2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)08 全等三角形8種模型一線三等角、手拉手模型、倍長中線、截長補(bǔ)短、婆羅摩笈多、半角模型、平行線中點(diǎn)模

重難點(diǎn)突破08全等三角形8種模型

（一線三等角、手拉手睡、倍長中線、截長補(bǔ)短、婆羅摩笈多、半角模型、

平行線中點(diǎn)模型與雨傘模型）

目錄

重難點(diǎn)題型突破

題型01一線三等角模型（含一線三垂直模型）

題型02手拉手模型

題型03倍長中線模型

題型04平行線中點(diǎn)模型與雨傘模型

題型05截長補(bǔ)短模型

題型06婆羅摩笈多模型

題型07半角模型

重難點(diǎn)題型突破

題型01一線三等角模型（含一線三垂直模型）

【一線三垂直模型介紹】只要出現(xiàn)等腰宜.角三角形，可以過直角點(diǎn)作一條直線，然后過45。頂點(diǎn)作直線的

垂線，構(gòu)造三垂直，所得兩個(gè)直角三角形全等.根據(jù)全等三角形倒邊，得到線段之間的數(shù)量關(guān)系.

已知（一線三垂直）圖示結(jié)論（性偵）

如圖AB_L.BC,A

△ABD^ABCE,DE=AD+EC

AB=BC,CE1DE,AD

±DE

一/

ERD

如圖A

△ABD^ABCE,DE=AD-EC

AB=BC,CE1DE,AD

±DE

,LADE

/

c

已知/AOC=NADB=

A△ADB泌DEC

NCED=90",AB=DC

c

DB」E

延長DE交AC于點(diǎn)E

AAABC^ADBE

已知NDBE=NABC=工

ZEFC=90°,AC=DE

上

Dhtc

【一線三等角模型介紹】三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角.

一線三等角類型:

（同側(cè)）已知NA=NCPD=NB=Na,CP=PD

（異側(cè)）已知NEAC=NABD=NDPC=Na,CP=PD

1.（2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預(yù)測）小西在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)后，對其作了進(jìn)一步的探

完：在一個(gè)支架的橫桿點(diǎn)。處用一根維I繩懸掛一個(gè)小球A,小球A可以自由推動(dòng)，如圖，OA表示小球靜止

時(shí)的位置.當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠近小球時(shí)，小球從。4擺到。8位置，此時(shí)過點(diǎn)8作80104于點(diǎn)。，當(dāng)小球

擺到。。位置時(shí)，。8與。。恰好垂直（圖中的A、B、O、C在同一平而上），過點(diǎn)C作CEJ.04于點(diǎn)￡測得

BD=8cm,0A—17cm.求AE的長.

A

【分析】首先根據(jù)題意證明出三AOBDSAS）,然后利用全等三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】a：0B10C,

，乙BOD+乙COE=90。,

又???CE1（M,BO1C4

，乙CEO=cODB=900,

：.z.BOD+Z-B=90°,

:.乙COE=乙B,

在ACOMA。皿中,

(LCEO=乙BDO

乙COE=kB，

(OC=BO

.,.△COE=AOBD(AAS),

：?0E=BD=8cm,

：,AE=0/1-OF=17-8=9cm.

【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，解題思路是找準(zhǔn)條件判定全等，解題的關(guān)鍵是證明△COEwa

030(AAS).

2.(2023?全國?九年級專題練習(xí))感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖I,點(diǎn)4在直線上，且48ZZ4=

LBAC=LAEC=90。，像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角

”模型.

應(yīng)用：

(1)如圖2,Rt△中，Z.ACB=90°,CB=CA,直線ED經(jīng)過點(diǎn)C,過4作/W1ED于點(diǎn)D,過B作BE1ED

于點(diǎn)E.求證：△BEC三△CD4.

(2)如圖3,在△48。中，。是BC上一點(diǎn),Z-CAD=90%AC=AD,

/.DBA=/.DAB,AB=273,求點(diǎn)C到AB邊的距離.

⑶如圖4,在同A8CC中，E為邊8c上的一點(diǎn)，”為邊48上的一點(diǎn).若

乙DEF=々B,AB=10,BE=6,求段的值.

L/C

【答案】(1)見解析

⑵百

嘮建

【分析】(1)由直角三角形的性質(zhì)得出N4C0=4EBC,可證明△BEC三△CDA；

(2)過點(diǎn)。作。?14B于點(diǎn)尺過點(diǎn)。作CE148于，交8人的延長線于點(diǎn)E,證明△&4￡三44。廠,由全

等三角形的性質(zhì)可得出CE=/15=%，則可得出答案：

(3)過點(diǎn)。作DM=DC交BC的延長線于點(diǎn)M,證明△BrE-ZiMED,由相似三角形的性質(zhì)可得出答案.

