浙江省名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．樣本數(shù)據(jù)3，3，4，4，5，5，6，7的第75百分位數(shù)是（

）A．6.5 B．6 C．5.5 D．52．已知向量，，且，則（

）A． B．4 C． D．83．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，則朝上面的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．4．在三棱錐中，D，E分別為PA，BC的中點(diǎn)，，，，則（

）A． B．C． D．5．已知直線與，若，則，之間的距離是（

）A． B． C． D．6．某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中，選手若能連續(xù)正確回答出2個(gè)問(wèn)題，則停止答題，晉級(jí)下一輪．假設(shè)甲選手正確回答出每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.8，且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則甲選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率為（

）A．0.256 B．0.128 C．0.064 D．0.02567．人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球中心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．如果衛(wèi)星當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)，地球當(dāng)作半徑為R的球體，衛(wèi)星軌道的近地點(diǎn)（距離地面最近的點(diǎn)）A距離地面為，遠(yuǎn)地點(diǎn)（距離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）B距離地面為，且F，A，B在同一直線上，則衛(wèi)星軌道的離心率為（

）A． B．C． D．8．點(diǎn)P是所在平面外一點(diǎn)，，，，則點(diǎn)到平面距離的最大值是（

）A． B．6 C． D．8二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差分別記為，，，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中，其平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差分別記為，，，，則（

）A． B．C． D．10．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．11．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)到平面的距離等于B．若點(diǎn)滿足，則的最小值是C．若點(diǎn)滿足，則的最小值是D．若點(diǎn)滿足，則的最小值是非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是．13．已知某組數(shù)據(jù)為x，y，8，10，11．它的平均數(shù)為8，方差為6，則的值為．14．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，，分別為的兩個(gè)焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在上（異于的左、右頂點(diǎn)），的重心為G，若直線與的斜率之積為非零常數(shù)，則．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角為45°，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；(2)若直線，且到的距離為，求的方程．16．在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱平面，，為線段AD的中點(diǎn)，為PC上的一點(diǎn)，且．(1)求直線EF與平面所成的角的正弦值；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．17．已知橢圓的右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，過(guò)其右焦點(diǎn)的直線交橢圓于B，D兩點(diǎn)．(1)求的值；(2)若的角平分線交直線于點(diǎn)，證明：E，A，B三點(diǎn)共線．18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓．(1)求圓O與圓C的外公切線的長(zhǎng)；(2)過(guò)圓C上的任意一點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，設(shè)．①求的值；②求圓心C到直線AB的距離的取值范圍．19．在平面內(nèi)，若點(diǎn)P，Q分別是直線l與圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則稱的最小值為直線l與圓C的“線圓距離”，類(lèi)比到空間中，若點(diǎn)P，Q分別是平面內(nèi)與球M表面上的動(dòng)點(diǎn)，則稱的最小值為平面與球M的“面球距離”．如圖，在直四棱柱中，，，，，點(diǎn)在線段AD上，且，點(diǎn)在線段上．(1)求直線CD與外接圓的“線圓距離”；(2)求平面與三棱錐外接球的“面球距離”；(3)當(dāng)平面與三棱錐外接球的“面球距離”為零時(shí)，求的最大值．

答案1．C解析：解析：因?yàn)椋詷颖緮?shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)即.故選:C．2．A解析：，，，∵，∴，，所以，故選：A．3．D解析：將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，樣本空間，共有36個(gè)樣本點(diǎn)，記“朝上面的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”為事件，則事件，有27個(gè)樣本點(diǎn)，所求概率為，故選：D．4．D解析：.故選：D．5．C解析：由于，故，解得，故與，故兩直線間距離為，故選：C6．B解析：解析：記為“第次正確回答出問(wèn)題”，則，故選：B．7．A解析：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸，短半軸，半焦距分別為，則由題意得，解得，所以該橢圓形軌道的離心率.故選：A.8．B解析：設(shè)AB的中點(diǎn)為，則，所以，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，作，垂足為，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，作，垂足為，則平面，所以，又，平面，所以平面，即為所求的距離，在中，，由等面積知，故當(dāng)最大時(shí)，達(dá)到最大，即時(shí)，．故選：B9．ABD解析：A．，A正確；B．新樣本數(shù)據(jù)的順序與原樣本數(shù)據(jù)相同，即中位數(shù)滿足，B正確；C．根據(jù)方差性質(zhì)，有成立，C錯(cuò)誤；D．若是，，…，中最大（或最?。┲?，則對(duì)應(yīng)也是，，…，中最大（或最?。┲担詷O差滿足，D正確.故選：ABD．10．ACD解析：，，，，，設(shè)，，則，，A．，范圍是，故A正確；B．設(shè)，則，故B錯(cuò)誤；C．設(shè)為原點(diǎn)，則；故C正確；D．和的最大值為，最小值為，所以的最大值為，最小值為，，故D正確.故選：ACD11．BD解析：對(duì)于A，如圖，根據(jù)題意可得，點(diǎn)在線段上，平面平面，所以點(diǎn)到平面的距離即是平面與平面的距離，由正方體的性質(zhì)可知，垂直平面和平面，并被這兩個(gè)平面三等分，所求距離為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，將對(duì)角面繞翻折與平面重合，此時(shí)中，，，故B正確；對(duì)于C，由得，平面上點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，空間中點(diǎn)的軌跡則是球面，球心在直線上，，半徑為，所以的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋谄矫嫔宵c(diǎn)的軌跡是橢圓，在空間中點(diǎn)的軌跡則是橢球，橢圓中心為的中點(diǎn)，焦距為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)也為，所以的最小值為，故D正確.故選：BD．12．解析：化直線方程為：，即定點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：.13．65解析：因?yàn)閤，y，8，10，11．它的平均數(shù)為8，所以，由，得，則，可得：.故答案為：65.14．解析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點(diǎn)，，則代入中，得①又因?yàn)椋?，即②比較得，，即，，又，即，解得．故答案為：15．(1)(2)或解析：（1）直線的斜率是，．其方程為：，直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)為和，則所求三角形面積為：．（2）直線的斜率是，設(shè)其方程為，所以，得或，所以的方程為或．16．(1)(2)解析：（1）連接AC，因?yàn)榈酌媸钦叫?，?cè)棱平面，以為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，平面，平面，，，，取平面的法向量為，，，又，，而，，記直線EF與平面所成的角為，則，所以直線EF與平面所成的角的正弦值為．（2）設(shè)平面的法向量為，，，，，即，令，則取，易知平面，取平面的法向量為，記平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．17．(1)(2)證明見(jiàn)解析解析：（1）由得，，所以，，即，故橢圓方程為，將代入橢圓方程得，所以.（2）設(shè)直線傾斜角為，則，得，所以直線為，得，又，所以直線斜率為，直線斜率為，所以，故E，A，B三點(diǎn)共線．18．(1)(2)①；②解析：（1）圓心，半徑為,圓心O0,0，半徑為，故，所以外公切線長(zhǎng)為．（2）①設(shè)點(diǎn)，則滿足，得，所以，而，得，所以．②設(shè)點(diǎn)，以為直徑的圓方程為，即，所以兩圓的公共弦所在的直線方程為．圓心到直線AB的距離為，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，即，，所以，設(shè)，且，由對(duì)勾函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，得的最小值為，，,最大值為，所以的取值范圍為．19．(1)(2)(3)解析：（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，在平面上，外接圓的圓心為的中點(diǎn)，即，且，故外接圓方程為：，直線CD的方程為，即，圓心2,1到直線CD的距