數(shù)學中考訓練-四邊形的綜合

中考專題訓練一四邊形的綜合

1.四邊形ABCO為平行四邊形，點P為平面內(nèi)一點

（1）若AP=3C,連AP、DP：

①如圖1,點P在邊BC上，求證：PZ）平分NAPC

②如圖2,過P作P力的垂線交。。的延長線于點凡FP交AB于點E,求證：DF=2AE.

（2）如圖3,N4BC=60°，點尸在對角線08上，點M在邊A。上，MP=C。且NAMP

=ZABD,A8=5,BP=3,直接寫出平行四邊形48C。的面積.

2.在正方形A8CD中，AB=6,E為直線AB上一點，E/LLAB交對角線AC于尸，點G為

A尸中點，連接CE,點M為CE中點，連接并延長交直線AC于點。.

（1）如圖1,E在邊A8上時，—=,NGBM=:

BM

（2）將（1）中尸繞A逆時針旋轉(zhuǎn)任意一銳角，其他條件不變，如圖2,（1）中結(jié)

3.平面直角坐標系中，菱形A8CD.

（1）若點A坐標是（0,2“），點B坐標（-2,0）,求NABC及菱形邊長：

（2）在（1）的條件下，連接OD,過C點向0。作垂線，垂足為￡求CE；

（3）如圖3所示，NA4O=60°,在y軸負半軸上取一點P,使得/8PO=15°,延長

BD至Q,使得OQ=CO,連接4Q,若AP=BQ=a,求線段A。的長（用含。的式子表

示）.

4.矩形ACB。對角線AC、BO相交于點0,點P是對角線BO上的一個動點（不與3,D

重合），ZAOB=a,過尸點作尸尸〃AC,交48于尸，連接4P.將A尸繞P點逆時針旋

轉(zhuǎn)a得到后尸，連接

(1)若點P在BD上,ZAOB=50°

①求證：AF=BE；

②求N48E=.

(2)若點P在0。上，求N4BE(用a表示)；

(3)若8c=8,將A繞點P順時針方向旋轉(zhuǎn)(180。-a)得至IJEP,連接。E,當OP=

5.如圖，將一張矩形紙片A88沿直線M/V折疊，使點C落在點4處，點。落在點E處，

直線MN交BC于點M,交AD于點N,連接CM

(1)如圖1,求證：E,N、C三點在同一直線上；

(2)如圖1,若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1,求迪的值.

DN

(3)如圖2,已知點P、Q、T分別是CM、CMMN上的動點，若AN=3,BM=1,試

直接寫出尸小。7的最小值______.

6.已知平行四邊形A5CO中，N是邊5c上一點，延長ON、A8交于點。，過A作4M_L

￡W于點M,連接AM則AD_LAN.

(I)如圖①，若tanNAOM=3,MN=3,求8C的長；

4

(2)如圖②，過點5作8H〃DQ交4N于點H,若AM=CN,求證：DM=BH+NH.

7.如圖，在RtZXABC中，NAC3=90。，AC=BC=2.動點P以每秒2個單位長度的速度

從點4出發(fā)，沿A-O*8的方向向終點B運動(點P不與△ABC的頂點重合).點尸

關(guān)于點C的對稱點為點D,過點P作PQLAB于點Q,以PD、PQ為邊作回PDEQ.設(shè)

團POE。與△ABC.重疊部分的面積為S,點P的運動時間為f(s)

(1)當點尸在AC上運動時，用含/的代數(shù)式表示尸。的長；

(2)當點E落在△ABC的直角邊上時，求，的值：

(3)當E1PQEQ與△48C重疊部分的圖形是四邊形時，求S與，之間的函數(shù)關(guān)系式.

8.在菱形ABC。中，ZAfiC=60°

(1)如圖1,P是邊BO延長線上一點，以A尸為邊向右作等邊△人?￡：,連接BE、CE.

①求證：CE_LAO：

②若AB=J§,求AE的長；

(2)如圖2,P是邊CO上一點，點。關(guān)于AP的對稱點為E,連接BE并延長交AP的

延長線于點凡連接。及DF.若BE=11,DE=5,求△AO產(chǎn)的面積.

9.如圖，四邊形A8C。中，AB=AD,ZBAD=60°,ZBCD=30°,將AC繞著點A順時

針旋轉(zhuǎn)60°得AE,連接BE,CE.

(1)求證：

(2)求證：AC2=DC2+BC2；

(3)若48=2,點。在四邊形A8CD內(nèi)部運動，HiSSAQ1=BQ2+DQ2,求點。運動

路徑的長度.