【詳解】（1）證明：'：z.ACB=90°,Z.BCE+Z.ACB+Z.ACD=180°,

：.z.BCE+z.ACD=180°,

f：AD1ED,BELED,

工乙BEC=Z.CDA=90°,乙EBC+乙BCE=90°,

：.z.ACD=Z.EBC,

在ABEC和△C04中，

（^-CDA=乙BEC=90°

LACD=Z.EBC，

（CB=CA

BFC￡△CDA：

(2)解：過點(diǎn)3作DF_L/18于點(diǎn)凡過點(diǎn)C作CE1HB于，交B力的延長線于點(diǎn)E,

圖3

?:乙DBA=Z.DAB,

：.AD=BD,

：.AF=BF=^AB=

,：/.CAD=90。，

：.￡DAF+￡CAE=900,

'：Z-DAF+Z.ADF=90°,

：./.CAE=Z.ADF,

在△G4E和△/IDF中，

LCEA=Z.AFD=90°

LCAE=Z.ADF,

AC=AD

.*.△CAE￡△ADF,

：.CE=AF=痘,

即點(diǎn)。到AB的距離為百：

（3）過點(diǎn)。作DM=QC交BC的延長淺于點(diǎn)M,

圖4

AzDCM=4M,

?.?四邊形｛BCD是平行四邊形，

：.DM-CD-AB-10,AB||CD

:.乙B=Z.DCM=zM,

VZ.FEC=乙DEF4-乙DEC=乙B+乙BFE,乙B=乙DEF,

，乙DEC=LBFE,

：?ABFE~AMED,

,EF_BE_6_3

*"DE~DM_10~5'

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定

與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?北京?校考一模)對于平面直角坐標(biāo)系％Oy中的圖形M和點(diǎn)P,給出如下定義：將圖形M繞點(diǎn)P順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。得到圖形N,圖形N稱為圖形M關(guān)于點(diǎn)P的“垂品圖形”.例如，圖1中點(diǎn)。為點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)P的“垂江圖

形”.

悔

5■

4-

3-

2-

1-

j---------1_?------->

-5-4-3-2-10-12345x

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

圖1備用圖

(1)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)。的“垂直圖形”為點(diǎn)6.

①若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),則點(diǎn)8的坐標(biāo)為：

②若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1),則點(diǎn)/的坐標(biāo)為：

(2)員一3,3),F(-2,3),G(a,0),線段關(guān)于點(diǎn)G的“垂直圖形"記為E'F',點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為E',點(diǎn)尸的對應(yīng)點(diǎn)

為尸.

①求點(diǎn)E'的坐標(biāo)（用含a的式子表示）：

②若。。的半徑為2,E'F'上任意一點(diǎn)都在。。內(nèi)部或圓匕直接寫出滿足條件的EE'的長度的最大值.

【答案】（1）①（3,0）,②（一1,3）

⑵①（3+Q,3+Q）,@V22

【分析】（1）①②根據(jù)"垂直圖形''的定義可得答案；

（2）①過點(diǎn)E作EP1x軸丁點(diǎn)P,過點(diǎn)E'作1x軸丁點(diǎn)”，利用AASijf明APEG三△HGE'得E'"-PG-a+3,

GH=EP=3,從而得出答案；②由點(diǎn)E'的坐標(biāo)可知，滿足條件的點(diǎn)E'在第一象限的。0上，求出點(diǎn)E'的坐

標(biāo)，從而解決問題.

【詳解】（1）解：①???點(diǎn)A的坐標(biāo)為｛0,3）,

二點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）,

故答案為：（3,0）；

②當(dāng)3（3,1）時(shí)，如圖，｛（一1,3）,

故答案為：（-1,3）：

（2）解：①過點(diǎn)E作EP1%軸于點(diǎn)P,過點(diǎn)V作E'Hl》軸于點(diǎn)H,

VZ-EGE'=90°,EG=E'G,

:.Z.EGP+￡E'GH=90°,LEGP+=90°,

???LE=Z.E'GH,

v乙EPG=乙GHE',

:.^PEG=^HGE'（AAS）,

E'H=PG=u+3,GH=EP=3,

OH=3+a,

??E'（3+a,3+ci）；

②如圖，觀察圖象知，滿足條件的點(diǎn)。在第一象限的o。上,

???E'（3+a,3+a）,OEf=Z,

???（Q+3）2+（Q+3）2=22,Q+3=0（負(fù)值舍去）,

Aa=V2-3?

二口（夜,迎），

二EEr=J(V2+3)2+(V2-3)2=V22.

??.EE'的長度的最大值為伍.

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，"垂直圖形''的定義，坐標(biāo)與圖形,

求出點(diǎn)E'的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

4.(2021?浙江嘉興??？家荒?閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，過另外兩

個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型''如圖①：在△ABC中，NAC8=90。，AC=BC,分別過A、

8向經(jīng)過點(diǎn)C直線作垂線，垂足分別為。、E,我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：4AD8ACEB.

(1)探究問題：如果AC8C,其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論：△AOCsZXCEB.請你說明理由.

(2)學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=g與直線CD交于點(diǎn)M(2,1),且兩直線夾角為a,

且tana=j請你求出直線CD的解析式.

