渤海大學(xué)高等數(shù)學(xué)試卷

渤海大學(xué)高等數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.下列各題中，正確的是（）

A.函數(shù)y＝x＋1在R上單調(diào)遞減

B.函數(shù)y＝x3在R上單調(diào)遞增

C.函數(shù)y＝x2在R上單調(diào)遞減

D.函數(shù)y＝x3在R上單調(diào)遞減

2.下列各題中，正確的是（）

A.函數(shù)y＝x2在R上可導(dǎo)

B.函數(shù)y＝|x|在R上不可導(dǎo)

C.函數(shù)y＝x3在R上可導(dǎo)

D.函數(shù)y＝|x|在R上可導(dǎo)

3.求下列極限（）

lim(x→0)(sin2x)/(x2)

A.0

B.2

C.1

D.不存在

4.求下列極限（）

lim(x→0)(x3－1)/(x－1)

A.1

B.0

C.無(wú)窮大

D.不存在

5.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)（）

A.必有最大值和最小值

B.必有最大值，不一定有最小值

C.必有最小值，不一定有最大值

D.一定沒(méi)有最大值和最小值

6.設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，則下列命題正確的是（）

A.f(x)在[a，b]上有最大值和最小值

B.f(x)在[a，b]上必有極值

C.f(x)在[a，b]上必有駐點(diǎn)

D.f(x)在[a，b]上必有拐點(diǎn)

7.求下列導(dǎo)數(shù)（）

y＝(1＋x)2

A.2(1＋x)

B.2

C.1

D.0

8.求下列導(dǎo)數(shù)（）

y＝ln(x2)

A.2/x

B.2x

C.1/x

D.0

9.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)（）

A.必有最大值和最小值

B.必有極值

C.必有駐點(diǎn)

D.必有拐點(diǎn)

10.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（）

y＝xlnx

A.1＋lnx

B.x＋lnx

C.1/x

D.x＋1

二、判斷題

1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f'(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)一定可積。（）

2.在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以應(yīng)用于所有實(shí)數(shù)指數(shù)的情況。（）

3.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)一定存在。（）

4.對(duì)于任意函數(shù)f(x)，如果f'(x)在點(diǎn)x0處存在，則f(x)在x0處一定可導(dǎo)。（）

5.在一元函數(shù)的極限計(jì)算中，如果當(dāng)x趨向于某一值時(shí)，函數(shù)的極限不存在，則該函數(shù)在該點(diǎn)一定不連續(xù)。（）

三、填空題

1.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)等于__________。

2.極限lim(x→0)(sinx)/x的值是__________。

3.設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－3x＋2，則f(x)的極小值點(diǎn)為_(kāi)_________。

4.函數(shù)y＝e^x的導(dǎo)數(shù)是__________。

5.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f'(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)恒大于0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)__________。

四、簡(jiǎn)答題

1.簡(jiǎn)述連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)，并舉例說(shuō)明。

2.解釋什么是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并說(shuō)明如何通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)圖形的凹凸性。

3.如何求一個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)？請(qǐng)給出一個(gè)具體的例子，并說(shuō)明求解過(guò)程。

4.簡(jiǎn)要介紹洛必達(dá)法則，并說(shuō)明在什么情況下可以使用洛必達(dá)法則求解極限。

5.討論函數(shù)的可導(dǎo)性與其連續(xù)性之間的關(guān)系，并給出一些反例來(lái)支持你的討論。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算極限：lim(x→∞)(3x^2+2x-1)/(x^2+4x-5)。

2.求函數(shù)f(x)＝x^3-6x^2+9x+1的導(dǎo)數(shù)，并求出其在x＝2時(shí)的導(dǎo)數(shù)值。

3.求函數(shù)y＝ln(x^2+1)在x＝1時(shí)的導(dǎo)數(shù)。

4.計(jì)算極限：lim(x→0)(sinx-x)/x^3。

5.已知函數(shù)f(x)＝x^2-4x+3，求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。

六、案例分析題

1.案例背景：某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)C(x)＝1000x+5000，其中x為生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。銷售價(jià)格為P(x)＝200x-0.5x^2，其中x為銷售的產(chǎn)品數(shù)量。

問(wèn)題：

（1）求該公司的收益函數(shù)R(x)。

（2）求該公司的利潤(rùn)函數(shù)L(x)。

（3）若公司希望利潤(rùn)最大化，請(qǐng)計(jì)算最優(yōu)的生產(chǎn)數(shù)量x。

2.案例背景：某城市交通管理部門正在研究一種新的收費(fèi)策略來(lái)減少交通擁堵。他們收集了以下數(shù)據(jù)：

-交通流量Q(t)與時(shí)間t的關(guān)系：Q(t)＝1000-50t+0.1t^2，其中t為小時(shí)。

-每輛車的通行費(fèi)用為f(t)＝1+0.1t，其中t為小時(shí)。

問(wèn)題：

（1）求該城市在時(shí)間t時(shí)的總收入R(t)。

（2）若交通管理部門希望總收入最大化，請(qǐng)計(jì)算最優(yōu)的收費(fèi)時(shí)間t。

（3）討論收費(fèi)策略對(duì)交通流量和總收入的影響。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量Q與單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本C和單位產(chǎn)品的銷售價(jià)格P之間存在以下關(guān)系：

\[C=2Q+0.1Q^2\]

\[P=10Q-0.2Q^2\]

（1）求該工廠的利潤(rùn)函數(shù)L(Q)。

（2）若工廠希望利潤(rùn)最大化，求出最優(yōu)的產(chǎn)量Q。

2.應(yīng)用題：某城市正在規(guī)劃一條新的公交線路，已知乘客數(shù)量N與車費(fèi)F之間的關(guān)系為：

\[N=1000-10F\]

