2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖第3講空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE1-第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系[考綱解讀]1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理，并運(yùn)用它們證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡潔命題．(重點(diǎn))2．主要考查平面的基本性質(zhì)，空間兩直線的位置關(guān)系及線面、面面的位置關(guān)系，能正確求出異面直線所成的角．(重點(diǎn)、難點(diǎn))[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，盡管空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系是立體幾何的理論基礎(chǔ)，但卻很少獨(dú)立命題．預(yù)料2024年高考會有以下兩種命題方式：①以命題形式考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；②以幾何體為載體考查線、面的位置關(guān)系或求異面直線所成的角．題型為客觀題，難度一般不大，屬中檔題型.1.空間兩條直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系分類位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up1(01))相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個,公共點(diǎn).,\o(□,\s\up1(02))平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).)),異面直線：不同在\o(□,\s\up1(03))任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的eq\o(□,\s\up1(04))銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\o(□,\s\up1(05))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0°，90°)).(3)等角定理：空間中假如兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角eq\o(□,\s\up1(06))相等或互補(bǔ)．2．空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語言符號語言公共點(diǎn)直線與平面相交eq\o(□,\s\up1(01))a∩α＝Aeq\o(□,\s\up1(02))1個平行eq\o(□,\s\up1(03))a∥αeq\o(□,\s\up1(04))0個在平面內(nèi)eq\o(□,\s\up1(05))a?αeq\o(□,\s\up1(06))多數(shù)個平面與平面平行eq\o(□,\s\up1(07))α∥βeq\o(□,\s\up1(08))0個相交eq\o(□,\s\up1(09))α∩β＝leq\o(□,\s\up1(10))多數(shù)個3.必記結(jié)論(1)唯一性定理①過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．②過一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直．③過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行．④過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．(2)異面直線的判定定理平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線與平面內(nèi)不經(jīng)過B點(diǎn)的直線互為異面直線．1．概念辨析(1)兩兩相交的三條直線最少可以確定三個平面．()(2)假如兩個平面有三個公共點(diǎn)，則這兩個平面重合．()(3)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b不行能是平行直線．()(4)兩個平面α，β有一個公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過A點(diǎn)的隨意一條直線．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．小題熱身(1)對于隨意的直線l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線m，使m與l()A．平行 B．相交C．垂直 D．互為異面直線答案C解析不論l∥α，l?α還是l與α相交，α內(nèi)都存在直線m使得m⊥l.(2)以下四個命題中，正確命題的個數(shù)是()①不共面的四點(diǎn)中，其中隨意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．A．0 B．1C．2 D．3答案B解析①明顯是正確的，可用反證法證明；②中若A，B，C三點(diǎn)共線，則A，B，C，D，E五點(diǎn)不確定共面；③構(gòu)造長方體或正方體，如圖明顯b，c異面，故不正確；④中空間四邊形中四條線段不共面．故正確的個數(shù)為1.(3)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C即為所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C為等邊三角形，∴∠題型一平面的基本性質(zhì)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA證明(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，∴EF∥BA1.又BA1∥D1C，∴EF∥D1∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F設(shè)交點(diǎn)為P，如圖所示．則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA1．證明點(diǎn)共面或線共面的常用方法(1)干脆法：證明直線平行或相交，從而證明線共面．(2)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．如舉例說明(2)．(3)協(xié)助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最終證明平面α，β重合．2．證明空間點(diǎn)共線問題的方法(1)公理法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個平面的公共點(diǎn)，再依據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在這兩個平面的交線上．(2)納入直線法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上．3．證明線共點(diǎn)問題的常用方法先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．