三年級(jí)奧數(shù)專(zhuān)題和倍問(wèn)題習(xí)題及答案

第11講巧數(shù)圖形數(shù)出某種圖形的個(gè)數(shù)是一類(lèi)有趣的圖形問(wèn)題。由于圖形千變?nèi)f化，錯(cuò)綜復(fù)雜，所以要想準(zhǔn)確地?cái)?shù)出其中包含的某種圖形的個(gè)數(shù)，還真需要?jiǎng)狱c(diǎn)腦筋。要想有條理、不重復(fù)、不遺漏地?cái)?shù)出所要圖形的個(gè)數(shù)，最常用的方法就是分類(lèi)數(shù)。例1數(shù)出下圖中共有多少條線(xiàn)段。分析與解：我們可以按照線(xiàn)段的左端點(diǎn)的位置分為A，B，C三類(lèi)。如下圖所示，以A為左端點(diǎn)的線(xiàn)段有3條，以B為左端點(diǎn)的線(xiàn)段有2條，以C為左端點(diǎn)的線(xiàn)段有1條。所以共有3＋2＋1＝6(條)。我們也可以按照一條線(xiàn)段是由幾條小線(xiàn)段構(gòu)成的來(lái)分類(lèi)。如下圖所示，AB，BC，CD是最基本的小線(xiàn)段，由一條線(xiàn)段構(gòu)成的線(xiàn)段有3條，由兩條小線(xiàn)段構(gòu)成的線(xiàn)段有2條，由三條小線(xiàn)段構(gòu)成的線(xiàn)段有1條。所以，共有3＋2＋1＝6(條)。由例1看出，數(shù)圖形的分類(lèi)方法可以不同，關(guān)鍵是分類(lèi)要科學(xué)，所分的類(lèi)型要包含所有的情況，并且相互不重疊，這樣才能做到不重復(fù)、不遺漏。例2下列各圖形中，三角形的個(gè)數(shù)各是多少？分析與解：因?yàn)榈走吷系娜魏我粭l線(xiàn)段都對(duì)應(yīng)一個(gè)三角形(以頂點(diǎn)及這條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形)，所以各圖中最大的三角形的底邊所包含的線(xiàn)段的條數(shù)就是三角形的總個(gè)數(shù)。由前面數(shù)線(xiàn)段的方法知，圖(1)中有三角形1＋2＝3(個(gè))。圖(2)中有三角形1＋2＋3=6(個(gè))。圖(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(個(gè))。圖(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(個(gè))。圖(5)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＋6=21(個(gè))。例3下列圖形中各有多少個(gè)三角形？分析與解：(1)只需分別求出以AB，ED為底邊的三角形中各有多少個(gè)三角形。以AB為底邊的三角形ABC中，有三角形1＋2＋3＝6(個(gè))。以ED為底邊的三角形CDE中，有三角形1＋2＋3＝6(個(gè))。所以共有三角形6＋6=12(個(gè))。這是以底邊為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分類(lèi)計(jì)算的方法。它的好處是可以借助“求底邊線(xiàn)段數(shù)”而得出三角形的個(gè)數(shù)。我們也可以以小塊個(gè)數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)計(jì)算：圖中共有6個(gè)小塊。由1個(gè)小塊組成的三角形有3個(gè)；由2個(gè)小塊組成的三角形有5個(gè)；由3個(gè)小塊組成的三角形有1個(gè)；由4個(gè)小塊組成的三角形有2個(gè)；由6個(gè)小塊組成的三角形有1個(gè)。