題可以采用間接法.(2)對(duì)相鄰問(wèn)題采用捆綁法、不相鄰問(wèn)題采用插空法、定序問(wèn)題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問(wèn)題的常用方法.思維升華跟蹤訓(xùn)練1由0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).求：(1)有多少個(gè)含2,3，但它們不相鄰的五位數(shù)？解答(2)有多少個(gè)含數(shù)字1,2,3，且必須按由大到小順序排列的六位數(shù)？解答題型二組合問(wèn)題例2

(1)若從1,2,3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法的種數(shù)是_____.答案解析66因?yàn)?,2,3，…，9中共有4個(gè)不同的偶數(shù)和5個(gè)不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則4個(gè)數(shù)全為奇數(shù)或全為偶數(shù)或2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，故有 (種)不同的取法.(2)要從12人中選出5人去參加一項(xiàng)活動(dòng)，A，B，C三人必須入選，則有___種不同選法.只需從A，B，C之外的9人中選擇2人，即有

＝36(種)不同的選法.36答案解析引申探究1.本例(2)中，若將條件“A，B，C三人必須入選”改為“A，B，C三人都不能入選”，其他條件不變，則不同的選法有多少種？解答2.本例(2)中，若將條件“A，B，C三人必須入選”改為“A，B，C三人只有一人入選”，其他條件不變，則不同的選法有多少種？解答3.本例(2)中，若將條件“A，B，C三人必須入選”改為“A，B，C三人至少一人入選”，其他條件不變，則不同的選法有多少種？解答組合問(wèn)題常有以下兩類題型變化(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.思維升華跟蹤訓(xùn)練2某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？從余下的34種商品中，選取2種有

＝561(種)，∴某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種.解答(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？∴某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種.解答(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？解答∴恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種.(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？解答∴至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種.(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？解答∴至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種.題型三排列與組合問(wèn)題的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)1相鄰問(wèn)題例3

(2017·揚(yáng)州月考)把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法種數(shù)為___.答案解析36命題點(diǎn)2相間問(wèn)題例4某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是______.答案解析120先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空.安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1，小品2，相聲”，“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”.對(duì)于第一種情況，形式為“□小品1歌舞1小品2□相聲□”，有 (種)安排方法；同理，第三種情況也有36種安排方法，對(duì)于第二種情況，三個(gè)節(jié)目形成4個(gè)空，其形式為“□小品1□相聲□小品2□”，有 (種)安排方法.由分類計(jì)數(shù)原理知共有36＋36＋48＝120(種)安排方法.命題點(diǎn)3特殊元素(位置)問(wèn)題例5

(2016·常州檢測(cè))從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，當(dāng)三個(gè)數(shù)字中有2和3時(shí)，2需排在3的前面(不一定相鄰)，這樣的三位數(shù)有____個(gè).51答案解析分三類：第一類，沒(méi)有2,3，由其他三個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)，有

＝6(個(gè))；第二類，只有2或3其中的一個(gè)，需從1,4,5中選兩個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)，有 (個(gè))；第三類，2,3均有，再?gòu)?,4,5中選一個(gè)，因?yàn)?需排在3的前面，所以可組成 (個(gè)).由分類計(jì)數(shù)原理，知這樣的三位數(shù)共有51個(gè).排列與組合綜合問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)相鄰問(wèn)題捆綁法.在特定條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素視為一個(gè)元素來(lái)考慮，待整個(gè)問(wèn)題排好之后，再考慮它們“內(nèi)部”的排列.(2)相間問(wèn)題插空法.先把一般元素排好，然后把特定元素插在它們之間或兩端的空當(dāng)中，它與捆綁法有同等作用.(3)特殊元素(位置)優(yōu)先安排法.優(yōu)先考慮問(wèn)題中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置.(4)多元問(wèn)題分類法.將符合條件的排列分為幾類，而每一類的排列數(shù)較易求出，然后根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出排列總數(shù).思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(1)有5名優(yōu)秀畢業(yè)生到母校的3個(gè)班去做學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流，則每個(gè)班至少去一名的不同分派方法種數(shù)為____.150答案解析(2)將甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)分別保送到北大、上海交大和浙大3所大學(xué)，若每所大學(xué)至少保送1人，甲不能被保送到北大，則不同的保送方案共有_____種.100答案解析先將五人分成三組，因?yàn)橐竺拷M至少一人，所以可選擇的只有2,2,1或者3,1,1，所以共有

(種)分組方法.因?yàn)榧撞荒鼙槐Ｋ偷奖贝?，所以有甲的那組只有上海交大和浙大兩個(gè)選擇，剩下的兩組無(wú)限制，一共有4種方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(種).現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)糾錯(cuò)心得(1)解排列、組合問(wèn)題的基本原則：特殊優(yōu)先，先分組再分解，先取后排；較復(fù)雜問(wèn)題可采用間接法，轉(zhuǎn)化為求它的對(duì)立事件.(2)解題時(shí)要細(xì)心、周全，做到不重不漏.錯(cuò)解展示典例有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從20個(gè)零件中任意取3個(gè)，那么至少有1個(gè)一等品的不同取法有________種.排列、組合問(wèn)題現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列12答案

2736返回解析

方法一將“至少有1個(gè)是一等品的不同取法”分三類：“恰有1個(gè)一等品”，“恰有2個(gè)一等品”，“恰有3個(gè)一等品”，由分類計(jì)數(shù)原理，知有 .方法二考慮其對(duì)立事件“3個(gè)都是二等品”，用間接法：