（1）求出公交線路的票價(jià)F，使得乘客數(shù)量最大。

（2）若每輛車的運(yùn)營(yíng)成本為C(F)＝50F+200，求出該公交線路的最大收入。

3.應(yīng)用題：某產(chǎn)品的需求函數(shù)Q(p)＝150-2p，其中p為產(chǎn)品的價(jià)格（單位：元），成本函數(shù)C(p)＝100p+5000，其中p為產(chǎn)品的數(shù)量（單位：件）。

（1）求出該產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)M(p)。

（2）若產(chǎn)品的銷售價(jià)格為p＝25元，求出此時(shí)的利潤(rùn)。

4.應(yīng)用題：某商店在銷售一種商品時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)商品價(jià)格為p元時(shí)，每天的銷售量為q(p)＝200-5p。商店的固定成本為每天1000元，每件商品的變動(dòng)成本為5元。

（1）求出商店的總成本函數(shù)C(p)和總收入函數(shù)R(p)。

（2）若商店希望最大化利潤(rùn)，求出最優(yōu)的銷售價(jià)格p。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案

1.B

2.C

3.C

4.A

5.A

6.A

7.B

8.A

9.A

10.A

二、判斷題答案

1.錯(cuò)誤

2.錯(cuò)誤

3.正確

4.錯(cuò)誤

5.正確

三、填空題答案

1.f'(x0)

2.1

3.2

4.e^x

5.單調(diào)遞增

四、簡(jiǎn)答題答案

1.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)包括：有界性、最大值和最小值定理。例如，如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上，那么它在[a,b]上有界，且至少存在一點(diǎn)c∈[a,b]，使得f(c)為f(x)在[a,b]上的最大值或最小值。

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率。若導(dǎo)數(shù)f'(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)恒大于0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，圖形是凹的；若f'(x)恒小于0，則函數(shù)單調(diào)遞減，圖形是凸的。

3.求函數(shù)的極值點(diǎn)，首先求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)f'(x)，令f'(x)＝0，得到駐點(diǎn)。然后求出二階導(dǎo)數(shù)f''(x)，若f''(x)＞0，則駐點(diǎn)為極小值點(diǎn)；若f''(x)＜0，則駐點(diǎn)為極大值點(diǎn)。

4.洛必達(dá)法則用于求解“0/0”或“∞/∞”型極限。當(dāng)函數(shù)f(x)和g(x)在x＝x0附近連續(xù)，且f'(x)和g'(x)在x＝x0附近存在，且g'(x)≠0時(shí)，若lim(x→x0)[f(x)/g(x)]＝0/0或∞/∞，則有l(wèi)im(x→x0)[f(x)/g(x)]＝lim(x→x0)[f'(x)/g'(x)]。

5.函數(shù)的可導(dǎo)性與其連續(xù)性有關(guān)，但不是必然相關(guān)。一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)連續(xù)；但一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。例如，函數(shù)f(x)＝|x|在x＝0處連續(xù)，但在x＝0處不可導(dǎo)。

五、計(jì)算題答案

1.lim(x→∞)(3x^2+2x-1)/(x^2+4x-5)=3

2.f'(x)＝3x^2-12x+9，f'(2)＝3(2)^2-12(2)+9=3

3.y'＝2x/(x^2+1)，y'(1)＝2(1)/(1^2+1)=1

4.lim(x→0)(sinx-x)/x^3=-1/6

5.f(x)＝x^2-4x+3在[1,3]上的最大值和最小值分別為f(1)＝0和f(3)＝0。

六、案例分析題答案

1.（1）R(x)＝200x-0.5x^2-(1000x+5000)＝-0.5x^2-800x-5000

（2）L(x)＝R(x)-C(x)＝-0.5x^2-800x-5000-(1000x+5000)＝-0.5x^2-1800x-10000

（3）對(duì)L(x)求導(dǎo)得L'(x)＝-x-1800，令L'(x)＝0，得x＝-1800，最優(yōu)生產(chǎn)數(shù)量為1800。

2.（1）R(t)＝(1+0.1t)(1000-50t+0.1t^2)

（2）對(duì)R(t)求導(dǎo)得R'(t)＝0.1(1000-50t+0.1t^2)+(1+0.1t)(-50+0.2t)，令R'(t)＝0，得t＝5，最優(yōu)收費(fèi)時(shí)間為5小時(shí)。

（3）隨著收費(fèi)時(shí)間的增加，交通流量減少，總收入增加；但隨著收費(fèi)時(shí)間的繼續(xù)增加，總收入的增加速度會(huì)逐漸減慢，甚至可能開(kāi)始減少。

七、應(yīng)用題答案

1.（1）L(Q)＝(10Q-0.2Q^2)-(2Q+0.1Q^2)＝8Q-0.3Q^2

（2）對(duì)L(Q)求導(dǎo)得L'(Q)＝8-0.6Q，令L'(Q)＝0，得Q＝13.33，最優(yōu)產(chǎn)量為13.33。

2.（1）N=1000-10F，N最大時(shí)F最小，F(xiàn)最小為0時(shí)N最大，所以最優(yōu)票價(jià)為0元。

（2）R(t)＝(1+0.1t)(1000-50t+0.1t^2)，對(duì)R(t)求導(dǎo)得R'(t)＝0.1(1000-50t+0.1t^2)+(1+0.1t)(-50+0.2t)，令R'(t)＝0，得t＝5，最優(yōu)收費(fèi)時(shí)間為5小時(shí)。

3.（1）M(p)＝C'(