七年級(jí)數(shù)學(xué)絕對(duì)值專項(xiàng)習(xí)題及答案

例1求下列各數(shù)的絕對(duì)值：(1)－38；(2)0.15；(3)a(a＜0)；(4)3b(b＞0)；(5)a－2(a＜2)；(6)a－b．例2判斷下列各式是否正確(正確入“T”，錯(cuò)誤入“F”)：(1)｜－a｜＝｜a｜；()(2)－｜a｜＝｜－a｜；()(4)若｜a｜＝｜b｜，則a＝b；()(5)若a＝b，則｜a｜＝｜b｜；()(6)若｜a｜＞｜b｜，則a＞b；()(7)若a＞b，則｜a｜＞｜b｜；()(8)若a＞b，則｜b－a｜＝a－b．()例3判斷對(duì)錯(cuò)．(對(duì)的入“T”，錯(cuò)的入“F”)(1)如果一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是它本身，那么這個(gè)數(shù)是0．()(2)如果一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是它本身，那么這個(gè)數(shù)是1和0．()(3)如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，那么這個(gè)數(shù)是0或1．()(4)如果說“一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是負(fù)數(shù)”，那么這句話是錯(cuò)的．()(5)如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)．()例4已知(a－1)2＋｜b＋3｜＝0，求a、b．例5填空：(1)若｜a｜＝6，則a＝______；(2)若｜－b｜＝0.87，則b＝______；(4)若x＋｜x｜＝0，則x是______數(shù)．例6判斷對(duì)錯(cuò)：(對(duì)的入“T”，錯(cuò)的入“F”)(1)沒有最大的自然數(shù)．()(2)有最小的偶數(shù)0．()(3)沒有最小的正有理數(shù)．()(4)沒有最小的正整數(shù)．()(5)有最大的負(fù)有理數(shù)．()(6)有最大的負(fù)整數(shù)－1．()(7)沒有最小的有理數(shù)．()(8)有絕對(duì)值最小的有理數(shù)．()例7比較下列每組數(shù)的大小，在橫線上填上適當(dāng)?shù)年P(guān)系符號(hào)(“＜”“＝”“＞”)(1)｜－0.01｜______－｜100｜；(2)－(－3)______－｜－3｜；(3)－[－(－90)]_______0；(4)當(dāng)a＜3時(shí)，a－3______0；｜3－a｜______a－3．例8在數(shù)軸上畫出下列各題中x的范圍：(1)｜x｜≥4；(2)｜x｜＜3；(3)2＜｜x｜≤5．例9(1)求絕對(duì)值不大于2的整數(shù)；(2)已知x是整數(shù)，且2.5＜|x|＜7，求x．例10解方程：已知｜14－x｜＝6，求x；*(2)已知｜x＋1｜＋4＝2x，求x．*例11化簡(jiǎn)｜a＋2｜－｜a－3｜1，解：(1)｜－38｜＝38；(2)｜＋0.15｜＝0.15；(3)∵a＜0，∴｜a｜＝－a；(4)∵b＞0，∴3b＞0，｜3b｜＝3b；(5)∵a＜2，∴a－2＜0，｜a－2｜＝－(a－2)＝2－a；說明：分類討論是數(shù)學(xué)中的重要思想方法之一，當(dāng)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)(用含字母的式子表示時(shí))無法判斷其正、負(fù)時(shí)，要化去絕對(duì)值符號(hào)，一般都要進(jìn)行分類討論．分析：判斷上述各小題正確與否的依據(jù)是絕對(duì)值的定義，所以思維應(yīng)集中到用絕對(duì)值的定義來判斷每一個(gè)結(jié)論的正確性．判數(shù)(或證明)一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要能舉出反例即可．如第(2)小題中取a＝1，則－｜a｜＝－｜1｜＝－1，而｜－a｜＝｜－1｜＝1，所以－｜a｜≠｜－a｜．同理，在第(6)小題中取a＝－1，b＝0，在第(4)、(7)小題中取a＝5，b＝－5等，都可以充分說明結(jié)論是錯(cuò)誤的．要證明一個(gè)結(jié)論正確，須寫出證明過程．如第(3)小題是正確的．證明步驟如下：此題證明的依據(jù)是利用｜a｜的定義，化去絕對(duì)值符號(hào)即可．對(duì)于證明第(1)、(5)、(8)小題要注意字母取零的情況．2，解：其中第(2)、(4)、(6)、(7)小題不正確，(1)、(3)、(5)、(8)小題是正確的．