(3)拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形A8CQ中，AB=4,BC=5,點(diǎn)E為8C邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE,將線段AE

繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)A落在點(diǎn)尸處，當(dāng)點(diǎn)。在矩形A3C。外部時(shí)，連接PC,PD.若△OPC為直角

三角形時(shí)，請你探究并直接寫出B￡的長.

【答案】(1)見解析

(2)y=+y

(3)4或百

【分析】(I)由同角的余角相等可得/3CE=NDAC,且NAOC=N5EC=90。，可得結(jié)論；

(2)過點(diǎn)。作ONJLOM交直線CO干點(diǎn)M分別過M、N作M￡Lx軸N/_Lx軸，由(1)的結(jié)論可得：

>NFOs叢OEM，可得釜=黑=黑，可求點(diǎn)N坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解析式；

OcMEMO

(3)分兩種情況討論，由全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】(I)解：理由如下，

?「ZACfi=90°,

:.NACD+N4CE=90。,

又???/AOC=90。，

:.Z4CD+ZD4C=90°,

???/BCE=ADAC,且N/1OC=ZBEC=90°,

:.AADCSACEB；

(2)解：如圖，過點(diǎn)。作。N_LOM交直線CO于點(diǎn)N,分別過M、N作ME_Lx軸，NFJ_x軸,

,NF_OF_NO

'OE-ME-MO'

??點(diǎn)M(2,1),

\OE=2,ME=\

.NFOF3

,—■,——

2-1?2，

??Nr=3,OF=-,

2

,?點(diǎn)N(-1,3),

??設(shè)直線CO表達(dá)式：y=kx+b,

(1=2k+b

.*=-|k+b

??直線8的解析式為：y=5-：

(3)解：當(dāng)NCD尸=90。時(shí)，如圖，過點(diǎn)尸作PH_LBC,交BC延長線于點(diǎn)從

■:NAOC+/COP=180°,

???點(diǎn)A,點(diǎn)。，點(diǎn)尸三點(diǎn)共線，

,:NBAP=NB=N"=90。，

???四邊形是矩形，

：.AB=PH=4,

?/將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，

:?AE=EP,Z4EP=90°,

???/AEB+/PEH=9()c,且“孫￡：十/4￡；6=90%

:?NBAE=NPEH,且N8=N”=90°,AE=EP,

?'△ABE烏AEHP(AAS),

：.BE=PH=4,

當(dāng)NCP/)=9O。時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作PH_L8C,交8c延長線于點(diǎn)，，延長〃。交4。的延長線于M則四邊

設(shè)BE=x,則EC=5-x,

?/將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，

：.AE=EP,NAEP=90。，

1/AEB+/PEH=9G°，且/6A￡>/AEB=9O0，

；?NBAE=NPEH,且NB=NEHP=90°,AE=EP,

:.△ABE94EHP(AAS),

：.PH=BE=x,AB=EH=4,

：.PN=4-x,CH=4-(5-x)=x-l=DN,

,:ZDPC=90°,

/.NOPN+NCPH=90°,且NCPH+NPCH=90。,

：?NPCH=NDPN,且NN=NC〃P=90°,

:.△CPHsAPDN,

?DNNP

??1—，

PHCH

,_3±V7

?.?點(diǎn)尸在矩形A8CQ外部，

._3+V7

..,r------,

2

:?BE="

2

綜上所述：當(dāng)BE的長為4或安時(shí)，AOPC為直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題是考查了待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形

的判定和性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)健.

5.(2022下?安徽淮北?九年級校聯(lián)考階段練習(xí))數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)與應(yīng)用.【學(xué)習(xí)】如圖1/840=90。,/18=4。，

BC1C,DEJ.4C于點(diǎn)￡由21+42=42+乙。=90°,得=5L/.ACB=/.AED=90°,

可以通過推理得到△ABCaDAE.我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“一線三等角”模型：

B

用含x的式子表示C。的長：

(2)【拓展】在△48C中，點(diǎn)。，E分別是邊8C,AC上的點(diǎn)，連接A/>△8=乙4。￡=4。，48=5,

BC=6.若ACOE為直角三角形，求。。的長：

(3)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4),點(diǎn)8為平面內(nèi)任?點(diǎn).△A。？是以O(shè)A為斜邊

的等腰直角三角形，試直接寫出點(diǎn)8的坐標(biāo).

【答案】⑴CO=+十7

(2)3

(3)(3,1)或(-1,3)

【詳解】(1)解：\'￡ABP=Z.APC=Z.PDC=a.

：.z.A+Z.APB=乙APB+Z.CPD,

:■乙A=LCPD,

又??Z8P="0C,

MABPS^PDC,

.ABBP

??一=一，

PDCD

即?自

?"…”+汰

(2)解：如圖4,當(dāng)乙CED=90。時(shí),

圖4

VZ/4DF=zC,Z.CAD=Z.DAE,

△14cos△ADE,

J.Z.ADC=Z.AED=90°,

'：/.B=Z.C,/.ADC=90°

??.點(diǎn)。為8C的中點(diǎn)，

CD=-BC=-x6=3.