10.【閱讀】如圖1,四邊形OA3c中，OA=a,OC=8,BC=6,NAOC=NBCO=90°,

經(jīng)過點。的直線/將四邊形分成兩部分，直線/與OC所成的角設(shè)為仇將四邊形048c

的直角NOCB沿直線/折疊，點C落在點。處，我們把這個操作過程記為叼6,a].

【理解】

若點。與點4重合，則這個操作過程為廣Z[45°,8]；

【嘗試】

（1）若點。與OA的中點重合，則這個操作過程為FZ[,]；

（2）若點。恰為AB的中點（如圖2）,求。的值；

【應(yīng)用】

經(jīng)過FZ[45°,操作，點B落在點E處,若點E在四邊形O4BC的邊48上，直線/

與4B相交于點F,試畫出圖形并解決下列問題：

①求出a的值；

②若P為邊0A上一動點，連接尸石、PF,請直接寫出尸E+P尸的最小值.（備注：等腰

直角三角形的三邊關(guān)系滿足1：1：近或近:V2：2）

11.如圖，四邊形A8CO為正方形，ZXAEF為等腰直角三角形，N4EF=90°,連接尸C,

G為尸C的中點，連接GO,ED.

（1）如圖①，E在48上，直接寫出即，GO的數(shù)量關(guān)系.

（2）將圖①中的AAE尸繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變，如圖②，（1）中的結(jié)論是

否成立？說明理由.

（3）若4B=5,AE=L將圖①中的△4EF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一周，當E,尸，C三點

共線時，直接寫出的長.

圖①圖②

12.如圖，在平面直角坐標系中，已知A（-2,0）,4（0,加）兩點，且線段AB=2介，

以AB為邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD.

（1）求點B的坐標.

（2）在工軸上是否存在點Q,使AQAB是以為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫

出點。的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）如果在坐標平面內(nèi)有一點P53）,使得AAB尸的面積與正方形ABC。的面積相

等，求。的值.

13.如圖，矩形ABC￡>中，AB=a,AD=A點尸是對角線B￡）上的一個動點（點尸不與8、

力重合），連接AP并延長交射線8C于點Q,

（1）當AP_L3。時，求AABO的面積（用含服b的代數(shù)式表示）；

（2）若點M為A。邊的中點，連接MP交射線BC■于點M證明：點N也為線段的

中占.

14.如圖1,4cLe”于點0點B是射線C"上一動點，將△48C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°

得到△AOE（點D對應(yīng)點C）

（1）延長EO交CH于點尸，求證以平分NCFE；

（2）如圖2,當NCAB>60°時，點、M為AB的中點，連接DM,請判斷QM與04、

。七的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）如圖3,作團ABGE,連接。G,點N為OG的中點，連接EN.若AC=EN=3,直

接寫出四邊形AQGE的面積.

15.【操作】如圖①，在矩形ABC。中，石為對角線AC上一點（不與點4重合）.將△AOE

沿射線A8方向平移到△5C尸的位置，E的對應(yīng)點為點尸，易知△ADEg/XBCF（不需要

證明）

【探究】過圖①的點E作8G〃3C交陽延長線于點G,連接AG,其它條件不變，如圖

②.求證：XEGX沼/\BCF

【拓展】將圖②中的ABCr沿BC翻折得到△8CF,連接GF',其它條件不變，如圖

③當GF,最短時，若48=4,BC=2,直接寫出尸尸'的長和此時四邊形BFCF1的周

長.

G

圖①G國②圖③

16.如1,在矩形A8CO中，AB=6,40=10,E為AD上一點且4E=6,連接8E.

(1)將aABE繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△48尸(如圖2),且A、B、。三點共線，再

將aAB尸沿射線3c方向平移，平移速度為每秒1個單位長度，平移時間為Ks)(z20),

當點A與點C■重合時運動停止.

①在平移過程中，當點尸與點E重合時，/=(5).

②在平移過程中，AAB廠與四邊形3CDE重疊部分面積記為S,求s與，的關(guān)系式.

(2)如圖3,點M為直線BE上一點，直線8C上有一個動點P,連接DM、PM、OP,

且EM=5近，試問：是否存在點P,使得△。例P為等腰三角形？若存在，請直接寫出

此時線段的長；若不存在，請說明理由.

17.如圖1,△A3C和△COE均為等邊三角形，BC=a,CD=b(a>b).

(1)當8、C、。共線時，84、交于點M,

①判斷四邊形ACEM的形狀，并說明理由.

②。、〃為方程(/?-1)%-62-2用-8=0的兩根，尸為AE的中點，求的長.

