2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題能力訓(xùn)練19排列組合與二項(xiàng)式定理理含解析

PAGE專題實(shí)力訓(xùn)練19排列、組合與二項(xiàng)式定理專題實(shí)力訓(xùn)練第44頁

一、實(shí)力突破訓(xùn)練1.某電視臺(tái)的一個(gè)綜藝欄目對(duì)含甲、乙在內(nèi)的六個(gè)不同節(jié)目排演出依次,第一個(gè)節(jié)目只能排甲或乙,最終一個(gè)節(jié)目不能排甲,則不同的排法共有()A.192種 B.216種 C.240種 D.288種答案:B解析:完成這件事,可分兩類:第一類,第一個(gè)節(jié)目排甲,其余位置有A55=120種不同的排法;其次類,第一個(gè)節(jié)目排乙,最終一個(gè)節(jié)目有4種排法,其余位置有A44=24種不同的排法.所以共有A55+2.已知x2+1xn的綻開式的各項(xiàng)系數(shù)和為32,則綻開式中xA.5 B.40 C.20 D.10答案:D解析:令x=1,得2n=32,所以n=5,則C5r(x2)5-r1xr=C5rx10-3r.令10-3r=4,得r=2,所以綻開3.(2024天津,理10改編)2x-18x38的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為(A.8 B.14 C.21 D.28答案:D解析:Tr+1=C8r(2x)8-r1-=C8r·28-r·-18r·x8-4令8-4r=0,解得r=2.故常數(shù)項(xiàng)為C8226-182=C822614.若x6+1xxn的綻開式中含有常數(shù)項(xiàng),A.3 B.4 C.5 D.6答案:C解析:綻開式的通項(xiàng)為Tr+1=Cnr(x6)n-r1xxr=Cnrx6n-152r,因?yàn)榫`開式中含常數(shù)項(xiàng),所以6n-152r=0成立,5.(2024全國Ⅰ,理8)x+y2x(x+y)5的綻開式中x3y3A.5 B.10 C.15 D.20答案:C解析:因?yàn)?x+y)5的通項(xiàng)公式為C5r·x5-r·yr(r=0,1,2,3,4,5),所以當(dāng)r=1時(shí),y2x·C51x4y=5x3y3,當(dāng)r=3時(shí),x·C53x2y3=10x3y3,6.某學(xué)校組織演講競(jìng)賽,打算從甲、乙等八名同學(xué)中選派四名同學(xué)參與,要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參與,且若甲、乙同時(shí)參與時(shí),他們的演講依次不能相鄰,那么不同的演講依次的種數(shù)為()A.1860 B.1320 C.1140 D.1020答案:C解析:依題意,就甲、乙兩名同學(xué)中實(shí)際參與演講競(jìng)賽的人數(shù)進(jìn)行分類計(jì)數(shù):第一類,甲、乙兩名同學(xué)中實(shí)際參與演講競(jìng)賽的恰有一人,滿意題意的不同的演講依次的種數(shù)為C21·C63·A44=960;其次類,甲、乙兩名同學(xué)中實(shí)際參與演講競(jìng)賽的恰有兩人,滿意題意的不同的演講依次的種數(shù)為C22·C62·7.若二項(xiàng)式(3-x)n(n∈N*)中全部項(xiàng)的系數(shù)之和為a,全部項(xiàng)的系數(shù)的肯定值之和為b,則ba+abA.2 B.52 C.答案:B解析:令x=1,a=2n,令x=-1,b=4n,ba+ab=2n+12n,令t=2n,t≥2,則ba+ab=2n8.在某市記者款待會(huì)上,須要接受本市甲、乙兩家電視臺(tái)記者的提問,兩家電視臺(tái)均有記者5人,主持人須要從這10名記者中選出4名記者提問,且這4人中,既有甲電視臺(tái)記者,又有乙電視臺(tái)記者,且甲電視臺(tái)的記者不行以連續(xù)提問,則不同的提問方式的種數(shù)為()A.1200 B.2400 C.3000 D.3600答案:B解析:若4人中,有甲電視臺(tái)記者1人,乙電視臺(tái)記者3人,則不同的提問方式總數(shù)是C51C53A44=1200,若4人中,有甲電視臺(tái)記者2人,乙電視臺(tái)記者2人,則不同的提問方式總數(shù)是C52C52A22A32=1200,若4人中,9.在(1+x)6(1+y)4的綻開式中,記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45 B.60 C.120 D.210答案:C解析:∵(1+x)6綻開式的通項(xiàng)為Tr+1=C6rxr,(1+y)4綻開式的通項(xiàng)為Th+1=C4∴(1+x)6(1+y)4綻開式的通項(xiàng)可以為C6rC4h∴f(m,n)=C∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C63+C62C41+C61C10.已知二項(xiàng)式x+12ax9的綻開式中含x3的系數(shù)為-212,A.e2+12 B.答案:C解析:二項(xiàng)式x+12ax9的綻開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C9rx9-r12axr=C9r12arx9-2r,令9-2r=3,r=3,11.(2024全國Ⅲ,理14)x2+2x6的綻開式中常數(shù)項(xiàng)是.答案:240解析:∵x2+2x6的通項(xiàng)為Tr+1=C6r(x2)6-r2xr∴當(dāng)且僅當(dāng)12-3r=0,即r=4時(shí),Tr+1為常數(shù)項(xiàng),即T5=C64·2412.已知(1+3x)n的綻開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是54,則n=.