22

如圖5,當(dāng)NEOC=90。時(shí)，

圖5

?:乙B=乙C,

.??4B/1。=乙EDC=90°,

過點(diǎn)A作/1F1BC,交BC于點(diǎn)、F,

?or1oBFAB3

..BF=-BC=3，cosBD=—=—=

2ABBD5

BD=^>6,不合題意，舍去，

?5

:.CD=3.

（3）解：分兩種情況：

①如圖6所示，過人作AC_Ly軸于。，過8作8E_Lx軸于E,。八與EB相交于C,則NC=90。，.?.四邊形

OECD是矩形

：.AD=2,OD=CE=4,

,/ZOBA=90°,

:.NOBE+NABC=90。,

'：NA3C+N84C=90。，

:.NBAC=NOBE,

在AABC與△BOE中，

(ZC=乙BEO=90°

Z.BAC=LOBE

(AB=BO

：.AABC^ABOE(AAS),

：.AC=BE,BC=OE,

設(shè)OE=x,則8c=OE=CO=x,

：.AC=BE=x-2,

:.CE=BE+BC=x—2+x=OD=4,

；.x=3,x—2=1,

???點(diǎn)8的坐標(biāo)是（3,1）；

②如圖7,同理可得，點(diǎn)8的坐標(biāo)（一1,3）,

圖7

綜上所述，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3,1）或（-1,3）.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形

的性質(zhì)等知識：正確的作出輔助線，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

6.（2021上?山東青島?九年級統(tǒng)考期中）【模型引入】

我們在全等學(xué)習(xí)中所總結(jié)的“一線三等角、K型全等”這一基本圖形，可以使得我們在觀察新問題的時(shí)候很迅

速地聯(lián)想，從而借助已有經(jīng)驗(yàn)，迅速解決問題.

圖1圖2圖3

B

圖4

【模型探究】

如圖，正方形48co中，E是對角線8。上一點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)E作EF_LAE,交宜線C'8于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若點(diǎn)尸在線段8c上，寫出E4與EF的數(shù)量關(guān)系并加以證明：

(2)如圖2,若點(diǎn)尸在線段C8的延長線上，請直接寫出線段8C,BE和8”的數(shù)量關(guān)系.

【模型應(yīng)用】

(3)如圖3,正方形/18C。中，A8=4,E為。。上一動(dòng)點(diǎn)，連接4E交8。于尸，過尸作W_LAE于凡過

H作HG上BD于G.則下列結(jié)論：?AF=FH；②NHAE=45。；③5O=2/G：④△CEH的周長為8.正確

的結(jié)論有一個(gè).

(4)如圖4,點(diǎn)E是正方形48C。對角線8。上一點(diǎn)，連接4E,過點(diǎn)七作EFL4E,交線段BC于點(diǎn)F,

交線段AC于點(diǎn)M,連接A“交線段3。于點(diǎn)H.給出下列四個(gè)結(jié)論，0AE=EFi②&￡>E=CB③IAEA/

=S』MCF；?BE=DE+yf2BF；正確的結(jié)論有_個(gè).

【模型變式】

(5)如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形0BC。是正方形，旦0(0,2),點(diǎn)E是線段08延長線上一點(diǎn)，

M是線段08上一動(dòng)點(diǎn)(不包括點(diǎn)O、B),作MN_LOM,垂足為M,交/C8E的平分線與點(diǎn)M求證：M。

=MN

(6)如圖6,在上一問的條件下，連接ON交于點(diǎn)F,連接FM,則NBWN和/NM8之間有怎樣的數(shù)

量關(guān)系？請給出證明.

【拓展延伸】

(7)已知NMON=90。，點(diǎn)4是射線ON上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)8是射線0M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足。8＞。4.點(diǎn)

C在線段OA的延長線上,且AC=O8.如圖7,在線段BO上截取BE,使BE=OA,連接CE.若NOBA+NOCE

=〃，當(dāng)點(diǎn)3在射線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，〃的大小是否會(huì)發(fā)生變化？如果不變，請求山這個(gè)定值；如果變化，請

說明理由.

(8)如圖8,正方形八8。。中，AD=6,點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn)，連接?！赀^點(diǎn)E作交八8

于點(diǎn)F,連接。巴交AC于點(diǎn)G,將AEEG沿即翻折，得到△EFM,連接。M,交.EF干息N,若點(diǎn)尸是

AB邊的中點(diǎn)，則4EDM的面積是.

