2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市天橋區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案1

2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市天橋區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案一．選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.如圖是一個(gè)零件的示意圖，它的俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【詳解】解：從上面看該零件的示意圖是一個(gè)大矩形，且中間有2條實(shí)線段，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖．2.已知，則下列比例式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，，，則A、C、D選項(xiàng)均不正確，B正確，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)并靈活變形是解題的關(guān)鍵．3.如圖，兩條直線被三條平行線所截，若，，，則（）A.4 B.8 C.12 D.9【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，據(jù)此代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，即，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．4.若是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)是一元二次方程的一個(gè)解，代入方程即可求解m的值.【詳解】解：根據(jù)題意，把代入得：解得：故選C【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解（根)的意義、一元一次方程，解題的關(guān)鍵是能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．5.若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將代入函數(shù)中，即可求出結(jié)果；【詳解】解：∵反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)的表達(dá)式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6.下列命題正確是（）A.對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形 B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形以及正方形的判定方法，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、對(duì)角線相等平行四邊形是矩形，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，選項(xiàng)正確，符合題意；D、對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選C【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形、矩形、菱形以及正方形的判定，掌握它們的判定方法是解題的關(guān)鍵．7.對(duì)于反比例函數(shù)，下列說法不正確的是（）A.圖象分布在第二、四象限 B.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，） D.若點(diǎn)，都在該函數(shù)圖象上，且，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴圖象在第二、四象限，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A，B正確，不符合題意；將代入解析式得∴圖象經(jīng)過點(diǎn)故C正確，不符合題意；根據(jù)反比例函數(shù)在或上，隨著的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，的大小無(wú)法確定故D錯(cuò)誤，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)．8.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，，連接交于點(diǎn)F，則的面積與的面積之比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，則，由四邊形是平行四邊形，推出，，推出，推出由此即可解決問題．【詳解】解：設(shè)，，則，∵四邊形是平行四邊形，∴A，，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．9.電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》上映以來，全國(guó)票連創(chuàng)佳績(jī)，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，某市第一天票房約2億元，若以后每天票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，三天后累計(jì)票房收入達(dá)10億元，將增長(zhǎng)率記作，則方程可以列為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)增長(zhǎng)率記作，分別求得三天的收入，根據(jù)三天后累計(jì)票房收入達(dá)10億元，列方程即可求解．【詳解】解：設(shè)增長(zhǎng)率記作，依題意，故選：D．10.如圖，在矩形中，點(diǎn)F是邊上的一點(diǎn)，把矩形沿折疊，點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，，點(diǎn)M是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作的垂線交于點(diǎn)N，垂足為H．以下結(jié)論：①；②；③；④=．其中正確的結(jié)論有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】本題考查折疊的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用矩形的折疊相關(guān)知識(shí)，先用勾股定理求出，設(shè)，結(jié)合和利用勾股定理列出方程可求出，從而判定③錯(cuò)誤，利用一線三直角模型可證明，從而判定①正確，利用相似三角形的性質(zhì)可知，而，從判定故②錯(cuò)誤，作，證明，可判斷故④正確，從而得解．