(2)將△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)(如圖3所示)，點E在△ABC內(nèi)部，連接AE,Zfi￡C=105°,

若普=〃，直接寫出〃的最小，直_______.

18.如圖1,四邊形A5c。中，對角線AC平分NDC8,且AO=4B,CD<CB

(1)求證：ZB+ZD=180°；

(2)如圖2,在AC上取一點E,使得BE〃CO,且8E=CE,點F在線段BC上，連接

AF,且AB=4尸，求證：AE=CF；

(3)如圖3,在(2)的條件=，若BE與AF交于點G,BF：AB=2：7,求tanNBG產(chǎn)

的值.

19.己知四邊形A5CO中，AD//BC,ZD=90°,4c平分NBA。，ZACD=30°

(1)如圖1,求證：△4BC是等邊三角形；

(2)如圖2,點E在邊B4的延長線上，在邊8c上取一點F,連接EC、EF且EC=EF,

求證：BF=AE；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接AF,取A尸的中點G,連接BG并延長交線段EC

于M，交線段A。于R,過點A作AN〃EC交線段8R于N,若GN=2,EM=5,求CM

浙教版九上作業(yè)本①第18頁有這樣一個題目：已知，如圖一，P是正方形ABOC內(nèi)一點,

連接附、PB、PC,若PC=2,以=4,N4PC=135°,求P8的長.

小明看到題目后，思考了許久，仍沒有思路，就去問數(shù)學老師，老師給出的提示是：將

△以。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△2■以再利用勾股定理即可求解本題.請根據(jù)數(shù)學

老師的提示幫小明求出圖一中線段PB的長為.

【方法遷移】：已知：如圖二，/XABC為正三角形，P為△ABC內(nèi)部一點，若尸。=1,

B4=2,PB=M，求NAP8的大小.

【能力拓展】：已知：如圖三，等腰三:角形ABC中/人C8=120°,。、E是底邊AB上

兩點且NOCE=60°,若AD=2,BE=3,求OE的長.

21.問題發(fā)現(xiàn)：

(I)如圖①，四邊形ABC。中，NDAB=NBCD=90°,CB=CD,對角線4。的長為6,

則四邊形4BCO的面積為.

圖①圖②圖③

問題探究：

(2)如圖②，RtZXABC中，NCAB=90°,AC=5,AB=12,點。和E都是邊BC上的

動點，且滿足CO=BE,連接A。、AE.求AZHAE的最小值：

問題解決：

(3)某校準備組織八年級同學開展一次去大明宮遺址公園的考古研學活動.小凱和小鵬

在去之前先做了一個模擬“藏寶圖”的游戲，為了使寶物隱藏得更神秘，小凱利用學過

的數(shù)學知識，設(shè)計了如下方案，讓小鵬破解.如圖③，點8在點4的正東方向12機處，

點尸和Q都為平面內(nèi)的動點，且滿足%=8m,PB=BQ,NP8Q=90°,當線段AQ長

度最大時，點。的位置即為藏寶地.請你幫助小鵬破解，藏寶地在點A的什么方向？距

離點4多遠？

22.已知：如圖，正方形4BC。，點七是OC邊上的一動點，過點。作4E的垂線交AE延

長線于點凡過。作O"_LCE垂足為H,點0是AC中點，連H0.

(1)如圖1,當NCAE=ND4E時，證明：AE=2CF；

(2)如圖2,當點E在。。上運動時，線段A尸與線段”。之間是否存在確定的數(shù)量關(guān)

系？

若存在，證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論：若不存在，請說明理由；

(3)當E為。。中點時，AC=2版,直接寫出4尸的長.

23.如圖，在平面直角坐標系中，矩形A8C0的頂點。與坐標原點重合，頂點A、。在坐

標軸上，B(18,6),將矩形沿E尸折疊，使點A與點C重合.

(1)求點E的坐標；

(2)點P從0出發(fā)，沿折線0-4方向以每秒2個單位的速度勻速運動，到達終點

E時停止運動，設(shè)P的運動時間為f,/XPCE的面積為S,求S與，的關(guān)系式，直接寫出

/的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，當時，在平面直角坐標系中是否存在點Q,使得以

點P、E.G、。為頂點的四邊形為平行四邊形？若不存在，請說明理由；若存在，請求

出點。的坐標.

24.在由A8CD中，NAOC的平分線交直線8C于點E,交直線A8于點凡

(1)如圖①，證明：BE=BF.

(2)如圖②，若N4OC=90°,。為AC的中點，G為EF的中點:試探究0G與AC的

位置關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖③，若NAOC=60°,過點E作0c的平行線，并在其上取一點K(與點尸位

于直線BC的同側(cè))，使EK=BF,連接CK,“為CK的中點，試探究線段0H與HA

之間的數(shù)量關(guān)系，并對結(jié)論給予證明.