【答案】(1)AE=EF,證明見解析：(2)8E=y(FC-BF)；(3)4；(4)3；(5)見解析；(6)z/VMF=乙NMB,

證明見解析；(7)/?的大小不變，0=45。，理由見解析：(8)y

(分析］(1)過點(diǎn)￡1作VZ1AD,交力。于丫,交8C于Z,證明△Z8￡*是等腰直角三角形，進(jìn)而證明△AEYz△EFZ,

即可證明/IE=EFx

(2)過E分別向AB,BC作垂線，垂足分別為兀U,證明四邊形TBUE是正方形，證明△7T4三2UEF,過川乍

AV18。于匕過尸作rW18。的延長線于點(diǎn)W,設(shè)正方形的邊長為a,在/?￡△48。中，求得80,進(jìn)而求得4V=

并。=日Q,證明三AFFIV,進(jìn)而可得8十二與"，由BE+3W=8E+￡V=8V=W=￥a,

可得BE=與(BC-BF)

(3)①由(1)直接判斷①；根據(jù)是等腰直角三角形，即可判斷②；過力作/1R_LB。于R,證明△{/?廣三

△FCH可得AR=FG,進(jìn)而判斷；③過點(diǎn)4作4Q1HE于點(diǎn)Q,延長C8至Q,使BP=DE,證明△APHSAAEH,

進(jìn)而可得△CE”的周長為28C,即可判斷④：

(4)①由(1)直接判斷①：過E作PQ〃DC,交＜D,BC分別為點(diǎn)P,Q,證明△DPEfEQB是等腰直角三角形，

證明&△￡尸Q=Rt^AEP,進(jìn)而可得DE=^DP=曰CF,即可判斷②；過F作KF〃PQ交BD于點(diǎn)K,KN上

PQ于N,可得KB=V2FF,由②可知PD=QF,進(jìn)而證明^DPESAKNE,BE=BK+EK=DE+我BF可

判斷④，由于M點(diǎn)的位置不確定，無法判斷S-EM和SAMCF的關(guān)系，即可判斷③；

(5)在0D上取OH=OM,連接HM,證明△HDM=△BMN即可：

(6)延長80至點(diǎn)4使得AO=CF,連接/W,過點(diǎn)M作MP1DN于點(diǎn)F,證明△AODFCD,可得4CDF=

/.ODA,進(jìn)而證明^ADMw△FDM,由4NM尸+乙FMP=乙NMP=45°,根據(jù)角度的等量換算可得上NMF=

乙MDO,乙NMB=CMDO,進(jìn)而可得上/VMF=4NMB；

(7)過點(diǎn)C作CF//OB,且CF=0A,連接4"交CE于點(diǎn)G,連接BF,證明ABOAACF,可得84=AF,^.l=

Z2,進(jìn)而可得25=45。，進(jìn)而證明四邊形8EC"是平行四邊形，根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)可

得+Z1=45°,即/?=45°

(8)過E作PQ_LOC,交。C于P,交月6于Q,連接BE,證明PE—PC,設(shè)PC—即則PE—x,PO—6—尤，

EQ=6-%,證明△DEF是等腰直角三角形，證明△DEC玨BEC,在Rt△DEP中，勾股定理求得DE=邛，

進(jìn)而可得E凡過點(diǎn)尸作/H14C于點(diǎn)從證明△DGC八FGA,進(jìn)而求得4G=2VI,進(jìn)而求得GE,在Rt△HGF

