高中數(shù)學第三章圓錐曲線與方程3.4.1曲線與方程備課北師大版選修

數(shù)缺形時難直觀，形離數(shù)時難入微。數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休。——華羅庚形數(shù)xy點(x,y)曲線方程§4.1曲線與方程曲線上的點方程的解平面直角坐標系問題1、如何研究曲線與方程的關系呢？形數(shù)曲線方程第(1)組：曲線C1：到兩坐標軸相等的點的軌跡問題2：下列每組曲線與方程，你認為它們能不能相互表示？形數(shù)

第(2)組：曲線C2：到原點距離為2的圓在x軸上方的部分問題2：下列每組曲線與方程，你認為它們能不能相互表示？形數(shù)

第(3)組：曲線C3：平面內到兩坐標軸的距離的乘積為1的點的集合問題2：下列每組曲線與方程，你認為它們能不能相互表示？形數(shù)

一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線C（看作滿足某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下關系：那么，這條曲線叫作方程的曲線，這個方程叫作曲線的方程.（1）曲線上點的坐標都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標的點都在曲線上，問題3：3組曲線與方程，是否滿足曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程？若不是，請將曲線與方程其中一個加以修改，使其得以滿足。第(1)組曲線C1：到兩坐標軸相等的點的軌跡

第(2)組曲線C2：到原點距離為2的圓在x軸上方

的部分

第(3)組曲線C3：平面內到兩坐標軸的距離的乘積

為1的點的集合

不滿足不滿足滿足第（1）組：曲線（形）方程（數(shù)）曲線不動改方程方程不變改曲線

第（2）組：曲線（形）方程（數(shù)）曲線不動改方程方程不變改曲線

定義集合語言解讀定義一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線C

（看作滿足某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程f(x

，y)=0的實數(shù)解建立了如下關系：（1）曲線上的點的坐標都是這個方程的解；

（2）以這個方程的解為坐標的點都在曲線上．

例題：證明圓心為M(3,4)，半徑為5的圓的方程是(x-3)2+(y-4)2=25，并判斷點O(0,0)，A(-1，0)，B(1，2)是否在這個圓上.分析：曲線是什么？方程是什么？如何判斷點是否在圓上？圓心為M(3,4)，半徑等于5的圓曲線上的點方程的解證明:一方面，設P(x0,y0)是已知圓上任意一點，由于點P到圓心M的距離等于5，所以有，即這說明圓上任一點的坐標(x0,y0)都是方程的一組解.另一方面，設數(shù)對（x1,y1）是方程的一組解，

那么就有

兩邊開平方取算術根，得

這說明P(x1,y1)是以M（3，4）為圓心，半徑等于5的圓上的一點.

所以

是圓心為點M（3，4），半徑等于

5的圓的方程。顯然，左右兩邊的值相等，這說明數(shù)對（0，0）是方程的解，所以點O在這個圓上；同理，點B（1，2）也不在這個圓上，它在圓內。將點O（0，0）的坐標帶入方程，因為,方程的解，所以點A(-1,0)不在這個圓上，它在圓外；這表明（-1，0）不是

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