參考答案與試題解析

1.四邊形A8CD為平行四邊形，點P為平面內(nèi)一點

(1)若AP=BC,連AP、DP.

①如圖1,點尸在邊8c上，求證：尸。平分NA尸C；

②如圖2,過P作P。的垂線交0c的延長線于點尸，F(xiàn)P交AB于點、E,求證：。尸=2AE.

(2)如圖3,N48C=60°,點P在對角線05上，點M在邊4。上，MP=CO且NAMP

=ZABD,AB=5,BP=3,直接寫出平行四邊形ABC。的面積.

【分析】(1)①如圖1中，由AP=AD,推出/AOP=N4P。，再證明NA。尸=NOPC

即可解決問題.

②如圖2中，取。尸的中點例，連接MA、MP.想辦法證明四邊形4EFM是平行四邊形

即可解決問題.

(2)在8。上取點K,使A8=AK,作OF_L84交B4的延長線于F.證明△4OK也△PDM

(AAS),推出拉尸=￡>4,設(shè)。P=QA=x,則4/=24。=2工。口=?人尸=返工，在

222

□△8。尸中，根據(jù)產(chǎn)+D產(chǎn)，構(gòu)建方程求出“即可解決問題.

【解答】解：(1)①如圖1中，

:?AD=BC,

*：AP=BC,

：.AP=AD,

:.ZAPD=ZADP

,:AD〃BC,

：,NADP=ZDPC,

/APD=NDPC,

平分NAPC.

②如圖2中，取。尸的中點M,連接MA、MP.

圖2

?:PDLPF,

:?/DPF=90°,

:.PM=DM=MF,

'：AP=AD.

???AM為線段尸。的垂直平分線，

：,AM//EF,

9：EFLPD,

\'AE//FM,

???四邊形AEFM為平行四邊形，

:.AE=MF,

：.DF=2AE.

(3)在B。上取點K,使A8=AK,作交84的延長線于F.

圖3

'：AB=AK,

,^ABD=ZAKB,

■:NAMP=NAB。，

/.NAMP=/AKB,

:?/DMP=/DKA,

VZADK=ZPDM,PM=CD=AB=AK,

：.AADK^APDM(A4S),

:?DP=DA,

設(shè)DP=DA=x,

*：AD//BC,

，/次O=NA8C=60°,

：,AF=—AD=^-x.DF=^3AF=^-X,

222

122

在RtABDF中，?.*BD=BF+DFt

:.(3+x)2=(5+2外2+(近％)2,

22

解得x=16,

???S平行四邊形?。/=5X與X16=4Ch/3.

2.在正方形ABC。中，AB=6,￡為直線48上一點，EF_LAB交對角線AC于F,點G為

A尸中點，連接CE，點M為CE中點，連接5M并延長交直線4。于點0.

(I)如圖1,E在邊48上時，里?=_&_，NGBM=45°:

BM

(2)將(1)中AAE尸繞A逆時針旋轉(zhuǎn)任意一銳角，其他條件不變，如圖2,(1)中結(jié)

論是否仍然成立？請加以證明.

(3)若BE=2,則CO長為國返■或3.

2

【分析】(1)連接EG、GM.想辦法證明△G8M是等腰直角三角形即可解決問題.

(2)成立.延長GM到H,使得M”=GM,連接B”,HC,延長"C交A尸的延長線于

/,設(shè)“交CO于J.利用全等三角形的性質(zhì)證明△G8M是等腰直角三角形即可解決問

題.

（3）分兩種情形①點E在線段AB上.②點E在AB的延長線上，分別求解即可解決問

題.

【解答】解：（1）連接EG、GM.

???四邊形4BCO是正方形，

???NA8C=90°,ZCAB=ZACB=45°,

*：EFLAB,

???NAE尸=90°,

：.ZEAF=ZEFA=45°,

VAG=GF,

：.EGLAF,

???NEGC=90°

<EM=MC,

:.GM=BM=*CE,

2

：.NMCG=NMGC,NMBC=NMCB,

:./BMG=NBME+NGME=2/BMC+2/GCM=2/ACB=90°.

故△GMB為等腰直角三角形.

故答案為a，45°.

（2）成立.

理由：延長GM到“，使得MH=GM,連接BH,HC,延長“C交A尸的延長線于/,設(shè)

A/交8于J.