所以，共有三角形3＋5＋1＋2＋1＝12(個(gè))。(2)如果以底邊來(lái)分類(lèi)計(jì)算，各種情況較復(fù)雜，因此我們采用以“小塊個(gè)數(shù)”為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)計(jì)算：由1個(gè)小塊組成的三角形有4個(gè)；由2個(gè)小塊組成的三角形有6個(gè)；由3個(gè)小塊組成的三角形有2個(gè)；由4個(gè)小塊組成的三角形有2個(gè)；由6個(gè)小塊組成的三角形有1個(gè)。所以，共有三角形4＋6＋2＋2＋1＝15(個(gè))。例4右圖中有多少個(gè)三角形？解：假設(shè)每一個(gè)最小三角形的邊長(zhǎng)為1。按邊的長(zhǎng)度來(lái)分類(lèi)計(jì)算三角形的個(gè)數(shù)。邊長(zhǎng)為1的三角形，從上到下一層一層地?cái)?shù)，有1＋3＋5＋7=16(個(gè))；邊長(zhǎng)為2的三角形(注意，有一個(gè)尖朝下的三角形)有1＋2＋3＋1=7(個(gè))；邊長(zhǎng)為3的三角形有1＋2＝3(個(gè))；邊長(zhǎng)為4的三角形有1個(gè)。所以，共有三角形16＋7＋3＋1＝27(個(gè))。例5數(shù)出下頁(yè)左上圖中銳角的個(gè)數(shù)。分析與解：在圖中加一條虛線(xiàn)，如下頁(yè)右上圖。容易發(fā)現(xiàn)，所要數(shù)的每個(gè)角都對(duì)應(yīng)一個(gè)三角形(這個(gè)角與它所截的虛線(xiàn)段構(gòu)成的三角形)，這就回到例2，從而回到例1的問(wèn)題，即所求銳角的個(gè)數(shù)，就等于從O點(diǎn)引出的6條射線(xiàn)將虛線(xiàn)截得的線(xiàn)段的條數(shù)。虛線(xiàn)上線(xiàn)段的條數(shù)有1+2+3+4+5=15(條)。所以圖中共有15個(gè)銳角。例6在下圖中，包含“*”號(hào)的長(zhǎng)方形和正方形共有多少個(gè)？解：按包含的小塊分類(lèi)計(jì)數(shù)。包含1小塊的有1個(gè)；包含2小塊的有4個(gè)；包含3小塊的有4個(gè)；包含4小塊的有7個(gè)；包含5小塊的有2個(gè)；包含6小塊的有6個(gè)；包含8小塊的有4個(gè)；包含9小塊的有3個(gè)；包含10小塊的有2個(gè)；包含12小塊的有4個(gè)；包含15小塊的有2個(gè)。所以共有1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39(個(gè))。差倍B問(wèn)題1.分析:從“小麗把自己的郵票給小榮100張,兩人郵票的張數(shù)正好相等”可以看出,小麗比小榮的郵票多(100×2)張,根據(jù)題意可求解.解:小榮的郵票的張數(shù)為100×2÷(5-1)=50(張)小麗的郵票的張數(shù)為50×5=250(張).答:小麗有郵票250張,小榮有郵票50張.2.分析:依題意,甲倉(cāng)庫(kù)有水泥袋數(shù)比乙倉(cāng)庫(kù)多(450-50)袋,又知甲倉(cāng)庫(kù)所存水泥袋數(shù)是乙倉(cāng)庫(kù)的3倍,則可求解.乙倉(cāng)庫(kù)水泥袋數(shù):(450-50)÷(3-1)=200(袋)甲倉(cāng)庫(kù)水泥袋數(shù):200×3=600(袋)答:甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)各有水泥600袋、200袋.賣(mài)出150個(gè)剩下的賣(mài)出150個(gè)剩下的第一筐:賣(mài)出194個(gè)第二筐:?個(gè)?