2013年數(shù)學(xué)高考題分類解析考點(diǎn)50 離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的均值與方差

高考試題分類解析,因?yàn)镋(2X1)>E(3X2),所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí),累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望最大.15.（2013·陜西高考理科·Ｔ19）在一場娛樂晚會上,有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱,由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,不選2號,另在3至5號中隨機(jī)選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號中隨機(jī)選3名歌手.(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率.(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解題指南】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可得解;通過確定隨機(jī)變量X的取值,求隨機(jī)變量X的分布列,求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望三步完成.【解析】(1)設(shè)事件A表示:觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手。觀眾甲選中3號歌手的概率為,觀眾乙未選中3號歌手的概率為。所以P(A)=.因此，觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為.(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，則X可取0,1,2,3.觀眾甲選中3號歌手的概率為,觀眾乙、丙選中3號歌手的概率為。當(dāng)觀眾甲、乙、丙均未選中3號歌手時(shí)，這時(shí)X=0，P(X=0)=.當(dāng)觀眾甲、乙、丙中只有1人選中3號歌手時(shí)，這時(shí)X=1，P(X=1)=.當(dāng)觀眾甲、乙、丙中只有2人選中3號歌手時(shí)，這時(shí)X=2，P(X=2)=.當(dāng)觀眾甲、乙、丙均選中3號歌手時(shí)，這時(shí)X=3，P(X=3)=.X的分布列如下表：X0123P所以，數(shù)學(xué)期望.16.（2013·新課標(biāo)全國Ⅱ高考理科·Ｔ19）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個(gè)銷售季度內(nèi),每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每1t虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場需求量.T(單位:元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.（1）將T表示為x的函數(shù)（2）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T，不少于57000元的概率；（3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率（例如：若x）則取x=105，且x=105的概率等于需求量落入的頻率），求T的數(shù)學(xué)期望?！窘忸}指南】（1）依題意，可求得T關(guān)于x的分段函數(shù);(2)由頻率分布直方圖可知，知利潤T不少于57000元當(dāng)且僅當(dāng)用頻率估計(jì)概率，可概率的估計(jì)值；（3）由分布列，代入期望公式，得所求.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以（2）由（1）知利潤T不少于57000元當(dāng)且僅當(dāng)由直方圖知需求量的頻率為0.7,所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以ET＝17.（2013·新課標(biāo)Ⅰ高考理科·Ｔ19）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn),檢驗(yàn)方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn),這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n=3,再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn),若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn);如果n=4,再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn),若為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn);其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn).假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立（Ⅰ）求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；（Ⅱ）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元,且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn),對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解題指南】（Ⅰ）由事件的獨(dú)立性和互斥性，并結(jié)合產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的情形確定這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；（Ⅱ）根據(jù)題意，先確定的可能取值，然后求出相應(yīng)的概率，列出分布列利用期望公式求出期望.【解析】（Ⅰ）設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件，第二次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件,第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件.依題意有，且A1B1與A2B2互斥,所以.（Ⅱ）的可能取值為，，,所以的分布列為（元）18.（2013·大綱版全國卷高考理科·Ｔ20）甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第局甲當(dāng)裁判.（=1\*ROMANI）求第局甲當(dāng)裁判的概率；（=2\*ROMANII）表示前局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望.【解析】（=1\*ROMANI）記表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”，表示事件“第3局甲參加比賽時(shí)，結(jié)果為甲負(fù)”，表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”.則..方法一：（=2\*ROMANII）的可能值為記表示事件“第3局乙和丙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝丙”，表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙”，表示事件“第2局乙和甲比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝甲”，表示事件“第3局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙負(fù)”，,,,方法二：（=2\*ROMANII）由于第一局甲當(dāng)裁判，乙可能當(dāng)裁判次數(shù)的可能值為0,1,2當(dāng)裁判次數(shù)為0：乙第一局，第二局與第三局贏，第四局決定第五局裁判權(quán)，所以不用管第四局輸贏.所以.當(dāng)裁判次數(shù)為1：有三種情況第一局乙輸，第二局乙當(dāng)裁判，第三局乙贏，概率為；第一局乙贏，第二局乙輸，第三局當(dāng)裁判，概率為第一局乙贏，第二局乙贏，第三局乙輸，第四局當(dāng)裁判概率為。所以.當(dāng)裁判次數(shù)為2：第一局乙輸，第二局當(dāng)裁判，第三局乙輸，第四局當(dāng)裁判.所以.的分布列為所以.19.（2013·遼寧高考理科·Ｔ19）現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答。求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率；已知所取到的3道題中有2道甲類題，1道乙類題。設(shè)張同學(xué)答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨(dú)立。用表示張同學(xué)答對題的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。【解題指南】諸如“至少有一個(gè)”等問題，可以結(jié)合對立事件的概率來求解；對于隨機(jī)變量的研究，需要了解隨機(jī)變量將取哪些值以及取這些值時(shí)對應(yīng)的事件及其概率，列出其分布列，正確應(yīng)用均值公式進(jìn)行計(jì)算【解析】記事件“張同學(xué)所取的3道題至少取到1道乙類題”；則“張同學(xué)所取的3道題全為甲類題”；事件“張同學(xué)所取的3道題全為甲類題”共有種取法；而“從10道題中任取3道題”共有種取法；所以故所以張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率為張同學(xué)答對題的個(gè)數(shù)的可能值為0，1，2，