模型10“等時(shí)圓”模型及其應(yīng)用（解析版）-2025版高考物理熱點(diǎn)模型精-品講義

模型10“等時(shí)圓”模型及其應(yīng)用01模型概述01模型概述1．等時(shí)圓模型(1)質(zhì)點(diǎn)從豎直圓環(huán)上沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到圓環(huán)的最低點(diǎn)所用時(shí)間相等，如圖甲所示；(2)質(zhì)點(diǎn)從豎直圓環(huán)上最高點(diǎn)沿不同的光滑弦由靜止開始滑到下端所用時(shí)間相等，如圖乙所示；(3)兩個(gè)豎直圓環(huán)相切且兩環(huán)的豎直直徑均過切點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)沿不同的光滑弦從上端由靜止開始滑到下端所用時(shí)間相等，如圖丙所示。2.等時(shí)性的證明設(shè)某一條弦與水平方向的夾角為，圓的直徑為（如右圖）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為，位移為，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為即沿各條弦運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，運(yùn)動(dòng)時(shí)間與弦的傾角、長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。02典題攻破02典題攻破1.等時(shí)圓基本應(yīng)用【典型題1】如圖所示，甲圖中質(zhì)點(diǎn)從豎直面內(nèi)的圓環(huán)上，沿三個(gè)不同的光滑弦1、2、3上端由靜止開始滑到環(huán)的最低點(diǎn)，所用的時(shí)間分別為、、；乙圖中質(zhì)點(diǎn)從豎直面內(nèi)的圓環(huán)上最高點(diǎn)，沿三個(gè)不同的光滑弦4、5、6由靜止開始滑到下端所用的時(shí)間分別為、、，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【詳解】如圖甲、乙所示，質(zhì)點(diǎn)沿豎直面內(nèi)圓環(huán)上的任意一條光滑弦從上端由靜止滑到底端，由牛頓第二定律可知加速度為位移為由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有聯(lián)立解得下滑時(shí)間相當(dāng)于沿豎直直徑自由下落的時(shí)間，有故選A?！镜湫皖}2】（2024·湖北黃石·三模）如圖所示，是一個(gè)傾角為的傳送帶，上方離傳送帶表面距離為的處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在與傳送帶間建立一直線光滑管道，使原料無(wú)初速度地從處以最短的時(shí)間到達(dá)傳送帶上，則最理想管道做好后，原料從處到達(dá)傳送帶的時(shí)間為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】如圖所示以處為圓的最高點(diǎn)作圓與傳送帶相切于點(diǎn)，設(shè)圓的半徑為，從處建立一管道到圓周上，管道與豎直方向的夾角為，原料下滑的加速度為管道長(zhǎng)度為由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得解得可知從處建立任一管道到圓周上，原料下滑的時(shí)間相等，故在與傳送帶間建立一管道，原料從處到傳送帶上所用時(shí)間最短；根據(jù)圖中幾何關(guān)系可得可得聯(lián)立可得故選D。2.等時(shí)圓拓展應(yīng)用【典型題3】如圖所示有一半圓，其直徑水平且與另一圓的底部相切于O點(diǎn)，O點(diǎn)恰好是下半圓的頂點(diǎn)，它們處在同一豎直平面內(nèi)?，F(xiàn)有兩條光滑直軌道AOB、COD，軌道與豎直直徑的夾角關(guān)系為，現(xiàn)讓一小物塊先后從這兩條軌道頂端由靜止下滑至底端，則下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】AB．小物塊下滑的過程，由動(dòng)能定理可知可得由于從A到B下落的高度差大于從C到D的高度差，故有故A錯(cuò)誤，B正確；CD．以AOB軌道的物塊為研究對(duì)象，根據(jù)位移與速度的關(guān)系同理COD軌道兩式相比且：所以，故D正確，C錯(cuò)誤。故選BD?！镜湫皖}4】如圖在設(shè)計(jì)三角形的屋頂時(shí)，使雨水盡快地從屋頂流下，并認(rèn)為雨水是從靜止開始由屋頂無(wú)摩擦地流動(dòng)，試分析：在屋頂寬度（2L）一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的最短時(shí)間是多少？