個(gè)剩下的分析:由圖看出,剩下的第一筐比第二筐多的數(shù),就是第一筐比第二筐少賣(mài)的數(shù).這個(gè)數(shù)正好是第二筐剩下的(3-1)倍.解:(194-150)÷(3-1)+194=44÷2+194=216(個(gè))答:每筐原有桃216個(gè).?元取240元?元取240元取40元乙:甲:?元分析:甲存款是乙的3倍,乙是1倍數(shù),甲、乙相差數(shù)(240-40)元,也是原來(lái)的相差數(shù),正好等于原有存款的(3-1)倍.解:乙原存款數(shù):(240-40)÷(3-1)=100(元)甲原存款數(shù):100×3=300(元)答:甲原存款300元,乙100元.5.分析:由第一個(gè)條件可知小勇和小英二人的錢(qián)數(shù)相差(24×2)元,由第二個(gè)條件可知,在小勇比小英多(24×2)元的基礎(chǔ)上,小英再給小勇27元,實(shí)際小勇比小英就多了(27×2+24×2)元,這正等于小英后來(lái)錢(qián)數(shù)(2-1)倍.解:小英的錢(qián)數(shù):(24×2+27×2)÷(2-1)+27=129(元)小勇的錢(qián)數(shù):129+24×2=177(元)答:小勇有錢(qián)177元,小英有錢(qián)129元.圖示:152152480甲:乙:3倍解:甲數(shù):(480+152)÷(3-1)=632÷2=316乙數(shù):316+152=468答:甲數(shù)為316,乙數(shù)為468.““1”14厘米甲:乙:3倍？厘米？厘米2厘米7.由上圖可知,當(dāng)?shù)谝桓萌?4厘米,第二根用去2厘米后,兩根鉛筆相差14-2=12（厘米）,而這時(shí)第二根的長(zhǎng)度是第一根的3倍,即相差的12厘米相當(dāng)于第一根剩下的2倍,這樣就可以求出第一根還剩下多少,也就知道了兩根鉛筆原來(lái)多長(zhǎng).14-2=12(厘米)12÷(3-1)=6(厘米)6+14=20(厘米)答:兩根鉛筆原來(lái)長(zhǎng)20厘米.“1“1”4倍第一塊:第二塊:31米?米19米?米由上圖可以看出第一塊用去31米,第二塊用去19米后,第二塊比第一塊多31-19=12(米),而這時(shí)第二塊剩的是第一塊的4倍,即多的12米相當(dāng)于第一塊的3倍,這樣可以先求出第一塊剩多少米,就可以求出兩塊原來(lái)各有多少米了.31-19=12(米)12÷(4-1)=4(米)4+31=35(米)答:這兩塊布原來(lái)各有35米.“1“1”弟弟:哥哥:60本把弟弟的本數(shù)作為1倍,則弟弟的本數(shù)=60÷(3-1)=30(本)哥哥的本數(shù)=30×3=90(本)答:弟弟的本數(shù)是30本,哥哥的本數(shù)是90本.10.父女相差36歲,這個(gè)差不變.當(dāng)父親年齡恰好是女兒年齡的5倍時(shí),父親仍比女兒大36歲.這36歲是女兒年齡的(5-1)倍.36÷(5-1)=9(歲)當(dāng)女兒是9歲時(shí),14-9=5,正是5年前,所以5年前,父親年齡是女兒年齡的5倍.二、解答題“1“1”3倍乙倉(cāng):甲倉(cāng):500公斤?公斤8500公斤?公斤由上圖可以看出如果乙倉(cāng)不運(yùn)出糧食,甲倉(cāng)運(yùn)出8500-500=8000(公斤)糧食,正好相當(dāng)于乙倉(cāng)的2倍,可以通過(guò)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系求出乙倉(cāng)存面粉的公斤數(shù),再求甲倉(cāng)存面粉的公斤數(shù).8500-500=8000(公斤)8000÷2=4000(公斤)4000×3=12000(公斤)答:甲倉(cāng)原有面粉12000公斤,乙倉(cāng)原有面粉4000公斤.