如圖，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，求證：A，M，證明如圖，連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四點(diǎn)共面，所以A1C?平面ACC因?yàn)镸∈A1C所以M∈平面ACC1A1又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1同理，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以A，M，O題型二空間兩直線的位置關(guān)系1．如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填上全部正確答案的序號)．答案②④解析在圖①中，直線GH∥MN；在圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，N?GH，因此直線GH與MN異面；在圖③中，連接GM，GM∥HN，因此GH與MN共面；在圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，G?MN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中GH與MN異面．2．在三棱錐S－ABC中，G1，G2分別是△SAB和△SAC的重心．求證：G1G2∥BC證明如圖所示，連接SG1并延長交AB于點(diǎn)M，連接SG2并延長交AC于點(diǎn)N，連接MN.由題意知SM為△SAB的中線，且SG1＝eq\f(2,3)SM，SN為△SAC的中線，且SG2＝eq\f(2,3)SN，∴在△SMN中，eq\f(SG1,SM)＝eq\f(SG2,SN)，∴G1G2∥MN，易知MN是△ABC∴MN∥BC，因此可得G1G2∥BC1．異面直線的判定方法(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)動身，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出沖突，從而否定假設(shè)，確定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中常常用到．(2)定理法：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線．如舉例說明1.2．判定平行直線的常用方法(1)三角形中位線的性質(zhì)．(2)平行四邊形的對邊平行．(3)平行線分線段成比例定理．(4)公理4.如舉例說明2.1．已知a，b，c為三條不重合的直線，有以下結(jié)論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.其中正確的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案B解析解法一：在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以①②錯誤，③明顯成立．解法二：構(gòu)造長方體或正方體模型可快速推斷，①②錯誤，③正確．2．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1A．MN與CC1垂直 B．MN與AC垂直C．MN與BD平行 D．MN與A1B平行答案D解析如圖，連接C1D，∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN與CC1垂直，故A正確；∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN與AC垂直，B正確；在三角形C1DB中，MN∥BD，故C正確．∵A1B與BD相交，MN∥BD，∴MN與A1B不行能平行，D錯誤．題型三異面直線所成的角(2024·全國卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(10),5) D.eq\f(\r(3),3)答案C解析解法一：如圖所示，分別延長CB，C1B1至D，D1，使BD＝BC，B1D1＝B1C1，連接DD1，B1D.由題意知，C1B綊B1D，則∠AB1D即為異面直線AB1與BC1連接AD，在△ABD中，由AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD，得AD＝eq\r(3).又B1D＝BC1＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(5)，∴cos∠AB1D＝eq\f(AB\o\al(2,1)＋B1D2－AD2,2AB1·B1D)＝eq\f(5＋2－3,2×\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5).解法二：將直三棱柱ABC－A1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，由題意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(5)，∠DAB＝60°.在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD＝eq\r(3)，所以B1D1＝eq\r(3).又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角θ，所以cosθ＝eq\f(AB\o\al(2,1)＋AD\o\al(2,1)－B1D\o\al(2,1),2AB1·AD1)＝eq\f(5＋2－3,2×\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5).解法三：過B作BH⊥BC，交AC于點(diǎn)H.以B為原點(diǎn)，以eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BH,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz.則A(－1，eq\r(3)，0)，B1(0,0,1)，C1(1,0,1)，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1，－eq\r(3)，1)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，∴cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB1,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→)),|\o(AB1,\s\up6(→))||\o(BC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(1＋1,\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5)，∴異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為eq\f(\r(10),5).求異面直線所成角的方法(1)幾何法①作：利用定義轉(zhuǎn)化為平面角，對于異面直線所成的角，可固定一條，平移一條，或兩條同時平移到某個特別的位置，頂點(diǎn)選在特別的位置上．②證：證明作出的角為所求角．③求：把這個平面角置于一個三角形中，通過解三角形求空間角．(2)向量法建立空間直角坐標(biāo)系，利用公式|cosθ|＝eq\f(|m·n|,|m||n|)求出異面直線的方向向量的夾角．