【答案】45°，【詳解】如圖所示，通過屋頂作直線AC與水平線BC相垂直；并以L為半徑、O為圓心畫一個(gè)圓與AC、BC相切；然后，畫傾角不同的屋頂A1B、A2B、A3B……從圖可以看出：在不同傾角的屋頂中，只有A2B是圓的弦，而其余均為圓的割線；根據(jù)“等時(shí)圓”規(guī)律，雨水沿A2B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，且最短時(shí)間為屋頂?shù)膬A角滿足tanα＝＝1可得α＝45°03針對(duì)訓(xùn)練03針對(duì)訓(xùn)練1．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，ad、bd、cd是豎直平面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d點(diǎn)為圓周的最低點(diǎn)。每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)，三個(gè)滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速度都為0），用t1、t2、t3依次表示各滑環(huán)滑到d的時(shí)間，則（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)某光滑細(xì)桿與豎直方向的夾角為θ，其上一小環(huán)受到重力和桿的支持力作用，由牛頓第二定律得據(jù)幾何關(guān)系得細(xì)桿長(zhǎng)度為環(huán)在桿上由靜止做勻加速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有解得由計(jì)算結(jié)果可知，環(huán)沿細(xì)桿下滑時(shí)間與桿的傾斜程度無(wú)關(guān)，即故選D。2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）如圖所示，在斜面上有四條光滑細(xì)桿，其中OA桿豎直放置，OB桿與OD桿等長(zhǎng)，OC桿與斜面垂直放置，每根桿上都套著一個(gè)相同的小滑環(huán)（圖中未畫出），四個(gè)環(huán)分別從O點(diǎn)由靜止釋放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上，下列說(shuō)法正確的是（）A．沿OD下滑過程中彈力的沖量最大B．沿OA下滑過程中重力的沖量最大C．沿OC下滑過程中重力的沖量最小D．沿OB下滑過程中彈力的沖量最小【答案】A【詳解】BC．以O(shè)A為直徑畫圓，建立等時(shí)圓模型，如圖所示小滑環(huán)受重力和彈力，由牛頓第二定律可得（為桿與豎直方向的夾角）若小滑環(huán)皆滑到圓上，小滑環(huán)的位移為可得時(shí)間為與無(wú)關(guān)，可知從圓上最高點(diǎn)沿任意一條弦滑到圓上所用時(shí)間都相同，故小滑環(huán)沿OA和OC滑到斜面上所用的時(shí)間相同，OB不是一條完整的弦，所用的時(shí)間最短，同理可知，小滑環(huán)沿OD滑到斜面上所用的時(shí)間最長(zhǎng)，即重力的沖量為故沿沿OD下滑過程中重力的沖量最大，沿OB下滑過程中重力的沖量最小，故BC錯(cuò)誤；AD．彈力的沖量為則沿OD下滑過程中彈力最大，時(shí)間最長(zhǎng)，彈力的沖量最大，沿OA下滑過程中彈力的大小為零，彈力的沖量最小，故A正確，D錯(cuò)誤。故選A。3.（23-24高一上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）如圖所示，一斜面固定在水平面上，斜面上固定了兩個(gè)光滑軌道a、b，其中軌道a與斜面垂直，兩軌道頂點(diǎn)相同，且頂點(diǎn)在C點(diǎn)的正上方。現(xiàn)分別從兩軌道的頂點(diǎn)釋放一物塊，它們到達(dá)斜面的時(shí)間分別為t1、t2.下列說(shuō)法正確的是（）A．t1<t2 B．t1=t2 C．t1>t2 D．無(wú)法確定【答案】C【詳解】過C點(diǎn)和兩軌道的頂點(diǎn)為直徑做圓，設(shè)軌道與豎直方向夾角為θ，則下滑的加速度根據(jù)可得可知物塊沿軌道下滑的時(shí)間與軌道的傾角無(wú)關(guān)，則滑塊沿軌道a下滑的時(shí)間等于沿軌道b下滑到b＇點(diǎn)的時(shí)間，則兩物塊到達(dá)斜面的時(shí)間t1>t2。故選C。4．（2024·江蘇泰州·一模）如圖所示，半球形容器內(nèi)有三塊不同長(zhǎng)度的滑板、、，其下端都固定于容器底部點(diǎn)，上端擱在容器側(cè)壁上，已知三塊滑板的長(zhǎng)度。若三個(gè)滑塊同時(shí)從A、B、C處開始由靜止下滑（忽略阻力），則（）A．A處滑塊最先到達(dá)點(diǎn) B．B處滑塊最先到達(dá)點(diǎn)C．