“1“1”2倍妹妹:姐姐:30元?元180元?元由上圖可以看出姐姐比妹妹多花180-30=150(元),正好是妹妹帶的錢(qián)數(shù)的1倍,也就是妹妹帶了150元,姐姐帶的錢(qián)數(shù)很容易也就求出來(lái)了.180-30=150(元)150×2=300(元)答:姐姐帶了300元,姐妹帶了150元.13.兩個(gè)整千數(shù)最高位上數(shù)字的差是6,也就是這兩個(gè)數(shù)的差是1000×6=6000,這個(gè)隱藏條件找到就好做了.““1”3倍小數(shù):大數(shù):?6000?1000×6=60006000÷(3-1)=30003000×3=9000答:小數(shù)是3000,大數(shù)是9000.14.因?yàn)橐惠v汽車(chē)的載重量相當(dāng)于大車(chē)的3倍,也就是3輛大車(chē)運(yùn)送的和一輛汽車(chē)相同.這樣,我們可以把18輛大車(chē)換成18÷3=6(輛)汽車(chē).可以這樣理解:9輛汽車(chē)比6輛汽車(chē)一共多運(yùn)18噸,可以求出一輛汽車(chē)的載重量,再求一輛大車(chē)的截重量.18÷3=6(輛)9-6=3(輛)18÷3=6(噸)6÷3=2(噸)答:汽車(chē)每輛運(yùn)6噸,大車(chē)每輛運(yùn)2噸.和倍問(wèn)題（B卷）答案:運(yùn)出40噸1?噸運(yùn)出40噸1?噸運(yùn)進(jìn)20噸2倍乙倉(cāng):320噸甲倉(cāng):1.如圖,甲、乙兩倉(cāng)原來(lái)共存糧320噸,“后來(lái)從甲倉(cāng)運(yùn)出40噸,給乙倉(cāng)運(yùn)進(jìn)20噸,”甲、乙兩倉(cāng)現(xiàn)在共存糧(320-40+20)=300噸,這時(shí)甲倉(cāng)存糧是乙倉(cāng)的2倍,可以先求出在乙倉(cāng)存糧多少?lài)?然后再減去運(yùn)進(jìn)的20噸就是乙倉(cāng)原來(lái)存糧的噸數(shù).這樣甲倉(cāng)原噸數(shù)就好求了.現(xiàn)乙倉(cāng)存糧=(320-40+20)÷(2+1)=100(噸)乙倉(cāng)原存糧=100-20=80(噸)甲倉(cāng)原存糧=320-80=240(噸)?人少40人3倍男生:?人少40人3倍男生:?人1女生:共560人2.如圖,把女生人數(shù)看作1份,其中男生人數(shù)不夠女生人數(shù)的3倍(差40人),如果把男生人數(shù)的和560人加上40人就等于女生人數(shù)的4倍.?人1女生:共560人所以女生人數(shù)=(560+40)÷(3+1)=150(人)男生人數(shù)=150×3-40=410(人)每個(gè)貴3元每個(gè)貴3元4個(gè)足球2個(gè)排球162元3.從圖可以看出,如果從總錢(qián)數(shù)162元中減去4個(gè)3元,那么就可以得到相當(dāng)于6個(gè)排球的總價(jià),從而就能求出每個(gè)排球的單價(jià),然后再求每個(gè)足球的單價(jià).所以每個(gè)排球=(162-3×4)÷(4+2)=150÷6=25(元)每個(gè)足球=25+3=28(元)4570米共4570米共10640米美國(guó)紐約大橋:南京長(zhǎng)江大橋:530米武漢長(zhǎng)江大橋:用一座橋的長(zhǎng)度為標(biāo)準(zhǔn),把三座橋的長(zhǎng)度看成同樣長(zhǎng).設(shè)三座橋的長(zhǎng)度和南京長(zhǎng)江大橋相等.如圖可知:南京長(zhǎng)江大橋=(10640+4570×2+530)÷3=6770(米)美國(guó)紐約大橋=6770-4570=2200(米)武漢長(zhǎng)江大橋=2200-530=1670(米)5倍取出部分5倍取出部分?