2013年數(shù)學(xué)高考題分類解析考點(diǎn)25 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

高考試題分類解析+3a1-10<0,解得-5<a1<2.15.（2013·廣東高考理科·Ｔ19）設(shè)數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，已知，.（1）求的值；（2）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.【解題指南】本題以遞推數(shù)列為背景，考查通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系及不等式的證明，要注意轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.證明不等式的過(guò)程中，放縮的尺度要拿捏準(zhǔn)確.【解析】（1）因?yàn)椋谥辛?，可得；?）由已知可得，即=1\*GB3①，則當(dāng)時(shí)，=2\*GB3②，=1\*GB3①=2\*GB3②可得，也就是，同除以可得，數(shù)列{}是公差為1的等差數(shù)列，且，所以，，顯然也滿足，即所求通項(xiàng)公式為.（3）當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；當(dāng)時(shí)，，則，即對(duì)一切，成立.16.（2013·廣東高考文科·Ｔ19）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足且構(gòu)成等比數(shù)列．(1)證明：；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有．【解題指南】本題以遞推數(shù)列為背景，考查通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系及不等式的證明，要注意轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.證明不等式的過(guò)程中，放縮的尺度要拿捏準(zhǔn)確.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以；?）當(dāng)時(shí)，，，，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，是公差的等差數(shù)列.因?yàn)闃?gòu)成等比數(shù)列，，，解得,由（1）可知，，又因?yàn)?，則是首項(xiàng),公差的等差數(shù)列.數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（3）17.（2013·山東高考理科·Ｔ20）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1

（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn，且Tn+=（為常數(shù)），令cn=b2n，（n∈）.求數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和Rn.

【解題指南】（Ⅰ）先設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，然后根據(jù)可列方程組求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）先根據(jù)前n

項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求出的通項(xiàng)公式，由cn=b2n求出的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求出Rn.【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，由得解得，因此（Ⅱ）由題意知，所以時(shí)，=故所以，則，兩式相減得整理得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.（2013·山東高考文科·Ｔ20）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1

（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.【解題指南】（Ⅰ）先設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，然后根據(jù)可列方程組求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）先根據(jù)求出bn的通項(xiàng)公式,再利用錯(cuò)位相減法求出Tn.【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，由得解得，因此（Ⅱ）由已知,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以，由（Ⅰ）知，所以，又，，兩式相減得，，所以.19.（2013·陜西高考文科·Ｔ17）設(shè)Sn表示數(shù)列的前n項(xiàng)和. (Ⅰ)若是等差數(shù)列,推導(dǎo)Sn的計(jì)算公式; (Ⅱ)若,且對(duì)所有正整數(shù)n,有.判斷是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.【解題指南】倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；利用推導(dǎo)的通項(xiàng)公式判斷是否為等比數(shù)列.【解析】(Ⅰ)設(shè)公差為d,則，.(Ⅱ)是等比數(shù)列.證明如下：因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以?dāng)n≥1時(shí)，有因此,是首項(xiàng)1,公比的等比數(shù)列.20.（2013·新課標(biāo)Ⅰ高考文科·Ｔ17）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解題指南】（Ⅰ）利用，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差，利用求出的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）將