【詳解】由矩形的性質(zhì)得：，，，由折疊的性質(zhì)得，，，在中，，∴，設(shè)，∴，在中，，解得，即，故③錯(cuò)誤；在矩形中，，∴，又∵，∴，∵，，∴，故①正確；∵，∴，∵，∴，故②錯(cuò)誤；作，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故④正確；故正確的有①④，共兩個(gè)．故選B．二．填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11.一元二次方程的根是______．【答案】，【解析】【分析】化這一般形式，運(yùn)用因式分解法求解；【詳解】解：，∴，．故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的求解；掌握一元二次方程的求解是解題的關(guān)鍵．12.若，則_________．【答案】##【解析】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，分式的運(yùn)算．熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．13.為了估計(jì)水塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者先從魚塘中捕獲50條魚，在每一條魚身上做好標(biāo)記后把這些魚放歸魚塘，再?gòu)聂~塘中打撈魚．通過多次實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)捕撈的魚中有作記號(hào)的頻率穩(wěn)定在2.5%左右，則魚塘中估計(jì)有魚______條．【答案】2000【解析】【分析】由題意已知魚塘中有記號(hào)的魚所占的比例，用樣本中的魚除以魚塘中有記號(hào)的魚所占的比例，即可求得魚的總條數(shù)．【詳解】解：50÷2.5%=2000.故答案為：2000.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)中用樣本估計(jì)總體的思想，熟練掌握并利用樣本總量除以所求量占樣本的比例即可估計(jì)總量．14.如圖的紅葉，A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，B為的黃金分割點(diǎn)（)，若的長(zhǎng)度為，則的長(zhǎng)度為____________．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【解析】【分析】本題考查了黃金分割點(diǎn)的概念．注意這里的是較長(zhǎng)線段，所以，即可求解．【詳解】解：由題意得：，∴，故答案為：．15.如圖，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，直線AB//x軸，并分別交兩條曲線A、B兩點(diǎn)，若S△AOB=2，則k2-k1的值為________．【答案】4【解析】【詳解】解：設(shè)A（a，b），B（c，d），代入得：=ab，=cd，∵，∴cd-ab=2，∴cd-ab=4，∴-=4，故答案為4．【點(diǎn)睛】設(shè)A（a，b），B（c，d），代入雙曲線得到=ab，=cd，根據(jù)三角形的面積公式求出cd-ab=4，即可得出答案．此題能求出cd-ab=4是解此題的關(guān)鍵．16.如圖，正方形邊長(zhǎng)為，為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)在邊上，且，連接，交于點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為__________．【答案】【解析】【分析】由題意分析，得到，，可以判段點(diǎn)、點(diǎn)在以為直徑的圓上，四邊形是內(nèi)接四邊形，利用其性質(zhì)得到，故作，由，，中，射影定理，得到的長(zhǎng)，繼而得到的長(zhǎng)，最后利用勾股定理求出的長(zhǎng)．【詳解】解：由題知：和中，，，，，,點(diǎn)、點(diǎn)在以為直徑的圓上，四邊形是內(nèi)接四邊形，，，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，,，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，，，，，在中，，由射影定理，得，，，，在等腰直角中，．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的射影定理，掌握相似三角形的性質(zhì)，利用對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系，將放在等腰直角三角形中是解答本題的關(guān)鍵．三．解答題（本大題10個(gè)小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.解方程：.【答案】，【解析】【分析】直接因式分解即可求解．【詳解】，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解題關(guān)鍵．18.如圖，四邊形是菱形，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．求證：．【答案】詳見解析【解析】【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，可利用證明．【詳解】證明：四邊形是菱形，∴，∵，∴，在和中，∴．19.如圖，某同學(xué)利用鏡面反射的原理巧妙地測(cè)出了樹的高度，已知人的站位點(diǎn)A，鏡子點(diǎn)O，樹底點(diǎn)B三點(diǎn)在同一水平線上，眼睛與地面的高度為米，米，米，則樹高為多少米．【答案】樹高為4米【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用．點(diǎn)O作鏡面的法線，則，證明，即可求解．【詳解】解：如圖，點(diǎn)O作鏡面的法線，則，∵，∴，∵，∴，∴，∵米，米，米，∴，∴米，答：樹高為4米．20.如圖，在中，，，D是邊上一點(diǎn)，且．（1）求證：．（2）求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)；（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得結(jié)論；（2）利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式計(jì)算即可．【小問1詳解】證明：∵，，∴；【小問2詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴（舍去負(fù)值）．21.