中，勾股定理求得『G,進(jìn)而求得SAEFG，根據(jù)翻折的性質(zhì)求得SA￡FM，根據(jù)SAEOM=S四邊形DFME-S&DFN=

S^DEF+S&EFM-SADFM即可求得S&EDM=y-

【詳解】(1)若點(diǎn)尸在線段BC上，/1E=EF,理由如下，

過點(diǎn)E作YZ14D,交AO于丫，交BC于Z,

?.,四邊形48CC是正方形，

:"D=AB=BC,Z.DAB=乙ABC=乙。=Z.ADC=90°

又???YZ1AD

四邊形48ZV是矩形，

:.AY=BZ

-：AD=AB,/.BAD=90°

Z.ADB=乙ABD=乙DBC=45°

.?.△ZBE是等腰直角三角形

???BZ=EZ

VBZ=AY

:.ZE=AY

-AE1EF

???Z.AEY+乙FEZ=90°

vZ.AYE=90°

???Z.EAY+Z.AEY=90°

乙FEZ—uEAY

vAD//BC,YZ1AD

YZ1BC

:./.AYE=LEZF=90°

在AAEY與△/"Z中，

(/.FEZ=Z.EAY

jZE=AY

l乙EZF=Z.AYE

△AEY三△EFZ

:.AE=EF

⑵若點(diǎn)廠在線段。8的延長線上，BE=^(BC-BF),理由如下,

過E分別向48,8。作垂線，垂足分別為T,U,

?.?四邊形48C。是正方形，

^AB=AD,LBAD=90°

???四邊形T8UE是矩形，

乙ADB=Z.ABD=Z.DBC=45°

-ETLAB,EULBC

TB=TE,EU=BU,

???四邊形7BUE是正方形

:.TE=EU,TE//FU

:.乙TEF=Z.EFU

vAE1EF

ZLTEF+Z.AET=90°

???ET1AB

乙EAT+^AET-90°

ZIFF=Z.EAT

:.Z.EFU=Z.EAT

在△T'ETl與△[/￡?中

(Z.ATE=Z.FUE=90°

LEAT=乙EFU

(TE=UE

:.LTEA三AUEF

AE=EF

過4作”1BD于匕過F作FW18Q的延長線于點(diǎn)W,如圖,

W

?.?四邊形48CD是正方形，

：.AB=AD,Z.BAD=90°

???LADB=Z.ABD=45°

設(shè)正方形的邊長為a,

vAV1BD

AV=BV=VD

在RtzMBD中，BD=>/AD2+AR2=V2AD=V2a,

.?"=裕=泉

22

VAE1EF,AV1EV

Z.AEV+Z.EFW=90°,/.AEV+Z.EAV=90°

???Z.EFW=Z-EAV

vFW1WDtAV1BD

ALFWE=Z-AVE=90°

在和△EFW中

Z-EFW=/-EAV

LFWE=LAVE

AE=EF

???△AEV三△EFW

EV=FW

vZ.FBW=Z.DBC=45°,FW1IVF

乙/8W=90°-￡.BFW=450

Z.V/FB=Z.WBF

FW=WB

...BF=^FW2+BW2=V2BW

即8W=*8F

???BV/=EV

BE+BW=BE+EV=BV=AV=烏a

當(dāng)BF+BE=4a

22

BC=a

.當(dāng)BF+BE/BC

22

RPFf=y(FC-FF)

(3)如圖

D

由（1）可得HF-FH,故①正確,

vAF1FH,AF=FH

??.△河”是等腰直角三角形，

.%LHAE=45°

過4作4A1BD于R,

-AD=AB,Z.BAD=90°

1

AAR=BR=DR=-BD

-ARLBD,HGLBD

?%LARF=Z.FGH=90°

???Z.AFR+/.FAR=90°,Z.AFR+Z.GFH=90°

乙FAR=Z.HFG

XvAF=FH

ARFFGH

:.AR=FG

1

.'.FG=-BD

2

故③正確，

如圖，過點(diǎn)力作AQ1〃E于點(diǎn)Q,延長C8至Q,使8P=/?￡,

???Z.ADE=Z.ABP=90°,48=AD,DE=BP

ABPSAADE

:.Z.DAE=乙BAP

???LEAH=45°,乙DAB=90°

:.乙DAE+Z.HAB=45°

?-?Z.BAP+Z.HAB=45°

即4/L4P=LEAH

■：AP=AE,AH=AH

:心APH三△AEH

:.HE=HP

vPH=PB■{-BH=DE+BH=EH

???△CEH的周長為CE+￡77+HC=CE+DE+8H+HC=CD+8C=2BC

?.?正方形的邊長為4

：.△的周長為28c=8.

故④正確，

綜上所述，故正確的結(jié)論有①②③④，共計(jì)4個(gè)