、*

圖2

?:EM=MC,GM=MH,NEMG=NHMC,

:?叢EMG叁4CMH(SAS),

：.EG=CH,"GM=/MHC

：.EC//CH,

AZAGE=ZAIH=90°,

?：AG=EG,

:.AG=CH,

VZD=ZZ=90°,NAJD=NCJI,

:.ZICD=NIAD,

VZBAG+ZMD=90°,N8CH+N/C尸=90°

:.NBCH=NBAG,

*：BA=BC

:?ABAG義ABCH(SAS),

:.BG=DH,NABG=NCBH,

:.ZNGBH=NABC=90°

故△GB”是等腰直角三角形，

:段=瓜NGBM=45：

BM

(3)當七在B上方時，如圖3-1中，延長8。交CO于T.

圖3-1

:?BE〃CT,

:.ZMEB=/MCT,

■:NEMB=/CMT,EM=CM.

CASA）,

：.BE=CT=2,

*：CT//AB,

.oc=cr=j.

**0AAB~3f

,??AC=W^，

：.OC=^X&^2

：tC0=^/2_

2

當￡?在B下方時同法可得CO=3V2-

綜上所述，。。的長為2亞或3a.

2

故答案為百巨或3尬.

2

3.平面直角坐標系中，菱形A8CD.

（1）若點A坐標是（0,2近），點8坐標（?2,0）,求/A8C及菱形邊長：

（2）在（1）的條件下，連接OD,過C點向。。作垂線，垂足為E,求CE；

（3）如圖3所示，ZABO=60°,在y軸負半軸上取一點P,使得NBPO=15°,延長

BD至Q,使得。Q=CD,連接AQ,若AP=BQ=a,求線段A。的長（用含。的式子表

示）.

【分析】（1）在RtZXAOB中，解直角三角形求出AB,NA80即可.

（2）根據(jù)SMDc=』?0Z）?CE=2?0C?a4求解即可.

22

（3）設(shè)菱形ABCD的邊長為2x,過。點作QM_L4D交AD的延長線于M,過DNIx

軸于M根據(jù)4P=8Q=a,構(gòu)建方程求解即可.

【解答】解：(1)如圖1中，

VA(0,2近)，8(-2,0),

：?0人=2弧,08=2,

tan乙43。=空》=

0B

???NA8C=60°,

.??NOA8=90°-6(T=3(T,

：.AB=2OB=4,

???菱形的邊長為4.

(2)如圖2中,

丁四邊形A6CD是菱形，AB=AD=CD=BC=4,

：.C(2,0),D(4,2V3)，

?*,=V42+(2V3)2=2V7，

VCE±OD,

S^ODC=—?OD?CE=Z?OC?OA,

22

.^_2X2V3_2V21

■?-f—1?

2V77

(3)設(shè)菱形ABCD的邊長為2x,過。點作QM_LAO交AD的延長線于M,過DN上x

軸于N,

AQM=^-DQ=x,DM={&x,AM=2x+y[3x=(2+J§)x,

2

又。用_LAM,利用勾股定理可求4Q=(V6+V2)BD=2^3x,

,：AP=BQ=a.

??2^]~3x+2x=a,得Ta,

4

繼而得4Q=(V6+V2)x=^-a.

2

4.矩形ACS。對角線AC、5。相交于點O,點P是對角線BO上的一個動點(不與8,D

重合)，NAOB=a,過P點作P尸〃AC,交AB于尸，連接AP.將4P繞P點逆時針旋

轉(zhuǎn)a得到EP,連接8E.

(1)若點P在80.匕ZAOB=50°

①求證：AF=BEi

②求NA8E=50°.

(2)若點P在0￡＞上，求NABE(用a表示)；

(3)若BC=8,將4繞點P順時針方向旋轉(zhuǎn)(180°-a)得至lj￡P(guān),連接OE,當DP=

3OP時，DE=2或4.

【分析】(1)①證明△APFgZXEPB(SAS)可得結(jié)論.

②利用全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理解決問題即可.

(2)如圖2中，證明△尸(SAS),推出/以P=NPE8,由NRP+NB4B=

180°,推出NB48+NP￡8=lgO°,推出NA8E+NAPE=180°可得結(jié)論.

(3)分兩種情形：如圖3中，當點P在0。上時，如圖3所示，過點P作PF〃04,交

AO于點凡如圖4所示，當點P在。8上時，過點P作尸尸〃0A,交OA的延長線于點

凡分別求解即可解決問題.