在如圖的方格紙中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，與是關(guān)于點(diǎn)P為位似中心的位似圖形．（1）在圖中標(biāo)出位似中心P的位置并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)為．（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在位似中心的同側(cè)畫出的一個(gè)位似，使它與的位似比為2：1；（3）的內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為，直接寫出點(diǎn)M在中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】（1）圖見解析，（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）連接兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，并延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為位似中心，根據(jù)圖形寫出坐標(biāo)即可；（2）連接、并延長(zhǎng)，使、，連接即可；（3）根據(jù)位似比，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【小問1詳解】解：（1）如圖，點(diǎn)P為所作；故答案為：；【小問2詳解】如圖，為所作；【小問3詳解】點(diǎn)M在中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或．22.在甲、乙兩個(gè)不透明的布袋，甲袋中裝有3個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2；乙袋中裝有3個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，﹣2，0；現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為x，再?gòu)囊掖须S機(jī)抽取一個(gè)小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為y，確定點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y）．（1）用樹狀圖或列表法列舉點(diǎn)M所有可能的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)M（x，y）在函數(shù)y＝﹣x+1的圖象上的概率．【答案】（1）列表見解析；共有9種等可能的結(jié)果數(shù)；（2）點(diǎn)M（x，y）在函數(shù)y＝﹣x+1的圖象上的概率＝．【解析】【分析】（1）通過列表展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)；（2）找出滿足點(diǎn)（x，y）落在函數(shù)y=-x+1的圖象上的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.【詳解】解：（1）列表如下：xy012﹣1（0，﹣1）（1，﹣1）（2，﹣1）﹣2（0，﹣2）（1，﹣2）（2，﹣2）0（0，0）（1，0）（2，0）共有9種等可能的結(jié)果數(shù)；（2）滿足點(diǎn)（x，y）落在函數(shù)y＝﹣x+1的圖象上的結(jié)果有2個(gè)，即（2，﹣1），（1，0），所以點(diǎn)M（x，y）在函數(shù)y＝﹣x+1的圖象上的概率＝．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率.23.如圖，學(xué)校打算用16的籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的生物園飼養(yǎng)小兔，生物園的一面靠墻，墻長(zhǎng)8，長(zhǎng)方形的面積是30．求生物園的長(zhǎng)和寬．【答案】圍成矩形的長(zhǎng)為，寬為【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，可設(shè)垂直于墻的一邊為，則長(zhǎng)平行于墻的一邊為，根據(jù)等量關(guān)系：面積是．列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)垂直于墻的一邊為，則平行于墻的一邊為．由題意，得，解得，．當(dāng)時(shí)，，，不合題意舍去，當(dāng)時(shí)，．答：長(zhǎng)為、寬為．24.如圖，在中，，，，點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，連接．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為()，其中．解答下列問題：（1），（用含t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)t為何值時(shí)，．（3）在P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻使得，若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】本題考查了相似三角形的綜合問題，相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理：（1）利用勾股定理得，進(jìn)而可求解；（2）利用三角形相似的判定及性質(zhì)可得，即，進(jìn)而可求解；（3）過點(diǎn)作于，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，利用相似三角形的判定及性質(zhì)可得，即，進(jìn)而可求解；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．小問1詳解】解：依題意得：在中，，，，，，，故答案為：；．【小問2詳解】，∴當(dāng)，，即，∴．【小問3詳解】過點(diǎn)作于，如圖：，，則，，，，，，，即：，解得：．25.如圖，已知一次函數(shù)圖象y=x+b與y軸交于點(diǎn)C（0，1），與反比例函數(shù)圖象y=交于點(diǎn)A（a，2）和點(diǎn)B兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和△AOB的面積；（3）若點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N為平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為y=x+1，反比例函數(shù)為y=；（2）B（-2，-1），（3）△AOB的面積為；滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）．