2019屆中考數(shù)學專題復習三角形的內(nèi)切圓講義

復習引入1.什么是三角形的外接圓？2.什么叫三角形的外心?外心有什么性質(zhì)？

圓的內(nèi)接三角形三角形的外接圓三角形的外心ABCO經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓,三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。1。三邊垂直平分線的交點2。到三個頂點距離相等三角形外心的性質(zhì)

三角形的內(nèi)切圓思考一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的用料，并且使圓的面積盡可能大呢？合作探究將上面的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題作圓，使它和已知三角形的各邊都相切已知：△ABC求作：⊙I使它與△ABC的各邊都相切作法分析:ABC┓┗┗┓I●●┓┗┗┓┗┗┓┗┗探究1作法：1.作∠ABC,∠ACB的平分線

BM和CN,交點為I.2.過點I作ID⊥BC,垂足為D.3.以I為圓心,ID為半徑作

⊙I,⊙I就是所求作的圓.

ABCI●┓●DMN這樣的圓可以作出幾個呢?為什么?.與△ABC三邊都相切的圓可以作出一個,并且只能作一個.與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.這個三角形叫做圓的外切三角形.內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.ABCI●┓●D圓的外切三角形三角形的內(nèi)切圓三角形的內(nèi)心1.位置特征:內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點,

在三角形內(nèi)部2.數(shù)量特征:內(nèi)心到三角形三邊的距離相等,

都等于內(nèi)切圓的半徑三角形內(nèi)心的性質(zhì)分別作出銳角三角形,直角三角形,鈍角三角形的內(nèi)切圓,并說明與它們內(nèi)心的位置情況?畫一畫OACDB圖（1）圖（2）說出下列圖形中圓與四邊形的名稱四邊形ABCD叫做⊙O的外切四邊形四邊形ABCD叫做⊙O的內(nèi)接四邊形

1.如圖1，△ABC是⊙O的

三角形。

⊙O是△ABC的

圓，點O叫△ABC的

，它是三角形

的交點。外接內(nèi)接外心三邊中垂線2.如圖2，△DEF是⊙I的

三角形，

⊙I是△DEF的

圓，點I是△DEF的

心，它是三角形

的交點。ABCO．圖1IDEF．圖2外切內(nèi)切內(nèi)三個角平分線DEFG.O3.

如上圖，四邊形DEFG是⊙O的

四邊形，

⊙O是四邊形DEFG的

圓.內(nèi)切外切

判斷題：1、三角形的內(nèi)心到三角形各個頂點的距離相等2、三角形的外心到三角形各邊的距離相等3、等邊三角形的內(nèi)心和外心重合4、三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部5、菱形一定有內(nèi)切圓6、矩形一定有內(nèi)切圓錯錯對對

錯

對（2）若∠A=80°，則∠BOC=

度。（3）若∠BOC=100°，則∠A=

度。解:13020（1）∵點O是△ABC的內(nèi)心，∴∠BOC=180°－(∠1＋∠3)=180°－(25°＋35°)例1如圖，在△ABC中，點O是內(nèi)心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠BOC的度數(shù)ABCO=120°)1(32)4(同理∠3=∠4=∠ACB=70°=35°∴∠1=∠2=∠ABC=50°=25°理由：∵點O是△ABC的內(nèi)心，∴∠1＋∠3=（∠ABC+∠ACB）∴∠1=∠ABC，∠3=∠ACB=180°－（90°－∠A）=（180°－∠A）=90°+∠A=90°－∠A答：∠BOC=90°+∠A（4）試探索：∠A與∠BOC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由。ABCO)1(32)4(在△OBC中，∠BOC=180°－（∠1＋∠3）應用遷移解法一：設(shè)AF=x(cm),則AE=x(cm)CD=CE=AC﹣AE=13﹣xBD=BF=AB﹣AF=9﹣x由BD+CD=BC可得（13﹣x）+（9﹣x）=14解得X=4因此