故答案為：4

(4)如圖4,

由（1）可得HE-EF,故①正確；

如圖，過E1作PQ〃。二交分別為點(diǎn)P,Q

?.?四邊形力BCD是正方形

ALADC=乙DCB=90°

vPQ//DC

:.乙DPQ=乙PQC=90°

???四邊形PDCQ是矩形

同理，四邊形A8QP是矩形，

二DP=CQ,AP=BQ

???LPDE=乙EBQ=45°

???氏AEQB是等腰直角二角形

:.PE=DP,EQ=QB

?.?四邊形力BQP是矩形

???BQ=AP

:.EQ=AP

在RMEFQ與RtUEP中,

(AE=EF

14P=EQ

???Rt△EFQ=Rt△AEP

PE=QF

1

:.DP=QF=-CF

???Z.FDE=45°,Z.DPE=90°

DE=V2DP=—CF

CF=V2DE

故②正確

如圖，過F作KF〃PQ交BD于點(diǎn)K,KN1PQ于N

則四邊形KNQF是矩形，

二NK=QF

???Z-KBF=45°,NK58=90°

:.KB=V2BF

由②可知P。=QF

：.NK=DP,Z,DPE=乙KNE=90°,乙KEN=乙DEP,

2DPE為KNE,

ADE=EK,

:.BE=BK+EK=DE+近BF,

故④正確：

由于M點(diǎn)的位置不確定，無法判斷SAM”和SAMM的關(guān)系，故③不正確,

綜上所述正確的結(jié)論由①②④，共計(jì)3個(gè)；

故答案為：3,

(5)如圖5,在0。上取OH=OM,連接HM,

VOD=OB,OH=OM

:.HD=MB,乙OHM=OMH

???乙DHM=180°-45°=135°

???BN平分乙CBE

:.乙NBE=45°

乙MBN=1350

乙DHM=乙MBN

vDM1MN,乙408=90°

:.乙DMO+乙NMB=90°

vZ.DMO+乙HDM=90°

???Z.HDM=乙NMB

△HDM與中

Z.HDM=乙BMN

DH=BM

Z-DHM=Z.MBN

A△HDM三△BMN

???DM=MN

(6)如圖6,在上一間的條件下，連接ON交8。于點(diǎn)凡連接乙NMF=LNMB,理由如下,

延長8。至點(diǎn)A,使得AO=CF,連接4C,過點(diǎn)M作MP1DN于點(diǎn)F,

vDC=DO/DOA=乙DCF=90°,CF=AO

???△AOD=△FCD

Z.CDF=Z.ODA,AD=DF

vDM=MN,DM1MN

:.乙MDN=45°

???Z.CDO=90°

:.Z.CDF+乙MDO=90°-乙FDM=45°

Z.ODA+ODM=45°=Z.ADM

???Z.ADM=Z.FDM

在△4OM與△尸OM中，

AD=AF

Z.ADM=乙FDM

DM=DM

△ADM=△FDM

???MP1DF

???Z.FMF+乙PFM=90°

vZ.DAO+/.ADO=90°

...LPMF=Z-ODA

vZ.MDO+Z.ODA=45°

:.Z-PMF+Z.MDO=45°

???DM=MN,MP1DN

PM-PN

：.乙PMN=45°

:.乙NMF+乙FMP=乙NMP=45°

:.乙NMF=乙MDO

v乙NMB=Z.MDO

二乙NMF=乙NMB

（7）3的大小不變，0=45。，理由如下,

過點(diǎn)。作C77/08,且6=04連接苻交CE于點(diǎn)G,連接8凡如圖,

???CF//OB,

Z.BOA+Z.ACF=180°

vZ.BOA=90°

AZ.ACF=90°

Z.BOA=Z.ACF

又。8=4。,04

：,>BOAACF

???BA=AF,￡1=Z2

z.4=z.5

Vzl+z3=90°

:.乙2+43=90°

:.Z.BAF=180°-(Z2+Z3)=90°

:.z5=45°

vzl+z.7=z24-z7=z6

vBE//CF,BE-OA-CF

四邊形BE6是平行四邊形

:.BF//CE

:.45=46=45°

:.Z7+Z1=45°

即0=45°

(8)如圖，過E作PQJ.DC,交DC于P,交48于Q,連接BE,

:.PQ1AB

?.?四邊形ABCD是正方形，

...Z.ACD=45°,

△PEC是等腰直角三角形，二PE=PC

設(shè)PC=%，則PE=%PD=6-%,EQ=6-x

:.PD=EQ

???Z.DPE=Z-EQF=90°,/.PED=Z.EFQ

DPE=△EQF(AAS)

DE=EF'：DE1EF

尸是等腰直角三角形

vDC=BC/DCE=乙BCE=45°,CE=(CEDECFEC(SAS)

DE=BE

???EF=BE

vEQ1FB

1

???FQ=BQ=-BF

乙

???AB=AD=6,尸是AB的中點(diǎn)

:.BF=3

3

:.FQ=BQ=PE=-

3V29

.-.CE=—,PD=-

22

在中，DE=\/DP24-PE2=JH9_3同

4十4-2

3V10

AEF=DE=——

2

過點(diǎn)F作尸HJ.4c于點(diǎn)”,如圖，

DC

AFB

vaAD=CD=6

AAC=6&

vDC//AB

DGCFGA

...”三絲=2=2

AGAF3

ACG=2AG

:.AG=2V2

巨=5正,

：,GE=AC-AG-CE=6、叵

-Z.FAC=45°,HFLAC

二乙FAC=Z.AFH=45°

vAF=3

3V2

二AH=HF=--

2

五

HG=—

乙

在RtAHGF中.FG=y/HG24-HF2==V5

113V25V215

S&EFG=--GE-FH=-x-y-x=—

?將2kEFG沿EF翻折，得到△EFM,

:.SAMM=gFM=FG=V5,乙DFE=Z.EFM=45°

Z.DFM=90°

vDF=yjDA2+AF2=V36+9=3Vs

1廠廠15

?*-SNFM=5x3V5xV5=—

VS/iEDM=S3影DFME—^ADFM=S4DEF+^AEFM-S^DFM

13x/103V10151515

=-X------X-------+-----------=----

222422

.C_15

,,iAEDM一~

故答案為：y

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合題，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，等

腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等是解題的關(guān)鍵.

7.（2022匕吉林長春?七年級長春市第四卜五中學(xué)校考期中）通過對數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模

型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題:

［模型呈現(xiàn)］如圖I,4840=90。，AB=AD,過點(diǎn)3作BC14C于點(diǎn)C,過點(diǎn)。作OE1AC于點(diǎn)E.求證:

BC=AE.

［模型應(yīng)用］如圖2,4￡_148且46=48,8cle。且=請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所

圍成的圖形的面積為.

［深入探究］如圖3,/.BAD=/.CAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接BC,"E,且BC14產(chǎn)于點(diǎn)凡DE與

直線4尸交于點(diǎn)G.若BC=21,AF=12,則△AOG的面積為.