說明：判斷一個(gè)結(jié)論是正確的與證明它是正確的是相同的思維過程，只是在證明時(shí)需要寫明道理和依據(jù)，步驟都要較為嚴(yán)格、規(guī)范．而判斷一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，可依據(jù)概念、性質(zhì)等知識(shí)，用推理的方法來否定這個(gè)結(jié)論，也可以用舉反例的方法，后者有時(shí)更為簡(jiǎn)便．3，解：(1)T．(2)F．－1的倒數(shù)也是它本身，0沒有倒數(shù)．(3)F．正數(shù)的絕對(duì)值都等于它本身，所以絕對(duì)值是它本身的數(shù)是正數(shù)和0．(4)T．任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù)或0，不可能是負(fù)數(shù)，所以這句話是錯(cuò)的．(5)F．0的絕對(duì)值是0，也可以認(rèn)為是0的相反數(shù)，所以少了一個(gè)數(shù)0．說明：解判斷題時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)必須“緊扣”概念進(jìn)行判斷；(2)要注意檢查特殊數(shù)，如0，1，－1等是否符合題意．分析：根據(jù)平方數(shù)與絕對(duì)值的性質(zhì)，式中(a－1)2與｜b＋3｜都是非負(fù)數(shù)．因?yàn)閮蓚€(gè)非負(fù)數(shù)的和為“0”，當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)非負(fù)數(shù)的值都等于0時(shí)才能成立，所以由已知條件必有a－1＝0且b＋3＝0．a(chǎn)、b即可求出．4，解：∵(a－1)2≥0，｜b＋3｜≥0，又(a－1)2＋｜b＋3｜＝0∴a－1＝0且b＋3＝0∴a＝1，b＝－3．說明：對(duì)于任意一個(gè)有理數(shù)x，x2≥0和｜x｜≥0這兩條性質(zhì)是十分重要的，在解題過程中經(jīng)常用到．分析：已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值求這個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)有兩個(gè)，它們是互為相反數(shù)．5，解：(1)∵｜a｜＝6，∴a＝±6；(2)∵｜－b｜＝0.87，∴b＝±0.87；(4)∵x＋｜x｜＝0，∴｜x｜＝－x．∵｜x｜≥0，∴－x≥0∴x≤0，x是非正數(shù)．說明：“絕對(duì)值”是代數(shù)中最重要的概念之一，應(yīng)當(dāng)從正、逆兩個(gè)方面來理解這個(gè)概念．對(duì)絕對(duì)值的代數(shù)定義，至少要認(rèn)識(shí)到以下四點(diǎn)：6，解：(1)T．(2)F．?dāng)?shù)的范圍擴(kuò)展后，偶數(shù)的范圍也隨之?dāng)U展．偶數(shù)包含正偶數(shù)，0，負(fù)偶數(shù)(－2，－4，…)，所以0不是最小的偶數(shù)，偶數(shù)沒有最小的．(3)T．(4)F．有最小的正整數(shù)1．(5)F．沒有最大的負(fù)有理數(shù)．(6)T．(7)T．(8)T．絕對(duì)值最小的有理數(shù)是0．分析：比較兩個(gè)有理數(shù)的大小，需先將各數(shù)化簡(jiǎn)，然后根據(jù)法則進(jìn)行比較．7，解：(1)｜－0.01｜＞－｜100｜；(2)－(－3)＞－｜－3｜；(3)－[－(－90)]＜0；(4)當(dāng)a＜3時(shí)，a－3＜0，｜3－a｜＞a－3．說明：比較兩個(gè)有理數(shù)大小的依據(jù)是：①在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，正數(shù)大于0，大于一切負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)小于0，小于一切正數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而?。趦蓚€(gè)正分?jǐn)?shù)，若分子相同則分母越大分?jǐn)?shù)值越?。蝗舴帜赶嗤?，則分子越大分?jǐn)?shù)值越大；也可將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)來比較．分析：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義畫圖．