AF=4cm

BD=5cm

CE=9cmADCBOFEx13﹣xx13﹣x9﹣x9﹣x例1.如圖,△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的長。13149解法二:設(shè)AF=Xcm,CE=Ycm,BD=Zcm,則

AE=AF=Xcm,CE=CD=Ycm,BD=BF=Zcm依題意得方程組x+y=13y+z=14x+z=9解得:X=4Y=9Z=5。、、的長分別是、、cmcmcmBDCEAF594\xxyyzz13149ADCBOFE練習.如圖,在△ABC中∠C=900,∠A和∠B的平分線交于點P,又PE⊥AB于E,若BC=2,AC=3,則AE·BE=-----------.BCAPE提示:設(shè)AE=xBE=yPE=r,則

x+r=3y+r=2

在Rt△ABC中BC2+AC2=AB2又∵x+r+y+r=5┓┓例2.如圖,⊙O內(nèi)切于△ABC,切點分別為D,E,F.若BC=a,AB=c,AC=b.⊙O半徑為r,

求證:ABCO┓●EFABC●┏ObacbacDEFD┓┓┓┓作業(yè)：.如圖,⊙O內(nèi)切于△ABC,切點分別為D,E,F.若BC=a,AB=c,AC=b.⊙O半徑為r,

求證:ABCO●EFABC●┏ObacbacDEFD（1）圖（2）圖如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形,切點分別為L，M，N，P。圖中有哪幾對相等的線段？探究AB+CD與AD+BC的數(shù)量關(guān)系.ADLMNPOCB由切線長定理得∴AL+LB+DN+NC=AP+MB+DP+MC即AB+CD=AD+BC探究2LB=MB，DN=DP，NC=MCAL=AP，由此你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等ADOCB圓的外切四邊形的性質(zhì)：比較圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓的內(nèi)接四邊形：角的關(guān)系圓的外切四邊形：邊的關(guān)系練習1.已知圓外切四邊形ABCD中，

AB：BC：CD=4：3：2，它的周長為24cm。則

AB=

，BC=

；

CD=

，DA=

。ADOCB8cm6cm4cm6cm2.等腰梯形各邊都與⊙O相切，⊙O的直徑為6cm，等腰梯形的腰等于8cm，則梯形的面積為_____。86848cm2結(jié)論:Rt△ABC(∠C=900)的外接圓半徑Rt△ABC(∠C=900)的內(nèi)切圓半徑BACacbo┓練習1.如圖，△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=75°,

點O是⊙O的內(nèi)心，求∠BOC的度數(shù)。AOCB解：∵點O是⊙O的內(nèi)心

∴∠OBC=1/2∠ABC=25°

∠OCB=1/2∠ACB=37.5°∴∠BOC=180°﹣25°﹣37.5°=117.5°2.如圖,⊙I是Rt△ABC的內(nèi)切圓,切點為D,E,F,若AF,BE長是方程的兩根,則ABCEFD。I提示:設(shè)⊙I的半徑r,AF>BE∴AF=10,BE=3,∴AC=10+r,BE=3+r∴(10+r)2+(3+r)2=132

∴r=2AC=12BC=5∴S△ABC=303.已知:如圖,Rt△ABC的內(nèi)切圓為⊙I,∠AC=900,∠BIC=1050,AB=8.(1)求△ABC的周長,(2)求⊙I的半徑.ABC●┏IEFD分析(2)方法1：代數(shù)法設(shè)CD=CE=x,AE=AF=y,BD=BF=z

則x+y=AC①

y+z=AB②

x+z=BC③(①+②+③)-②求出x{方法2:面積法方法3:∴⊙I的半徑r=x方法4:BC+AC=AB+2r例3.在△ABC中,E是內(nèi)心,∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點D,求證:DE=DBABCDE(((((12345練習.已知如圖,⊙O內(nèi)切于△ABC,切點為D,E,F,∠B=1200,AB=3,AC=7,BC=5,求⊙O的半徑OBFDAEC提示:連結(jié)OD,OB,則OD⊥BC∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓切點分別為D,E,F,則

BF=BDCD=CEAE=AF∠OBF=∠OBD=60