【解答】(1)①證明：???四邊形ABC。是矩形，

：,OA=OC=OB=OD,

*：PF//0A,

.?旦=里4FPB=4A0B=a,

OAOB

：.PF=PB,NEPB=NFPB-4FPE=a-NFPE,

'：AP=EP,ZAPE=a,

：.ZAPF=a-ZFPE,

：.ZAPF=ZEPB,

.,.△APF^AEPB(SAS),

：.AF=BE.

②?：△\PF9l\EPB,

:./AFP=NEBP,

'：ZAFP=NFPB+NOBA,NEBP=N48E+N08A,

???ZABE=ZFPB,

：.ZABE=a=50°.

故答案為50°.

'：PA=PE,ZAPE=a,同法可證P/=P8,NFPB=a,

NFPB=NAPE,

；?NFM=NBPE,

:ZP上會XBPE(SAS),

:"FAP=/PEB,

VZMP+Z^4B=180°,

AZ/MB+ZPEB=180°,

???/A8E+N4PE=180°,

AZABE=1800-a.

(3)如圖3中，當點P在O。上時，如圖3所示，過點尸作PF104,交40于點凡

'：DP=30P,即0￡>=40P,

,AF_OP_OP_1

**ADOD礪T

:.AF=-AD=—BC=2.

44

類比（1）①得：△APF9XEPD,

：.DE=AF=2.

如圖4所示，當點P在08上時，過點P作PF〃OA,交￡>A的延長線于點尸,

*：DP=3OP,BPOD=2OP,

.AF-OP_OP_1

??而OD20P

：.AF=^AD=—BC=4.類比（1）①得：RAPF@XEPD,

22

：.DE=AF=4.

綜上所述，OE的長為2或4.

故答案為2或4.

5.如圖，將一張矩形紙片48c力沿直線折疊，使點C落在點A處，點。落在點E處,

直線MN交BC于點M,交AD于點N,連接CM

(1)如圖1,求證：E,N、C三點在同一直線上；

(2)如圖1,若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1,求理的值.

DN

(3)如圖2,已知點P、。、7分別是CM、CN、MN上的動點，若AN=3,BM=1,試

直接寫出P%Q7的最小值，迎

【分析】(1)證明NENM+NCNM=NDNM+NANM=l80°,可得結(jié)論.

(2)如圖1中，首先過點N作NH_L3C于點”，由△CMN的面積與△CZW的面積比為

3：1,易得MC=3ND=3HC,然后設(shè)￡W=x,由勾股定理，可求得MN的長，繼而求得

答案，

(3)如圖2中，由(1)得出ACMN是等腰三角形，而TQ+以最小就是點T到等腰三

角形的兩腰的距離之和最小就是等腰三角形腰上的高.

【解答】(1)證明：如圖1中，由折疊的性質(zhì)可得：NENM=NDNM,即NEMVf=N

ENA+NANM,NDNM=ZDNCMCNM,

?：4ENA=/DNC,

：,NANM=NCNM,

:,/ENM+NCNM=NDNM+NANM=180°,

：.E,N、C三點在同一直線上.

(2)解：如圖1中，過點N作N”_LBC于點”，則四邊形N/7CQ是矩形,

???△CMN的面積與△CQN的面積比為3：1,

Q卜MONK

?bACMN_2__________MC_,

SACDN亭DN?NHDN

乙

：?MC=3ND=3HC,

:?MH=2HC,

設(shè)ON=x,則HC=x,MH=2x,

：?CM—3x=CM

在RtZ\C￡>N中，七0=也洛口?=27^,

:?HN=2讓,x

在RiZXMN”中，MN=yjMH2+HN2=2V3x,

AMN=2V3X=2V3.

DNx

(3)如圖2中,

,:CM=CN

???△CMN是等腰三角形，

要使PT+QT的最小值，也就是等腰三角形的底邊上一點到兩腰上距離之和最短,

即：TQICN,TPLCM,

而等腰三角形的底邊上一點到兩腰的距離之和等于腰上的高，

過點N作N〃_L5C,

???PT+QT的最小值就是NH=AB,

由折疊得，AM=CM=AN=3t

：.BM=AN=\

在RlZXABM中，根據(jù)勾股定理得，A8=JAM-BM2=2近.

:,NH=2版,

即：的最小值為2近.

故答案為2近.

6.已知平行四邊形ABC。中，N是邊8c上一點，延長ON、A8交于點Q,過A作AMJ_

ON于點M,連接4M則AO_L4N.

(1)如圖①，若tanNAOM=^,MN=3,求BC的長；

4

【分析】(1)如圖①中，設(shè)AM=3k,DM=4k,則AD=5k,由可得

AB=DM*AN,由此構(gòu)建方程即可解決問題.