C處滑塊最先到達(dá)點(diǎn) D．三個(gè)滑塊同時(shí)到達(dá)點(diǎn)【答案】D【詳解】令半球形容器的半徑為R，滑板的傾角為θ，對(duì)滑塊進(jìn)行分析，根據(jù)牛頓第二定律有根據(jù)位移公式有解得可知時(shí)間t與滑板的傾角和板的長(zhǎng)度均無(wú)關(guān)，故三個(gè)滑塊同時(shí)到達(dá)點(diǎn)。故選D。5．（23-24高三上·江蘇淮安·開學(xué)考試）如圖所示，球殼內(nèi)有三條弦OA、OB、OC，O為球內(nèi)的最低點(diǎn)，它們與水平面間的夾角分別為60°、45°、30°。三個(gè)光滑的小環(huán)分別從A、B、C處由靜止沿所在弦下滑，運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)所用的時(shí)間分別為、、，則三者之間大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)弦與豎直方向夾角為，球的半徑為R，由小環(huán)沿弦做勻加速運(yùn)動(dòng)有解得運(yùn)動(dòng)時(shí)間為與弦與豎直方向夾角無(wú)關(guān)，所以小環(huán)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的時(shí)間相等。故選A。6．如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy，該平面內(nèi)有AM、BM、CM三條光滑固定軌道，其中B、C兩點(diǎn)處于同一個(gè)圓上，C是圓上任意一點(diǎn)，B、M分別為此圓與y軸、x軸的切點(diǎn)，A點(diǎn)在y軸上且∠AMO=60°，O'為圓心，現(xiàn)將a、b、c三個(gè)小球分別從A、B、C點(diǎn)同時(shí)由靜止釋放，它們將沿軌道運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，所用時(shí)間分別為、、，則（）A．<<B．=<C．>=D．由于C點(diǎn)的位置不確定，故無(wú)法比較時(shí)間大小關(guān)系【答案】C【詳解】對(duì)于BM段，位移加速度根據(jù)得對(duì)于AM段，位移加速度由得對(duì)于CM段，設(shè)CM與豎直方向夾角為θ，同理可解得即故選C。7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，有直角三角形光滑軌道框架，其中AB豎直。，光滑圓弧軌道CB為的外接圓上的一部分。小球1、2分別沿軌道AB、AC從A點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，到B、C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間分別為、，小球3沿軌道CB從C點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)的時(shí)間為；小球4在圓弧軌道CB上某一點(diǎn)（對(duì)應(yīng)的圓心角很小）由靜止開始運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)的時(shí)間為。則下列時(shí)間的關(guān)系正確的是（）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)AB為2R，小球1做自由落體運(yùn)動(dòng)，則有解得設(shè)，根據(jù)幾何關(guān)系可知AC為2R，根據(jù)牛頓第二定律可知?jiǎng)t有解得同理可知小球3的位移為，加速度為則有解得小球4的運(yùn)動(dòng)可看作是單擺運(yùn)動(dòng)，則時(shí)間為綜上分析可知=故選B。8．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖所示，在豎直平面內(nèi)有ac、abc、adc三個(gè)細(xì)管道，ac沿豎直方向，ab與bc垂直，adc構(gòu)成等邊三角形。將三個(gè)小球同時(shí)從a點(diǎn)沿三個(gè)不同軌道由靜止釋放，忽略一切摩擦，不計(jì)拐彎時(shí)的機(jī)械能損失，當(dāng)豎直下落的小球運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)時(shí)，關(guān)于三個(gè)小球的位置，下列示意圖中可能正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【詳解】以ac為直徑做圓，設(shè)半徑為r，則b點(diǎn)在圓周上，圓周與ad交于e點(diǎn)，設(shè)ab與ac夾角為θ，則沿ab運(yùn)動(dòng)的加速度時(shí)間同理小球到達(dá)e點(diǎn)時(shí)的時(shí)間也為此時(shí)沿ac運(yùn)動(dòng)的小球恰到達(dá)c點(diǎn)，則當(dāng)豎直下落的小球運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)時(shí)，三個(gè)小球的位置如圖B所示。故選B。