若向量夾角是銳角或直角，則該角即為異面直線所成角；若向量夾角是鈍角，則異面直線所成的角為該角的補(bǔ)角．(2024·上饒重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)在空間四邊形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，則異面直線AC與EF所成角為()A．30° B．45°C．60° D．90°答案B解析在圖1中，連接DE，EC，因?yàn)锳B＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，得△DEC為等腰三角形，設(shè)空間四邊形ABCD的邊長為2，即AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD＝2，在△DEC中，DE＝EC＝eq\r(3)，CF＝1，得EF＝eq\r(2).在圖2取AD的中點(diǎn)M，連接MF，EM，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴MF＝1，EM＝1，∠EFM是異面直線AC與EF所成的角．在△EMF中可由余弦定理得cos∠EFM＝eq\f(EF2＋MF2－EM2,2EF·MF)＝eq\f(\r(2)2＋1－1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴∠EFM＝45°，即異面直線AC與EF所成的角為45°.組基礎(chǔ)關(guān)1．如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過()A．點(diǎn)A B．點(diǎn)BC．點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D．點(diǎn)C和點(diǎn)M答案D解析因?yàn)镸∈AB?平面ABC，C∈平面ABC.M∈l?β，C∈β，所以γ∩β＝直線CM.2．已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析若直線a，b相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能異面或平行．故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．3．(2024·華南師大附中模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是線段BC上的動點(diǎn)，F(xiàn)是線段CD1上的動點(diǎn)，且E，F(xiàn)不重合，則直線AB1與直線EFA．相交且垂直 B．共面C．平行 D．異面且垂直答案D解析如圖所示，AB1⊥平面BCD1，EF?平面BCD1，故AB1⊥EF且AB1與EF異面．4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CDA．不存在 B．有且只有兩條C．有且只有三條 D．有多數(shù)條答案D解析在EF上隨意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn)，如圖所示，所以D正確．5．下列各圖是正方體和正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個點(diǎn)不共面的圖形是()答案D解析①在A中易證PS∥QR，∴P，Q，R，S四點(diǎn)共面．②在C中易證PQ∥SR，∴P，Q，R，S四點(diǎn)共面．③在D中，∵QR?平面ABC，PS∩平面ABC＝P且P?QR，∴直線PS與QR為異面直線．∴P，Q，R，S四點(diǎn)不共面．④在B中P，Q，R，S四點(diǎn)共面，證明如下：取BC中點(diǎn)N，可證PS，NR交于直線B1C1上一點(diǎn)，∴P，N，R，S四點(diǎn)共面，設(shè)為α，可證PS∥QN，∴P，Q，N，S四點(diǎn)共面，設(shè)為β.∵α，β都經(jīng)過P，N，S三點(diǎn)，∴α與β重合，∴P，Q，R，S6．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P為邊AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△DAP繞直線DP翻轉(zhuǎn)至△DA′P處，若M為線段A′C的中點(diǎn)，則異面直線BM與PA′所成角的正切值為()A.eq\f(1,2) B．2C.eq\f(1,4) D．4答案A解析取A′D的中點(diǎn)N，連接PN，MN(如圖)，由于M是A′C的中點(diǎn)，故MN∥CD∥PB，且MN＝PB，故四邊形PBMN為平行四邊形，故MB∥PN，在Rt△A′DP中，tan∠A′PN＝eq\f(A′N,A′P)＝eq\f(1,2)，即異面直線BM與PA′所成角的正切值為eq\f(1,2).7．如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AB的中點(diǎn)為M，DD′的中點(diǎn)為N，則異面直線B′M與CN所成的角是________．答案90°解析取AA′的中點(diǎn)Q，連接QN，BQ，設(shè)BQ與B′M相交于點(diǎn)H，則QN綊AD綊BC，從而有四邊形NQBC為平行四邊形，所以NC∥QB，則有∠B′HB或其補(bǔ)角為異面直線B′M與CN所成的角．又因?yàn)锽′B＝BA，∠B′BM＝∠BAQ＝90°，BM＝AQ，所以△B′BM≌△BAQ，所以∠MB′B＝∠QBM.而∠B′MB＋∠MB′B＝90°，從而∠B′MB＋∠QBM＝90°，所以∠MHB＝90°，所以∠B′HB＝90°，即異面直線B′M與CN所成的角是90°.8.(2024·廣州模擬)如圖，圓柱O1O2的底面圓半徑為1，AB是一條母線，BD是⊙O1的直徑，C是上底面圓周上一點(diǎn)，∠CBD＝30°，若A，C兩點(diǎn)間的距離為eq\r(7)，則圓柱O1O2的高為________，異面直線AC與BD所成角的余弦值為________．答案2eq\f(3\r(7),14)解析連接CD，則∠BCD＝90°，因?yàn)閳A柱O1O2的底面圓半徑為1，所以BD＝2.因?yàn)椤螩BD＝30°，所以CD＝1，BC＝eq\r(3)，易知AB⊥BC，所以AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(7)，所以AB＝2，故圓柱O1O2的高為2.連接AO2并延長，設(shè)AO2的延長線與下底面圓周交于點(diǎn)E，連接CE，則AE＝2，∠CAE即異面直線AC與BD所成的角．又CE＝eq\r(DE2＋CD2)＝eq\r(5)，所以cos∠CAE＝eq\f(AC2＋AE2－CE2,2AC·AE)＝eq\f(7＋4－5,2×\r(7)×2)＝eq\f(3\r(7),14).組實(shí)力關(guān)1．(2024·湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，O為底面矩形ABCD兩條對角線的交點(diǎn)，若異面直線A1O與BC所成的角為60°，則長方體ABCD－A1B1C1DA．4eq\r(2) B．4eq\r(3)C．8eq\r(2) D．8eq\r(3)答案A解析如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OE，則有OE∥BC，且OE＝eq\f(1,2)BC＝1，所以∠A1OE即為異面直線A1O與BC所成的角，所以∠A1OE＝60°.在直角三角形A1OE中，A1E＝OE·tan60°＝eq\r(3)，故在直角三角形A1AE中，A1A＝eq\r(A1E2－AE2)＝eq\r(\r(3)2－1)＝e