(2)如圖②中，連接CH,在DM上取一點K,使得DK=BH.證明△AOKgACB"

(SAS),推出AK=C〃，再證明RtZ\AMKgRtaCM/(aL),推出MK=HN即可解決

問題.

國①

'：AM±DN,

ZAMD=90°,

VtanZ4DA/=—

DM4

，可以假設(shè)4M=3A,DM=4k,則4。=5億

???AO_LAN,

???NZMN=90°=ZAMD,

VNADM=NADN,

A△AOMS/XNDA,

:.AD^DMMN,

J(5k)2=4k(4k+3),

解得出=邑，

3

,\AD=—,

3

???四邊形A8CO是平行四邊形,

：.BC=AD=—.

3

（2）證明：如圖②中，連接CH,在DM上取一點K,使得OK=B”.

圖②

???四邊形ABCD是平行四邊形，

.\AD//BC,AD=BC,

NADK=NBNQ,

,JBH//DQ,

CBH=NBNQ,

：.NADK=NCBH,

?:DK=BH,DA=BC.

：.AADKm叢CBH（SAS）,

:.AK=CH,

???AM_LOQ,ANA.AD,AD//BC,

???AN_LBC,

:./AMK=NCNH=90°,

?：AM=CN,

???RtZXAMKgRtZ\CN”（HL）,

:,MK=NH,

：,DM=DK+MK=BH+HN.

7.如圖，在RlZVlBC中，NACB=90°,AC=BC=2.動點P以每秒2個單位長度的速度

從點4出發(fā)，沿A-Cf8的方向向終點8運動（點尸不與ZVIBC的頂點重合）.點尸

關(guān)于點C的對稱點為點D,過點P作PQLAB于點。，以PD、PQ為邊作目P￡）EQ.設(shè)

區(qū)PDEQ與△ABC.重疊部分的面積為S,點P的運動時間為f（s）

（1）當點P在4C上運動時，用含，的代數(shù)式表示PD的長；

（2）當點E落在△ABC的直角邊上時，求，的值；

（3）當團PDE。與△ABC重疊部分的圖形是四邊形時，求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式.

【分析】(1)由題意，可先寫出AP的長，再寫出CP的長，由對稱的性質(zhì)即可寫出尸。

的長：

(2)①如圖2-1,當點E落在BC邊上時，過點。作QHJ_A。于H,證明CE="Q=』

2

AP=CD,即可列出關(guān)于1方程，求出，的值；②如圖2-2,當點E落在AC邊上時，過

點。作QG_LBC于G,證明CE=GQ=/8P=CO,即可列出關(guān)于，的方程，求出，的值

即可；

(3)如圖3-1,當OVrwZ時.求出梯形尸QMC的面積即可：如圖3-2,當

33

時，求出梯形PQCN的面積即可.

【解答】解：(1)由題意，得AP=2f,CP=2-2/,

圖1

(2)①如圖2-1,當點E落在8c邊上時，過點。作QH_LA。于，,

由題意知，△4QP和為等腰直角三角形，

：.CE=HQ=^AP,CE=CD,

???HQ=￡AP=3CD=PC=2-23

."2-21,

?=2.

3,

②如圖2?2,當點E落在AC邊上時，過點。作QG_LBC于G,

由題意知，△BQ尸和△CEO為等腰直角三角形，

:?CE=GQ=^BP,CE=CD,

?：GQ=—BP=—(4-2r)=27,CD=PC=2t-2,

22

：.2-t=2t-2,

綜上所述，點E落在aABC的直角邊上時，，的值為2或'；

33

(3)如圖3-1,當OV/wZ時,

3

S=S梯形PQMC

=L(2-2r+2-r)

2

=-弓產(chǎn)+21；

2

如圖3-2,當_lwfW2時,

3

S=S梯形PQNC

=2(2-r)(2f-2+f)

2

=-lr+4t-2,

2

-yt2+2t(O<t<4)

綜上所述，S=

-^-t2+4t-2得<t<2)

B

8.在菱形ABC。中，N48C=60°

（1）如圖1,P是邊延長線上一點，以AP為邊向右作等邊△APE,連接BE、CE.

①求證：CE_L4D；

②若AB=f,BE=y/19,求AE的長；

（2）如圖2,P是邊CO上一點，點。關(guān)于AP的對稱點為E,連接3E并延長交AP的

延長線于點E連接。￡DF.若BE=ll,DE=5,求△AOr的面積.