【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，再求出A點(diǎn)坐標(biāo)即可確定反比例函數(shù)的解析式；（2）聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)D，則D（-1，0），根據(jù)S△AOB=OD?yA+OD?yB計(jì)算面積即可；（3）分∠BAM=90°、∠ABM=90°、∠AMB=90°三種情況討論求值即可．小問1詳解】解：∵一次函數(shù)圖象y=x+b與y軸交于點(diǎn)C（0，1），∴b=1，∴一次函數(shù)的解析式為y=x+1，∵點(diǎn)A（a，2）在直線y=x+1上∴a=1，即A（1，2），又∵反比例函數(shù)y=過A點(diǎn)，∴k=2，∴反比例函數(shù)為y=；【小問2詳解】解：∵反比例函數(shù)與一次函數(shù)交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，聯(lián)立兩解析式得，解得或，∴B（-2，-1），設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)D，則D（-1，0），∴OD=1，∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=OD?yA+OD?yB=×1×1+×1×2=，即△AOB的面積為；【小問3詳解】解：分三種情況討論：①當(dāng)∠BAM=90°時(shí)，設(shè)M1（0，y），則AM2+AB2=BM2，∴12+（2-y）2+（1+2）2+（2+1）2=4+（y+1）2，解得y=3，∴M（0，3）；②當(dāng)∠ABM=90°時(shí)，同理可得：M（0，-3），③當(dāng)∠AMB=90°時(shí)，設(shè)M（0，m），設(shè)AB的中點(diǎn)為J，則J（-，），∵AB=，∴AJ=BJ=JM=，∴（-）2+（-m）2=（）2，解得m=，∴M3（0，），M4（0，），綜上，滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合題型，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．26.已知ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D、E分別在邊BC、邊AC上，連接DE，DF⊥DE，點(diǎn)F、點(diǎn)C在直線DE同側(cè)，連接FC，且．（1）點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，①如圖1，k＝1時(shí)，AE和FC的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；②如圖2，k＝2時(shí)，猜想AE和FC的關(guān)系，并說明理由；（2）BD＝2CD時(shí)，①如圖3，k＝1時(shí)，若AE＝2，＝6，求FC的長(zhǎng)度；②如圖4，k＝2時(shí)，點(diǎn)M、N分別為EF和AC的中點(diǎn)，若AB＝10，直接寫出MN的最小值．【答案】（1）①AE＝FC；AE⊥FC；②AE＝2CF，AE⊥CF，見解析（2）①6；②【解析】【分析】（1）①如圖1中，結(jié)論：AE＝FC；AE⊥FC；證明可得結(jié)論．②如圖2中，結(jié)論：AE＝2CF，AE⊥CF，證明△ABE∽△CBF可得結(jié)論．（2）①如圖3中，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T，首先證明DH＝HT＝HC，設(shè)DH＝HT＝HC＝m，再證明△EDT≌△FDC（SAS），推出S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC，構(gòu)建方程求出m即可解決問題．②如圖4，連接DM，CM，根點(diǎn)M作于K，交AC于J，證明，推出點(diǎn)是在DC的垂直平分線MK上，當(dāng)時(shí)，MN的值最?。拘?詳解】解：（1）①AE＝FC，AE⊥FC；理由：由題意知BA＝BC，BE=BE，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：AE＝FC，AE⊥FC．②AE＝2CF，AE⊥CF，理由如下：∵，，∴△ABE∽△CBF，∴，∠A＝∠BCF，∴AE＝2CF，∵∠A+∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACB＝90°，∴AE⊥CF；【小問2詳解】①如圖3，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T，由題意知AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵DT∥AB，∴∠DTC＝∠DCT＝45°，∴DT＝DC，∵DH⊥CT，∴HT＝HC，∴DH＝HT＝HC，設(shè)DH＝HT＝HC＝m，∴DT∥AB，∴，∴AT＝4m，∵AE＝2，∴ET＝4m﹣2，∵DE＝DF，DT＝DC，∠EDF＝∠TDC＝90°，∴∠EDT＝∠FDC，∴△EDT≌△FDC（SAS），∴S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC，∴，解得m＝2或﹣（舍去），∴CF＝ET＝4m﹣2＝6；②如圖4，連接DM，CM，根點(diǎn)M作于K，交AC于J，同法可證：，∵，∴，∴點(diǎn)M是在DC的垂直平分線MK上，DC的長(zhǎng)度不會(huì)變化，當(dāng)時(shí)，MN的值最小，由題意：AB=10，BC=5，，，在中，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵時(shí)，，∴，∴，∴，MN的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握雙子型基本模型是解題的關(guān)鍵．2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市天橋區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案一．選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.如圖是一個(gè)零件的示意圖，它的俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【詳解】解：從上面看該零件的示意圖是一個(gè)大矩形，且中間有2條實(shí)線段，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖．2.已知，則下列比例式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，，，則A、C、D選項(xiàng)均不正確，B正確，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)并靈活變形是解題的關(guān)鍵．