個(gè)取出部分乙筐甲筐?個(gè)240個(gè)400個(gè)如圖可知,從兩筐取出相等數(shù)目的梨后,甲筐剩下的個(gè)數(shù)恰好是乙筐的5倍,也就是比乙筐多4倍,甲筐比乙筐多(400-240)=160個(gè),也就是乙筐剩下個(gè)數(shù)的4倍是160個(gè),這樣可以求出乙筐剩下的個(gè)數(shù),然后就可求出甲筐剩下的個(gè)數(shù).乙筐剩下的個(gè)數(shù)=(400-240)÷(5-1)=40(個(gè))甲筐剩下的個(gè)數(shù)=40×5=200(個(gè))6.把乙數(shù)看作1份,那么甲數(shù)是5份加1;丙數(shù)是5×(5份+1)再加1,即25份加6.所以每份是:(100-1-6)÷(1+5+25)=93÷31=3即乙數(shù)是3.7.設(shè)那時(shí)弟弟的歲數(shù)是1份.哥哥的歲數(shù)是2份,那么哥哥與弟弟的歲數(shù)之差為1份.二人的歲數(shù)之差是不會(huì)變的,今年他們的年齡仍差1份.而題目中說(shuō):“那時(shí)哥哥的歲數(shù)與今年弟弟的歲數(shù)相同”.因此今年弟弟的歲數(shù)也是2份,而哥哥今年的歲數(shù)是2+1=3(份).今年,哥哥與弟弟的年齡之和是:3+2=5(份)每份是:55÷5=11(歲)所以今年哥哥是:11×3=33(歲).第一塊第一塊:第二塊:第三塊:1220塊8.設(shè)第一塊布長(zhǎng)為1份,第一塊布長(zhǎng)=220÷(1+3+3×2)=22(米)第一層:第一層:第二層:1份173本拿走38本6本2份設(shè)把第一層余下的書(shū)算作“1”份,由圖可知:每一份=(173-38-6)÷3=43(本)第二層的書(shū)共有:43×2+6=92(本)小強(qiáng):小強(qiáng):小明:1份200張20張?jiān)O(shè)小強(qiáng)的畫(huà)片數(shù)為1份,小強(qiáng)有的畫(huà)片數(shù)=(200-20)÷3=60(張)130堆一堆130堆一堆:1?個(gè)三堆:2倍10個(gè)個(gè)?個(gè)二堆:3倍(“1”?個(gè)11.因?yàn)榈诙咽堑谝欢训?倍,第三堆又是第二堆的2倍多10個(gè),所以減去10個(gè)后,第三堆就相當(dāng)于第一堆的3×2=6(倍).總數(shù)變?yōu)?30-10=120(個(gè)),相當(dāng)于第一堆的1+3+6=10(倍),可以求出第一堆的個(gè)數(shù),根據(jù)相關(guān)條件再求第二堆和第三堆的個(gè)數(shù).130-10=120(個(gè))1+3+3×2=10120÷10=12(個(gè))12×3=36(個(gè))36×2+10=82(個(gè))答:第一堆有12個(gè),第二堆有36個(gè),第三堆有82個(gè).一中隊(duì):一中隊(duì):二中隊(duì):三中隊(duì):1200棵?棵2倍4棵?棵5棵?棵二中隊(duì)比一中隊(duì)的2倍多5棵,如果減去5就正好是一中隊(duì)的2倍,三中隊(duì)比一、二中隊(duì)的和多4棵,如減去4就是一、二中隊(duì)的和,因?yàn)槎嘘?duì)比一中隊(duì)的2倍多5棵,所以還要減去一個(gè)5才符合倍數(shù)關(guān)系.這樣,總數(shù)就變?yōu)?00-5-4-5=186(棵),相當(dāng)于一中隊(duì)的1+2+1+2=6(倍),這樣就可以求出一中隊(duì)植樹(shù)的棵數(shù),相應(yīng)也就可以求出二、三中隊(duì)植樹(shù)的棵樹(shù)了.200-5-4-5=186(棵)1+2+1+2=6186÷6=31(棵)31×2+5=6