圖1圖2

【分析】（1）①證△AOC和△ABC是等邊三角形，再證△84Pg/\CAE,推出NACE=

30°,由N4CE+NCAO=90°即可證明結(jié)論；

②如圖1,設(shè)AC與BO交于點O,證N8CE=90°,由勾股定理求出CE,B尸的長，由

銳角三角函數(shù)等分別求出。4,OP的長，由勾股定理即可求出4P的長，即4E的長；

(2)如圖2,連接AE,過點A作A"_LB尸于點“，證/“4尸=2/84。=60°,再證△

2

DEF為等邊三角形,即可求出“F,A”的長，進一步求出△入￡尸的面積，證△AO尸且△

AE尸即可.

【解答】(1)①證明：在菱形A8CO中，ZABC=60°,

AZADC=60°，RAB=BC=DA=DC,

:.AADC和△ABC是等邊三角形，

???A8=AC,NBAC=NC4O=60°,

又?.?△4PE是等邊三角形，

：.AE=AP,ZEAP=60°,

:.NB4C+NC4P=NB4E+NCAP,

即NBAP=NC4￡

:、△BAP9RCAE(SAS),

AZACE=ZABP=—ZABC=309,

2

VZCAD=60°,

/.ZACE+ZG4D=90°,

ACEIAD；

②解：如圖1,設(shè)AC與3。交于點0,

由①知，ZACE=30°,且NAC3=60°,

???NACE+N4C8=NBCE=90°,

:在RlZ\8CE中，BC=AB=迎,?E=V19>

???但近2-BC2=%

由①知，XBAP沼XCK3

:?BP=CE=4,

在RtZ\BOC中，/AC8=60°,

??.8。=返8C=2,CO=AO=—BC=^~,

2222

：，OP=BP-B0=—.

2

???在RtZ\AOP中,

IAO240P2T凈2吟2=干,

:.AE=AP=TK

(2)解：如圖2,連接AE,過點A作AH_LB/于點H,

???點D關(guān)于AP的對稱點為E,

：.AP垂直平分。E,

：,AD=AE,FD=FE,

AZEAF=ZDAF=^ZEAD,/DFA=NEFA=±NDFE,

22

又「在菱形ABC。中，AB=AD,

：.AB=AE,

垂直平分BE,

:?EH=BH=2BE=A,NBAH=NEAH=L/BAE,

222

:.NHAF=NEAH+NEAF=!/BAD,

2

VZABC=60°,

???NBA力=180°-ZABC=120°,

???NHA尸=60°,

ZAFW=90°-NH4F=30°,

AZDFE=60°,

???△OE/為等邊三角形,

:?EF=DE=5,

：.//F=//E+EF=-ii+5=-21,

22

在尸中，ZAFH=30°,

：.AH=V3H/?_7V3

32'

管F?A”小、吟=邛,

???AO=AE,FD=FE,AF=AF,

A(SSS),

???△A。/的面積為圭叵.

4

圖1

9.如圖，四邊形ABCO中，AB=AD,ZBAD=60°,ZBCD=30°,將AC繞著點A順時

針旋轉(zhuǎn)60°得連接BE,CE.

(I)求證：△ADCg/XABE；

(2)求證：AdnDd+sc2；

(3)若48=2,點。在四邊形4BCO內(nèi)部運動，且滿足4。2=3。2+。。2,求點。運動

路徑的長度.

【分析】(1)推出ND4C=NB4E,則可直接由SAS證明△AOC&ZXABE；

(2)證明ABCE是直角三角形，再證DC=8E,AC=CE即可推出結(jié)論；

(3)如圖2,設(shè)。為滿足條件的點，將AQ繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)60度得AP,連接QF,

BF,QB,DQ,AF,證△AOQgZXABF,由勾股定理的逆定理證/尸8Q=90°,求出N

￡)08=150°,確定點。的路徑為過8,D,C三點的圓上標，求出面的長即可.

【解答】(1)證明：'：ZCAE=ZDAB=60°,

AZG4E-NCAB=NDAB?ZCAB,

：.ZDAC=ZBAE,

又?.?4Q=A8,AC=AE,

???△AOCdABE(SAS)；

(2)證明：在四邊形A8C￡＞中，

NAOC+NA8C=360°-/DAB?/DCB=270°,

??,△AQ&AABE,

AZADC=ZABE,CD=BE,

AZABC+ABE=ZABC+ZADC=210Q,

AZCBE=360°-(NABC+ABE)=90°,

:?C評=B^+Bd,

又???AC=AE,ZG4E=60°,

???△ACE是等邊三角形，

：.CE=AC=AE,

：.AC2=DC2+BC2；

(3)解：如圖2,設(shè)。為滿足條件的點，將力。繞著點4順時針旋轉(zhuǎn)60度得A”，連接

QF,BF,QB,DQ,4尸，

則ND4Q