3.如圖，兩條直線被三條平行線所截，若，，，則（）A.4 B.8 C.12 D.9【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，據(jù)此代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，即，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．4.若是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)是一元二次方程的一個(gè)解，代入方程即可求解m的值.【詳解】解：根據(jù)題意，把代入得：解得：故選C【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解（根)的意義、一元一次方程，解題的關(guān)鍵是能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．5.若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將代入函數(shù)中，即可求出結(jié)果；【詳解】解：∵反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)的表達(dá)式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6.下列命題正確是（）A.對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形 B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形以及正方形的判定方法，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、對(duì)角線相等平行四邊形是矩形，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，選項(xiàng)正確，符合題意；D、對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選C【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形、矩形、菱形以及正方形的判定，掌握它們的判定方法是解題的關(guān)鍵．7.對(duì)于反比例函數(shù)，下列說法不正確的是（）A.圖象分布在第二、四象限 B.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，） D.若點(diǎn)，都在該函數(shù)圖象上，且，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴圖象在第二、四象限，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A，B正確，不符合題意；將代入解析式得∴圖象經(jīng)過點(diǎn)故C正確，不符合題意；根據(jù)反比例函數(shù)在或上，隨著的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，的大小無(wú)法確定故D錯(cuò)誤，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)．8.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，，連接交于點(diǎn)F，則的面積與的面積之比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，則，由四邊形是平行四邊形，推出，，推出，推出由此即可解決問題．【詳解】解：設(shè)，，則，∵四邊形是平行四邊形，∴A，，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．9.電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》上映以來，全國(guó)票連創(chuàng)佳績(jī)，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，某市第一天票房約2億元，若以后每天票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，三天后累計(jì)票房收入達(dá)10億元，將增長(zhǎng)率記作，則方程可以列為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)增長(zhǎng)率記作，分別求得三天的收入，根據(jù)三天后累計(jì)票房收入達(dá)10億元，列方程即可求解．【詳解】解：設(shè)增長(zhǎng)率記作，依題意，故選：D．10.如圖，在矩形中，點(diǎn)F是邊上的一點(diǎn)，把矩形沿折疊，點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，，點(diǎn)M是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作的垂線交于點(diǎn)N，垂足為H．以下結(jié)論：①；②；③；④=．其中正確的結(jié)論有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】本題考查折疊的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用矩形的折疊相關(guān)知識(shí)，先用勾股定理求出，設(shè)，結(jié)合和利用勾股定理列出方程可求出，從而判定③錯(cuò)誤，利用一線三直角模型可證明，從而判定①正確，利用相似三角形的性質(zhì)可知，而，從判定故②錯(cuò)誤，作，證明，可判斷故④正確，從而得解．【詳解】由矩形的性質(zhì)得：，，，由折疊的性質(zhì)得，，，在中，，∴，設(shè)，∴，在中，，解得，即，故③錯(cuò)誤；在矩形中，，∴，又∵，∴，∵，，∴，故①正確；∵，∴，∵，∴，故②錯(cuò)誤；作，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故④正確；故正確的有①④，共兩個(gè)．故選B．二．填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11.一元二次方程的根是______．【答案】，【解析】【分析】化這一般形式，運(yùn)用因式分解法求解；【詳解】解：，∴，．故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的求解；掌握一元二次方程的求解是解題的關(guān)鍵．12.若，則_________．