9．（23-24高一下·安徽蚌埠·期中）如圖所示，豎直平面內(nèi)存在半徑為R的大圓和半徑為r的小圓，兩個(gè)圓的公切線水平，有兩條傾斜的光滑軌道，一條與大圓相交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)為大圓的最高點(diǎn)，另一條軌道一端交于大圓的C點(diǎn).另一端交于小圓的D點(diǎn)，且過大圓和小圓的公切點(diǎn)。現(xiàn)讓一物體分別從兩條軌道的頂端A、C由靜止釋放，分別滑到B點(diǎn)和D點(diǎn)（假設(shè)物體能夠無(wú)障礙地穿過CD與圓的交叉點(diǎn)），物體在兩條軌道上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為、，重力加速度為g，下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)軌道與豎直方向的夾角為，則物體在軌道上運(yùn)動(dòng)的加速度大小為根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得解得設(shè)軌道與豎直方向的夾角為，則物體在軌道上運(yùn)動(dòng)的加速度大小為根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得解得則有故選D。10．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）（多選）如圖所示，O點(diǎn)為豎直圓周的圓心，MN和PQ是兩根光滑細(xì)桿，兩細(xì)桿的兩端均在圓周上，M為圓周上的最高點(diǎn)，Q為圓周上的最低點(diǎn)，N、P兩點(diǎn)等高。兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的圓環(huán)1、2（圖中均未畫出）分別套在細(xì)桿MN、PQ上，并從M、P兩點(diǎn)由靜止釋放，兩圓環(huán)滑到N、Q兩點(diǎn)時(shí)的速度大小分別為、，所用時(shí)間分別為、，則（）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】連接NQ、MP，如圖所示小環(huán)1從M點(diǎn)靜止釋放，根據(jù)牛頓第二定律可得所以，同理可得，故選BD。11．（23-24高三上·河南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）（多選）如圖所示，oa、ob和ad是豎直平面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，o、a、b、c、d位于同一圓周上，c為圓周的最高點(diǎn)，a為最低點(diǎn)，為圓心。每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)，兩個(gè)滑環(huán)從o點(diǎn)無(wú)初速釋放，一個(gè)滑環(huán)從d點(diǎn)無(wú)初速釋放，用，，分別表示滑環(huán)沿oa、ob、da到達(dá)a、b所用的時(shí)間，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】設(shè)ob與豎直方向的夾角為θ，由幾何關(guān)系得oa與豎直方向的夾角為，設(shè)da與豎直方向的夾角為，環(huán)沿oa下滑時(shí)的加速度大小為沿ob下滑時(shí)的加速度大小為沿da下滑時(shí)的加速度大小為設(shè)ob長(zhǎng)為L(zhǎng)，由幾何關(guān)系得oa長(zhǎng)為，da長(zhǎng)為，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有，，解得，，可得故選BC。12．（23-24高三上·湖北孝感·階段練習(xí)）（多選）三根光滑絕緣細(xì)桿a、b、c固定于豎直放置的圓環(huán)上，每根桿上各套著一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為的小滑環(huán)（未畫出），其中桿b過圓心O且與水平方向的夾角，空間中存在與圓環(huán)平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)（未畫出）?，F(xiàn)將三個(gè)小滑環(huán)同時(shí)從桿的頂部無(wú)初速度釋放，滑到桿底所用的時(shí)間恰好相等，忽略三個(gè)滑環(huán)間的相互