答案:4解析:二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)Tr+1=Cnr(3x)r=3r·Cnr·xr,令r=2,得32·13.(2024全國Ⅱ,理14)4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參與垃圾分類宣揚(yáng)活動(dòng),每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū),每個(gè)小區(qū)至少支配1名同學(xué),則不同的支配方法共有種.

答案:36解析:由題意可知,必有兩名同學(xué)去同一個(gè)小區(qū),故不同的支配方法共有C42A3314.在3x-2xn的二項(xiàng)式中,全部項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為答案:112解析:由二項(xiàng)式定理,得全部項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n,由題意,得2n=256,所以n=8.二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)為Tr+1=C8r(3x)8-r-2x求常數(shù)項(xiàng)則令83-43r=0,所以r=2,所以T15.現(xiàn)將6張連號(hào)的門票分給甲、乙等六人,每人1張,且甲、乙分得的電影票連號(hào),則共有種不同的分法.(用數(shù)字作答)

答案:240解析:甲、乙分得的門票連號(hào),共有5A22=5×2=10種狀況,其余四人每人分得1張門票,共有A44=24種狀況,所以共有10×2416.已知多項(xiàng)式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則a4=,a5=.

答案:164解析:由二項(xiàng)式綻開式可得通項(xiàng)公式為C3rx3-rC2mx2-m2m,分別取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×217.從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人,副隊(duì)長1人,一般隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì),要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生,共有種不同的選法.(用數(shù)字作答)

答案:660解析:由題意可得,總的選擇方法為C84C41C31種方法,其中不滿意題意的選法有C64C18.某高三畢業(yè)班有40名同學(xué),同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共寫了條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答)