例如，｜x｜≥4的幾何意義是：數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離大于或等于4個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)的集合；｜x｜＜3的幾何意義是：數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離小于3個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)的集合．8，解：(1)｜x｜≥4，即數(shù)軸上x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離大于或等于4，如圖1．∴當(dāng)x＞0時(shí)，有x≥4；當(dāng)x＜0時(shí)，有x≤－4．(2)｜x｜＜3，即數(shù)軸上x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于3，如圖2．即有－3＜x＜3．(3)2＜｜x｜≤5，即數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離比2大且小于或等于5，如圖3．即－5≤x＜－2或2＜x≤5．說明：在數(shù)軸上表示含絕對(duì)值的不等式時(shí)，最容易錯(cuò)的是忘記或畫錯(cuò)原點(diǎn)左邊(負(fù)半軸上)符合條件的點(diǎn)的范圍．應(yīng)當(dāng)認(rèn)真研究負(fù)數(shù)部分符合條件的點(diǎn)的范圍的畫法，并真正做到“理解”．分析：(1)求絕對(duì)值不大于2的整數(shù)，就是求數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離小于或等于2個(gè)單位長(zhǎng)度的整數(shù)點(diǎn)．(2)因?yàn)?.5＜｜x｜＜7中的x表示的是絕對(duì)值小于7同時(shí)絕對(duì)值又大于2.5的整數(shù)，所以，依絕對(duì)值定義應(yīng)該是滿足－7＜x＜－2.5，或2.5＜x＜7的所有整數(shù)．9，解：(1)先畫出數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離小于或等于2的點(diǎn)的范圍．由圖看出，絕對(duì)值不大于2的整數(shù)是：－2，－1，0，1，2(2)符合2.5＜|x|＜7的所有整數(shù)，就是符合－7＜x＜－2.5或2.5＜x＜7的所有整數(shù)．由圖看出，符合2.5＜｜x｜＜7的整數(shù)是：x＝±3，±4，±5，±6．說明：因?yàn)榻^對(duì)值概念課本上從幾何與代數(shù)兩個(gè)角度都給出了定義，所以在解含絕對(duì)值的問題時(shí)要注意靈活運(yùn)用這兩個(gè)定義．此題也可以用代數(shù)定義求解．根據(jù)絕對(duì)值的幾何定義，用數(shù)形結(jié)合的思想，把有關(guān)絕對(duì)值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離問題來解決，是經(jīng)常采用的方法．分析：解簡(jiǎn)單的含有絕對(duì)值符號(hào)的方程，一般都根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)定義，先化去絕對(duì)值符號(hào)，然后求解．(2)題需把原方程轉(zhuǎn)化為｜x＋1｜＝2x－4的形式后，才便于應(yīng)用絕對(duì)值的代數(shù)定義．10，解：(1)∵｜14－x｜＝｜x－14｜＝6∴x－14＝±6當(dāng)x－14＝6時(shí)，x＝20；當(dāng)x－14＝－6時(shí)，x＝8．∴x＝20或8．(2)∵｜x＋1｜＋4＝2x∴｜x＋1｜＝2x－4∵｜x＋1｜≥0，∴2x－4≥0，x≥2．∵x≥2，∴x＋1＞0，｜x＋1｜＝x＋1．原方程變形為x＋1＋4＝2x∴x＝5．分析：要化簡(jiǎn)此式，關(guān)鍵是依據(jù)絕對(duì)值定義判斷好絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)a＋2和a－3在a取不同數(shù)值時(shí)它們的符號(hào)情況，才能正確地轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的式子．為了能達(dá)到此目的，首先應(yīng)判定｜a＋2｜＝0和｜a－3｜＝0時(shí)a的取值，即a＝－2和a＝3，由此可知，a的取值可分為三種情況：即a＜－2，－2≤a＜3，a≥3．這時(shí)｜a＋2｜和｜a－3｜就可依絕對(duì)值定義分別得到不同的去掉絕對(duì)值符號(hào)后的新形式了．11，解：由｜a＋2｜＝0和｜a－3｜＝0得a＝－2或a＝3．－2和3把數(shù)軸分為三部分(如圖)：當(dāng)a＜－2時(shí)，原式＝－(a＋2)－[－(a－3)]＝－a－