2019屆浙江專版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何8.3直線平面平行的判定和性質(zhì)講義

§8.3直線、平面平行的判定和性質(zhì)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)平行的判定和性質(zhì)一、線面、面面平行的判定1.直線與平面的位置關(guān)系知識清單位置關(guān)系公共點(diǎn)個數(shù)直線在平面內(nèi)直線上所有點(diǎn)都在平面內(nèi)直線在平面外直線和平面相交直線與平面①有且僅有一個

公共點(diǎn)直線和平面②平行

直線與平面沒有公共點(diǎn)2.直線和平面平行(1)定義:直線l與平面α③沒有

公共點(diǎn),則稱直線l與平面α平行,記作l

∥α.(2)判定定理:如果④平面外

的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線

平行,那么這條直線和這個平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”).3.兩個平面平行(1)定義:⑤沒有

公共點(diǎn)的兩個平面叫做平行平面.符號表示:平面

α、平面β,若α∩β=?,則α∥β.(2)判定定理(文字語言、圖形語言、符號語言)

文字語言圖形語言符號語言判定定理1如果一個平面內(nèi)有兩條相交的直

線都平行于另一個平面,那么這

兩個平面平行(簡記為“線面平

行?面面平行”)

a?α,b?α,a∩b=P,a∥β,b∥β?α∥β判定定理2如果兩個平面同垂直于一條直

線,那么這兩個平面平行

?α∥β判定定理3平行于同一個平面的兩個平面平

行

?α∥γ二、線面、面面平行的性質(zhì)1.直線與平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個平面平行,⑥經(jīng)過這條直線

的平面和這個平面

相交,那么這條直線就和⑦交線平行

(簡記為“線面平行?線線平

行”).2.兩平面平行的性質(zhì)定理(文字語言、圖形語言、符號語言)

文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理1如果兩個平面平行,那么在一個

平面內(nèi)的所有直線都平行于另一

個平面

α∥β且a?α?a∥β性質(zhì)定理2如果兩個平行平面同時和第三個

平面相交,那么它們的交線平行

(簡記為“面面平行?線線平

行”)

α∥β且γ∩α=a且γ∩β=b?a∥b性質(zhì)定理3如果兩個平行平面中有一個垂直

于一條直線,那么另一個平面也

垂直于這條直線

α∥β且l⊥α?l⊥β線面、面面平行的判定的解題策略1.線面平行的判定方法:(1)定義法:證明直線與平面沒有公共點(diǎn),通常要

借助于反證法來證明.(2)判定定理法:在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行.(3)利用面面平行的性質(zhì)定理證明直線為一平面與兩平行平面的一條交

線.(4)向量法:證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;或證明直線的方

向向量能被平面上的兩個不共線向量線性表示.2.面面平行的判定方法:(1)定義法:證明直線與平面沒有公共點(diǎn),通常要

借助于反證法來證明.(2)判定定理法:證明一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面.方法技巧方法1(3)轉(zhuǎn)化為證明線線平行:證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平

面內(nèi)的兩條相交直線平行.(4)利用平行平面的傳遞性:若α∥β,β∥γ,則α∥γ.(5)向量法:證明兩平面的法向量共線.例1

(2016課標(biāo)全國Ⅲ,19,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).(1)證明MN∥平面PAB;(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.解題導(dǎo)引

(1)設(shè)PB的中點(diǎn)為T→利用中位線性質(zhì)得四邊形AMNT為平行四邊形→利用線面平行的判定定理得線面平行

(2)建立空間直角坐標(biāo)系→計算平面PMN的法向量→利用向量的數(shù)量積

得線面角的正弦值

解析(1)由已知得AM=

AD=2.取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為PC中點(diǎn)知TN∥BC,TN=

BC=2.

(3分)

又AD∥BC,故TN

AM,故四邊形AMNT為平行四邊形,于是MN∥AT.因為AT?平面PAB,MN?平面PAB,所以MN∥平面PAB.

(6分)(2)取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由AB=AC得AE⊥BC,從而AE⊥AD,且AE=

=

=

.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),

的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.由題意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(

,2,0),N

,

=(0,2,-4),

=

,

=

.設(shè)n=(x,y,z)為平面PMN的法向量,則

即

(10分)可取n=(0,2,1).于是|cos<n,

>|=

=

.即直線AN與平面PMN所成角的正弦值為

.

(12分)

方法總結(jié)

第(1)問中線面平行的證明,可以通過構(gòu)造平行四邊形得出線線平行,從而進(jìn)行證明,也可以取BC的中點(diǎn),構(gòu)造面面平行從而獲證線

面平行.注意空間向量法是解決立體幾何問題的常用方法.評析

本題主要考查線面平行的判定以及線面角的求法,考查空間想象

能力和運(yùn)算求解能力,同時考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.線面、面面平行的性質(zhì)的解題策略1.線面平行的性質(zhì)的應(yīng)用是轉(zhuǎn)化為線線平行,一般是過直線找到(或作

出)一個平面,使它與已知平面相交,從而轉(zhuǎn)化為線線平行.2.面面平行的性質(zhì)的應(yīng)用有兩個:一是轉(zhuǎn)化為線線平行,一般是找到(或

作出)第三個平面,使它與兩已知平面相交,從而轉(zhuǎn)化為線線平行;二是轉(zhuǎn)

化為線面平行.例2

(2017浙江寧波二模(5月),18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,△PAD為

正三角形,四邊形ABCD為直角梯形,CD∥AB,BC⊥AB,平面PAD⊥平面

ABCD,點(diǎn)E,F分別為AD,CP的中點(diǎn),AD=AB=2CD=2.(1)證明:直線EF∥平面PAB;(2)求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.方法2解題導(dǎo)引

(1)設(shè)BC的中點(diǎn)為M→利用中位線性質(zhì)得線線平行→利用線面平行的判

定定理得線面平行→利用面面平行的判定定理得面面平行→利用面面平行的性質(zhì)得結(jié)論(2)過點(diǎn)E找到一個與平面PBC垂直的平面PEM→過點(diǎn)E作平面PBC的垂

線,得線面角→解三角形得結(jié)論解析(1)設(shè)BC的中點(diǎn)為M,連接EM,FM,易知EM∥AB,FM∥PB,

(2分)因為EM∥AB,EM?平面PAB,AB?平面PAB,所以EM∥平面PAB.同理FM∥平面PAB.

(4分)又EM∩FM=M,EM?平面FEM,FM?平面FEM,所以平面EFM∥平面PAB,

(6分)又EF?平面FEM,所以直線EF∥平面PAB.

(8分)(2)連接PE,PM.因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,且PE⊥AD,所以PE⊥平面ABCD,所以PE⊥BC.又因為EM⊥BC,所以BC⊥平面PEM,

(10分)所以平面