【答案】##【解析】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，分式的運(yùn)算．熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．13.為了估計(jì)水塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者先從魚塘中捕獲50條魚，在每一條魚身上做好標(biāo)記后把這些魚放歸魚塘，再?gòu)聂~塘中打撈魚．通過多次實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)捕撈的魚中有作記號(hào)的頻率穩(wěn)定在2.5%左右，則魚塘中估計(jì)有魚______條．【答案】2000【解析】【分析】由題意已知魚塘中有記號(hào)的魚所占的比例，用樣本中的魚除以魚塘中有記號(hào)的魚所占的比例，即可求得魚的總條數(shù)．【詳解】解：50÷2.5%=2000.故答案為：2000.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)中用樣本估計(jì)總體的思想，熟練掌握并利用樣本總量除以所求量占樣本的比例即可估計(jì)總量．14.如圖的紅葉，A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，B為的黃金分割點(diǎn)（)，若的長(zhǎng)度為，則的長(zhǎng)度為____________．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【解析】【分析】本題考查了黃金分割點(diǎn)的概念．注意這里的是較長(zhǎng)線段，所以，即可求解．【詳解】解：由題意得：，∴，故答案為：．15.如圖，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，直線AB//x軸，并分別交兩條曲線A、B兩點(diǎn)，若S△AOB=2，則k2-k1的值為________．【答案】4【解析】【詳解】解：設(shè)A（a，b），B（c，d），代入得：=ab，=cd，∵，∴cd-ab=2，∴cd-ab=4，∴-=4，故答案為4．【點(diǎn)睛】設(shè)A（a，b），B（c，d），代入雙曲線得到=ab，=cd，根據(jù)三角形的面積公式求出cd-ab=4，即可得出答案．此題能求出cd-ab=4是解此題的關(guān)鍵．16.如圖，正方形邊長(zhǎng)為，為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)在邊上，且，連接，交于點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為__________．【答案】【解析】【分析】由題意分析，得到，，可以判段點(diǎn)、點(diǎn)在以為直徑的圓上，四邊形是內(nèi)接四邊形，利用其性質(zhì)得到，故作，由，，中，射影定理，得到的長(zhǎng)，繼而得到的長(zhǎng)，最后利用勾股定理求出的長(zhǎng)．【詳解】解：由題知：和中，，，，，,點(diǎn)、點(diǎn)在以為直徑的圓上，四邊形是內(nèi)接四邊形，，，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，,，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，，，，，在中，，由射影定理，得，，，，在等腰直角中，．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的射影定理，掌握相似三角形的性質(zhì)，利用對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系，將放在等腰直角三角形中是解答本題的關(guān)鍵．三．解答題（本大題10個(gè)小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.解方程：.【答案】，【解析】【分析】直接因式分解即可求解．【詳解】，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解題關(guān)鍵．18.如圖，四邊形是菱形，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．求證：．【答案】詳見解析【解析】【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，可利用證明．【詳解】證明：四邊形是菱形，∴，∵，∴，在和中，∴．19.如圖，某同學(xué)利用鏡面反射的原理巧妙地測(cè)出了樹的高度，已知人的站位點(diǎn)A，鏡子點(diǎn)O，樹底點(diǎn)B三點(diǎn)在同一水平線上，眼睛與地面的高度為米，米，米，則樹高為多少米．【答案】樹高為4米【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用．點(diǎn)O作鏡面的法線，則，證明，即可求解．【詳解】解：如圖，點(diǎn)O作鏡面的法線，則，∵，∴，∵，∴，∴，∵米，米，米，∴，∴米，答：樹高為4米．20.如圖，在中，，，D是邊上一點(diǎn)，且．（1）求證：．（2）求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)；（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得結(jié)論；（2）利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式計(jì)算即可．【小問1詳解】證明：∵，，∴；【小問2詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴（舍去負(fù)值）．21.在如圖的方格紙中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，與是關(guān)于點(diǎn)P為位似中心的位似圖形．（1）在圖中標(biāo)出位似中心P的位置并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)為．（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在位似中心的同側(cè)畫出的一個(gè)位似，使它與的位似比為2：1；（3）的內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為，直接寫出點(diǎn)M在中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】（1）圖見解析，（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）連接兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，并延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為位似中心，根據(jù)圖形寫出坐標(biāo)即可；（2）連接、并延長(zhǎng)，使、，連接即可；（3）根據(jù)位似比，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【小問1詳解】解：（1）如圖，點(diǎn)P為所作；故答案為：；【小問2詳解】如圖，為所作；【小問3詳解】點(diǎn)M在中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或．