答案:1560解析:該問題是一個(gè)排列問題,故共有A402=40×39=1560二、思維提升訓(xùn)練19.甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上,若每級(jí)臺(tái)階最多站2人,同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置,則不同的站法總數(shù)是()A.210 B.84 C.343 D.336答案:D解析:7個(gè)臺(tái)階上每一個(gè)只站一人有A73種;若有一個(gè)臺(tái)階有2人,則共有C31A72種20.設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m綻開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1綻開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a=7b,則m=()A.5 B.6 C.7 D.8答案:B解析:由題意可知,a=C2mm,∵13a=7b,∴13·(2m)!即137=2m+1m+121.某學(xué)校支配甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參與數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽,要求每位同學(xué)僅報(bào)一科,每科至少有一位同學(xué)參與,且甲、乙不能參與同一學(xué)科,則不同的支配方法有()A.36種 B.30種 C.24種 D.6種答案:B解析:首先從四個(gè)人中選擇2個(gè)人作為一組,其余2個(gè)人各自一組分派到三個(gè)競(jìng)賽區(qū),共有C42·A33種方法,再將甲、乙參與同一學(xué)科的種數(shù)A33解除,繼而所求的支配方法有22.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,則log2(a1+a3+a5+…+a11)等于()A.27 B.28 C.7 D.8答案:C解析:令x=-1,得a0+a1+a2+…+a12=28,①令x=-3,得a0-a1+a2-a3+…+a12=0,②由①-②,得2(a1+a3+…+a11)=28,∴a1+a3+…+a11=27,∴l(xiāng)og2(a1+a3+…+a11)=7.23.若一個(gè)四位數(shù)的各位數(shù)字相加和為10,則稱該數(shù)為“完備四位數(shù)”,如數(shù)字“2017”.試問用數(shù)字0,1,2,3,4,5,6,7組成的無重復(fù)數(shù)字且大于2017的“完備四位數(shù)”的個(gè)數(shù)為()A.71 B.66 C.59 D.53答案:A解析:依據(jù)題意,四位數(shù)字相加和為10的狀況有①0,1,3,6;②0,1,4,5;③0,1,2,7;④0,2,3,5;⑤1,2,3,4;共5種狀況,①當(dāng)四個(gè)數(shù)字為0,1,3,6時(shí),千位數(shù)字可以為3或6,有2種狀況,將其余3個(gè)數(shù)字全排列,有A33=6種狀況,此時(shí)有2×6=12個(gè)“完備四位數(shù)②當(dāng)四個(gè)數(shù)字為0,1,4,5時(shí),千位數(shù)字可以為4或5,有2種狀況,將其余3個(gè)數(shù)字全排列,有A33=6種狀況,此時(shí)有2×6=12個(gè)“完備四位數(shù)③當(dāng)四個(gè)數(shù)字為0,1,2,7時(shí),千位數(shù)字為7時(shí),將其余3個(gè)數(shù)字全排列,有A33=6種狀況,千位數(shù)字為2時(shí),有2071,2107,2170,2701,2710,共5種狀況,此時(shí)有6+5=11個(gè)“完備四位數(shù)④當(dāng)四個(gè)數(shù)字為0,2,3,5時(shí),千位數(shù)字可以為2或3或5,有3種狀況,將其余3個(gè)數(shù)字全排列,有A33=6種狀況,此時(shí)有3×6=18個(gè)“完備四位數(shù)⑤當(dāng)四個(gè)數(shù)字為1,2,3,4時(shí),千位數(shù)字可以為3或4或2,有3種狀況,將其余3個(gè)數(shù)字全排列,有A33=6種狀況,此時(shí)有3×6=18個(gè)“完備四位數(shù)則一共有12+12+11+18+18=71個(gè)“完備四位數(shù)”.24.1-90C101+902C102-903C103+…+(-1)k90kC10k+…+90A.-1 B.1 C.-87 D.87答案:B解析:1-90C101+902C102+…+(-1)k90kC10k+…+9010C1010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C101889+…+C10988+25.某人依據(jù)自己愛好,希望從{W,X,Y,Z}中選2個(gè)不同字母,從{0,2,6,8}中選3個(gè)不同數(shù)字編擬車牌號(hào),要求前3位是數(shù)字,后兩位是字母,且數(shù)字2不能排在首位,字母Z和數(shù)字2不能相鄰,那么滿意要求的車牌號(hào)有()A.198個(gè) B.180個(gè) C.216個(gè) D.234個(gè)答案:A解析:不選2時(shí),有A33A42=72種;選2,不選Z時(shí),有C21C32A22A32=72種;選2,選Z時(shí),2在數(shù)字的中間,有A32C21C31=36種,當(dāng)226.已知(2+ax)(1+x)5的綻開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為15,則綻開式中全部項(xiàng)的系數(shù)和為.

答案:32解析:∵(1+x)5的綻開式的通項(xiàng)為Tr+1=C5rx∴(2+ax)(1+x)5的綻開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為2C52+aC51=15,設(shè)(2-x)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=25=32.27.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的四位數(shù),把所組成的全部四位數(shù)從小到大排列起來,則3125是第個(gè)數(shù).

答案:54解析:當(dāng)千位數(shù)字為1時(shí),末位數(shù)字有C21種選擇,另外兩個(gè)數(shù)位有A42種選擇,所以共有C21A42=24個(gè)數(shù);當(dāng)千位數(shù)字為2時(shí),末位數(shù)字有C21種選擇,另外兩個(gè)數(shù)位有A42種選擇,所以共有C綜上,比3125小的數(shù)共有53個(gè),所以3125是第54個(gè)數(shù).28.在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中,內(nèi)科主任和外科主任各1名,現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng),依下列條件各有多少種選派方法?(1)有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生;(2)既有內(nèi)科醫(yī)生,又有外科醫(yī)生;(3)至少有1名主任參與;(4)既有主任,又有外科醫(yī)生.解:(1)先選內(nèi)科醫(yī)生有C63種選法