【答案】［模型呈現(xiàn)］見解析：［模型應(yīng)用］50：［深入探究］63

【分析】［模型呈現(xiàn)］證明△/WC三△D4E，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BC-/1E；

［模型應(yīng)用］根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到4P=8G=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,根據(jù)梯

形的而積公式計(jì)算，得到答案；

［深入探究］過點(diǎn)。作DP14G于P,過點(diǎn)E作EQ14G交AG的延長線于Q,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DP=

AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,證明△DPGEQG,得到PG=GQ.,進(jìn)而求出4G,根據(jù)三

角形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】［模型呈現(xiàn)］證明：??NB/1D=9O。，

：.z.BAC+Z.DAE=90°,

\'BCLAC,DELAC,

：.z.ACB=Z.DEA=90°,

：.z.BAC+/.ABC=90°,

：.z.ABC=Z.DAE,

在△48C和△D4E中，

/.ABC=乙DAE

Z.ACB=乙DAE,

BA=AD

.,.△A5C=AD/1E(AAS),

：,BC=AE；

［模型應(yīng)用］解：由［模型呈現(xiàn)］可知，△AEP-￡△BAGACBGSADCH,

：.AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=8G=3,

貝1JS實(shí)線圍成的圖形=—(4+6)x(3+6+4+3)——x3x6--x3x6--x3x4--x3x4=50,

D

GQ

故答案為：50；

［深入探范過點(diǎn)D作DP14G于P,過點(diǎn)E作EQ_L4G交AG的延長線干Q,

由［模型呈現(xiàn)］可知，△AFB=△DPA,^AFC=△EQA,

：.DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,

在△DPG和中，

Z-DPG=Z-EQG

Z.DGP=乙EGQ,

DP=EQ

：.△DPG三△EQG（AAS）,

：?PG=GQ,

'：RC=21,

：.AQ+AP=21,

：.AP+AP+PG+PG=21,

?MG=4P+PG=10.5,

:?SAADQ=；x10.5x12—63,

故答案為：63.

【點(diǎn)睛】木題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，熟記三角形確定的判定定理是解題

的關(guān)鍵.

8.（2020上.河南安陽?八年級統(tǒng)考期末）（1》如圖①.已知:在△/1BC中，LBAC=90%AB=AC,直線仇經(jīng)

過點(diǎn)4,8D1直線771,CE1直線m,垂足分別為點(diǎn)0、E.則線段DE、8D與CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

AEmDAEmDAEm

（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線"?上，并且有4BDA=

AAEC=ABAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問：(1)中的結(jié)論是還否成立？如成立，請你給出證明；

若不成立，請說明理由.

(3)拓展與應(yīng)用：如圖③，D,E是D,A,E三點(diǎn)所在直線/〃上的兩動(dòng)點(diǎn)(。，A,E三點(diǎn)互不重合)，點(diǎn)

“為乙BAC平分線上的一點(diǎn)，且△48尸和△4CF均為等邊三角形，連接8D、CE.^Z-BDA=Z-AEC=Z.BAC,

試判斷AOE/的形狀，并說明理由.

【答案】⑴DE=BD+CE：(2)成立，證明見解析：(3)等邊三角形，理由見解析

【分析XI)根據(jù)垂直的定義得到48。力-“E/4-90,根據(jù)等角的余角相等得到乙C/1E-4/16。，根據(jù)“AAS”

證明△4DBEACE4根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到4E=8。，AD=CE,結(jié)合圖形得到DE=80+CE：

(2)根據(jù)NB04=Z.AEC=乙BAC,得到418。=Z.CAE,由AAS定理證明^ADBSACEA,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)得到BD=/1E,DA=CE,得出結(jié)論：

(3)根據(jù)△408空△CEA,得至lj80=AE,/.DBA=Z.CAE,證明△DBFE4r(SAS),得到。F=E凡

乙BFD=4FE,求出功FE=60。，根據(jù)等邊三角形的判定定理得到答案.

【詳解】解：(1)DE=8D+CE.理由：如圖1,

BD1直線m,CE1直線m,

:.Z.BDA=Z.CEA=90°,

,:乙BAC=90。，

?-?/.BAD+Z.CAE=90%

???/.BAD+Z.ABD=90°,

Z.CAE=Z.ABD,

在△ADB和ACETI中，

LABD=Z.CAE

Z.ADB=Z.CEA=90°,

BA=AC

三△(7區(qū)4(AAS),

二AE=BD,AD=CE,

:，DE=AE+AD=BD+CE：

(2)(1)中結(jié)論成立,

理由如下：如圖2,vZ.BDA=/.BAC=a,

二/.DBA+/.BAD=乙BAD+Z.CAE=180°-a,

???/.DBA=Z.CAE,

在△ADB和△CEA中,

乙DBA=Z.CAE

Z.BDA=Z.AEC?

BA=AC

???△7IDB三△C￡7I(AAS),

:.AE=BD,AD=CE,

:.DE=AE4-AD=BD4-CE：

(3)結(jié)論：aOEF是等邊三角形.

理由：如圖3,由(2)可知，△力。8天△C￡4,

:.BD=AE,/.DBA=Z.CAE,

???△尸和△4CF均為等邊三角形，

Z.