22.在甲、乙兩個(gè)不透明的布袋，甲袋中裝有3個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2；乙袋中裝有3個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，﹣2，0；現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為x，再?gòu)囊掖须S機(jī)抽取一個(gè)小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為y，確定點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y）．（1）用樹狀圖或列表法列舉點(diǎn)M所有可能的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)M（x，y）在函數(shù)y＝﹣x+1的圖象上的概率．【答案】（1）列表見解析；共有9種等可能的結(jié)果數(shù)；（2）點(diǎn)M（x，y）在函數(shù)y＝﹣x+1的圖象上的概率＝．【解析】【分析】（1）通過列表展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)；（2）找出滿足點(diǎn)（x，y）落在函數(shù)y=-x+1的圖象上的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.【詳解】解：（1）列表如下：xy012﹣1（0，﹣1）（1，﹣1）（2，﹣1）﹣2（0，﹣2）（1，﹣2）（2，﹣2）0（0，0）（1，0）（2，0）共有9種等可能的結(jié)果數(shù)；（2）滿足點(diǎn)（x，y）落在函數(shù)y＝﹣x+1的圖象上的結(jié)果有2個(gè)，即（2，﹣1），（1，0），所以點(diǎn)M（x，y）在函數(shù)y＝﹣x+1的圖象上的概率＝．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率.23.如圖，學(xué)校打算用16的籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的生物園飼養(yǎng)小兔，生物園的一面靠墻，墻長(zhǎng)8，長(zhǎng)方形的面積是30．求生物園的長(zhǎng)和寬．【答案】圍成矩形的長(zhǎng)為，寬為【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，可設(shè)垂直于墻的一邊為，則長(zhǎng)平行于墻的一邊為，根據(jù)等量關(guān)系：面積是．列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)垂直于墻的一邊為，則平行于墻的一邊為．由題意，得，解得，．當(dāng)時(shí)，，，不合題意舍去，當(dāng)時(shí)，．答：長(zhǎng)為、寬為．24.如圖，在中，，，，點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，連接．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為()，其中．解答下列問題：（1），（用含t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)t為何值時(shí)，．（3）在P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻使得，若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】本題考查了相似三角形的綜合問題，相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理：（1）利用勾股定理得，進(jìn)而可求解；（2）利用三角形相似的判定及性質(zhì)可得，即，進(jìn)而可求解；（3）過點(diǎn)作于，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，利用相似三角形的判定及性質(zhì)可得，即，進(jìn)而可求解；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．小問1詳解】解：依題意得：在中，，，，，，，故答案為：；．【小問2詳解】，∴當(dāng)，，即，∴．【小問3詳解】過點(diǎn)作于，如圖：，，則，，，，，，，即：，解得：．25.如圖，已知一次函數(shù)圖象y=x+b與y軸交于點(diǎn)C（0，1），與反比例函數(shù)圖象y=交于點(diǎn)A（a，2）和點(diǎn)B兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和△AOB的面積；（3）若點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N為平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為y=x+1，反比例函數(shù)為y=；（2）B（-2，-1），（3）△AOB的面積為；滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）．【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，再求出A點(diǎn)坐標(biāo)即可確定反比例函數(shù)的解析式；（2）聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)D，則D（-1，0），根據(jù)S△AOB=OD?yA+OD?yB計(jì)算面積即可；（3）分∠BAM=90°、∠ABM=90°、∠AMB=90°三種情況討論求值即可．小問1詳解】解：∵一次函數(shù)圖象y=x+b與y軸交于點(diǎn)C（0，1），∴b=1，∴一次函數(shù)的解析式為y=x+1，∵點(diǎn)A（a，2）在直線y=x+1上∴a=1，即A（1，2），又∵反比例函數(shù)y=過A點(diǎn)，∴k=2，∴反比例函數(shù)為y=；【小問2詳解】解：∵反比例函數(shù)與一次函數(shù)交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，聯(lián)立兩解析式得，解得或，∴B（-2，-1），設(shè)直線A