＝1136(種).答案

1136返回課時(shí)作業(yè)1.兩家夫婦各帶一個(gè)小孩一起到動(dòng)物園游玩，購(gòu)票后排隊(duì)依次入園，為安全起見(jiàn)，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個(gè)小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)為____.答案解析2412345678910111213142.(2016·鎮(zhèn)江模擬)某同學(xué)忘記了自己的QQ號(hào)，但記得QQ號(hào)是由一個(gè)1，一個(gè)2，兩個(gè)5和兩個(gè)8組成的六位數(shù)，于是用這六個(gè)數(shù)隨意排成一個(gè)六位數(shù)，輸入電腦嘗試，那么他找到自己的QQ號(hào)最多嘗試次數(shù)為____.答案解析根據(jù)題意，其QQ號(hào)共由6個(gè)數(shù)字組成，將這6個(gè)數(shù)字全排列，有

種情況，而這6個(gè)數(shù)字中有兩個(gè)5和兩個(gè)8，則共可以組成

＝180(個(gè))六位數(shù)，那么他找到自己的QQ號(hào)最多嘗試180次.18012345678910111213143.在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實(shí)施時(shí)必須相鄰，問(wèn)實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有____種.答案解析96由分步計(jì)數(shù)原理，知實(shí)驗(yàn)編排共有2×48＝96(種)方法.12345678910111213144.將A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中順序?yàn)椤癆，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，這樣的排列數(shù)有____種.答案解析40由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，12345678910111213145.(2017·南京質(zhì)檢)某校高二年級(jí)共有6個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為____.90答案解析123456789101112131412345678910111213146.(2016·南京師大附中模擬)用1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)夾在兩個(gè)奇數(shù)之間的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為___.答案解析首先排兩個(gè)奇數(shù)1,3，有

種排法，再在2,4中取一個(gè)數(shù)放在1,3排列之間，有

種方法，然后把這3個(gè)數(shù)作為一個(gè)整體與剩下的另一個(gè)偶數(shù)全排列，有

種排法，即滿足條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為 .812345678910111213147.現(xiàn)有5名教師要帶3個(gè)興趣小組外出學(xué)習(xí)考察，要求每個(gè)興趣小組的帶隊(duì)教師至多2人，但其中甲教師和乙教師均不能單獨(dú)帶隊(duì)，則不同的帶隊(duì)方案有____種.(用數(shù)字作答)答案解析541234567891011121314第一類，把甲、乙看作一個(gè)復(fù)合元素，另外3人分成兩組，再分配到3個(gè)小組中，有

＝18(種)；第二類，先把另外的3人分配到3個(gè)小組，再把甲、乙分配到其中2個(gè)小組，有

＝36(種).根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，共有36＋18＝54(種).12345678910111213148.在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無(wú)獎(jiǎng).將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有___種.(用數(shù)字作答)答案解析分兩類：第一類：3張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券分給3個(gè)人，共

種分法；第二類：3張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券分給2個(gè)人相當(dāng)于把3張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券分兩組再分給4人中的2人，共有

種分法.總獲獎(jiǎng)情況共有 60(種).601234567891011121314答案解析9.把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有___種.先考慮產(chǎn)品A與B相鄰，把A，B作為一個(gè)元素有

種擺法，而A，B可交換位置，所以有

＝48(種)擺法，又當(dāng)A，B相鄰且又滿足A，C相鄰，有＝12(種)擺法，故滿足條件的擺法有48－12＝36(種).36123456789101112131410.若把英語(yǔ)單詞“good”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤方法共有____種.答案解析把g、o、o、d4個(gè)字母排一列，可分兩步進(jìn)行，第一步：排g和d，共有

種排法；第二步：排兩個(gè)o，共一種排法，所以總的排法種數(shù)為

＝12.其中正確的有一種，所以錯(cuò)誤的共有

－1＝12－1＝11(種).11123456789101112131411.將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有____種.(用數(shù)字作答)從左往右看，若C排在第1位，共有

＝120(種)排法；若C排在第2位，A和B有C右邊的4個(gè)位置可以選，共有

＝72(種)排法；若C排在第3位，則A，B可排C的左側(cè)或右側(cè)，共有 48(種)排法；若C排在第4,5,6位時(shí)，其排法數(shù)與排在第3,2,1位相同，故共有2×(120＋72＋48)＝480(種)排法.480答案解析123456789101112131412.2016年某通訊公司推出一組手機(jī)卡號(hào)碼，卡號(hào)的前七位數(shù)字固定，后四位數(shù)從“0000”到“9999”共10000個(gè)號(hào)碼中選擇.公司規(guī)定：凡卡號(hào)的后四位恰帶有兩個(gè)數(shù)字“6”或恰帶有兩個(gè)數(shù)字“8”的一律作為“金猴卡”，享受一定優(yōu)惠政策.如后四位數(shù)為“2663”，“8685”為“金猴卡”，求這組號(hào)碼中“金猴卡”的張數(shù).解答1234567891011121314①當(dāng)后四位數(shù)恰有2個(gè)6時(shí)，“金猴卡”共有

×9×9＝486(張)；②當(dāng)后四位數(shù)恰有2個(gè)8時(shí)，“金猴卡”也共有

×9×9＝486(張).但這兩種情況都包含了后四位數(shù)是由2個(gè)6和2個(gè)8組成的這種情況，所以要減掉

＝6，即“金猴卡”共有486×2－6＝966(張).123456789101112131413.有9名學(xué)生，其中2名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋，3名會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋，4名既會(huì)下圍棋又會(huì)下象棋.現(xiàn)在要從這9名學(xué)生中選出2名學(xué)生，一名參加象棋比賽，另一名參加圍棋比賽，共有多少種不同的選派方法？解答1234567891011121314設(shè)2名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋的同學(xué)組成集合A