福建省南平市實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

福建省南平市實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A．

B．C．

D．

參考答案：D2.關(guān)于函數(shù)y=sin2x的判斷，正確的是（）A．最小正周期為2π，值域為[﹣1，1]，在區(qū)間[﹣，]上是單調(diào)減函數(shù)B．最小正周期為π，值域為[﹣1，1]，在區(qū)間[0，]上是單調(diào)減函數(shù)C．最小正周期為π，值域為[0，1]，在區(qū)間[0，]上是單調(diào)增函數(shù)D．最小正周期為2π，值域為[0，1]，在區(qū)間[﹣，]上是單調(diào)增函數(shù)參考答案：C【考點】H7：余弦函數(shù)的圖象；GT：二倍角的余弦．【分析】先化簡函數(shù)，再利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【解答】解：y=sin2x=（1﹣os2x）=﹣cos2x+∴函數(shù)的最小正周期為π，值域為[0，1]，在區(qū)間[0，]上是單調(diào)增函數(shù)，故選C．【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡，考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．3.已知變量滿足約束條件，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．參考答案：A

考點：線性規(guī)劃【方法點睛】線性規(guī)劃問題常見的目標函數(shù)為截距型，但在學(xué)習中不能忽略一些特殊的目標函數(shù)，如距離型：，斜率型如：等.4.若﹣＜β＜0＜α＜，cos（+α）=，cos（﹣）=，則cos（α+）=(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點】兩角和與差的余弦函數(shù)．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】觀察已知角與所求角之間的關(guān)系得到α+=（+α）﹣（﹣），只要再求出另一個三角函數(shù)值，利用兩角差的余弦公式解答．【解答】解：∵若﹣＜β＜0＜α＜，cos（+α）=，cos（﹣）=，∴sin（+α）=，sin（﹣）=，∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=）=；故選C．【點評】本題考查了三角函數(shù)求值中角的等價變換以及兩角和與差的三角函數(shù)公式的運用，本題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)α+=（+α）﹣（﹣）．5.若，則下列結(jié)論不正確的個數(shù)是（

）

①a2<b2

②ab<b2

③

④

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個參考答案：A6.在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F(xiàn)為BC邊的三等分點，則?=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】運用向量的平方即為模的平方，可得=0，再由向量的三角形法則，以及向量共線的知識，化簡即可得到所求．【解答】解：若|+|=|﹣|，則=，即有=0，E，F(xiàn)為BC邊的三等分點，則=（+）?（+）=（）?（）=（+）?（+）=++=×（1+4）+0=．故選B．7.若是純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為（A）

（B）0

（C）1

（D）參考答案：答案：C8.在中，角的對邊分別為，若則（）A.

B.

C.

D.參考答案：A9.已知，則等于A．

B．

C．

D．參考答案：答案:B10.f（x）=3x+3x﹣8，則函數(shù)f（x）的零點落在區(qū)間（）參考數(shù)據(jù)：31.25≈3.9，31.5≈5.2．A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能確定參考答案：B【考點】二分法求方程的近似解．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】分別求出f（1）、f（1.25）、f（1.5）、f（2），由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，能求出零點落在哪個區(qū)間．【解答】解：：因為f（1）=3+2﹣8=1＞0，f（1.25）=31.25+3×1.25﹣8≈3.9+3.75﹣8=﹣0.35＜0，f（1.5）=31.5+3×1.5﹣8≈5.2+4.5﹣8=1.7＞0，f（2）=32+3×2﹣8=7＞0，所以根據(jù)根的存在性定理可知函數(shù)的零點落在區(qū)間（1.25，1.5）．故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)零點區(qū)間的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要注意零點存在性定理的合理運用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若滿足約束條件則

.參考答案：012.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（x+5）=16，當x∈（-1，4]時，f（x）=x2-2x，則函數(shù)f（x）在[0，2013]上的零點個數(shù)是______．參考答案：604【知識點】根的存在性及根的個數(shù)判斷；函數(shù)的零點．B11解析：y=x2與y=2x的函數(shù)曲線在區(qū)間（0，4]有兩個交點，在區(qū)間（﹣1，0]區(qū)間有一個交點，但當x∈（﹣1，4]時，f（x）=x2﹣2x=16無根即當x∈（﹣1，4]時，f（x）=x2﹣2x有3個零點，由f（x）+f（x+5）=16，即當x∈（﹣6，﹣1]時，f（x）=x2﹣2x無零點又∵f（x+5）+f（x+10）=f（x）+f（x+5）=16，∴f（x+10）=f（x），即f（x）是周期為10的周期函數(shù)，在x∈[0，2013]，分為三段x∈[0，4]，x∈（4，2004]，x∈（2004，2013]在x∈[0，4]函數(shù)有兩個零點，在x∈（4，2004]有200個完整周期，即有600個零點，在x∈（2004，2013]共有兩個零點，綜上函數(shù)f（x）在[0，2013]上的零點個數(shù)是604故答案為：604【思路點撥】根據(jù)y=x2與y=2x的函數(shù)曲線在區(qū)間（0，4]有兩個交點，在區(qū)間（﹣1，0]區(qū)間有一個交點，f（x）=x2﹣2x=16無根，可得x∈（﹣1，4]時，f（x）=x2﹣2x有3個零點，且x∈（﹣6，﹣1]時，f（x）=x2﹣2x無零點，進而分析出函數(shù)的周期性，分段討論后，綜合討論結(jié)果可得答案．13.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，其輸出結(jié)果是

參考答案：14.已知函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)k＞0，使|f（x）|≤|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱f（x）為“海寶”函數(shù)．給出下列函數(shù)：①f（x）=x2；②f（x）=sinx+cosx；③f（x）=；④f（x）=3x+1其中f（x）是“海寶”函數(shù)的序號為

．參考答案：③【考點】函數(shù)恒成立問題．【專題】新定義．【分析】結(jié)合題中的新定義，取x=0時，可排除②④，對①中整理可得：2015|x|≤k，不存在常數(shù)k，③中整理可得：≤k，只需求出的最大值即可．【解答】解：當x=0時，②中f（0）=1，④中f（0）=2顯然不成立，故不是“海寶”函數(shù)；①中整理可得：2015|x|≤k，不存在常數(shù)k，使對一切實數(shù)x均成立，故不是“海寶”函數(shù)；③中整理可得：≤k，對一切實數(shù)x均成立，∵x2+x+1≥，∴≤，∴k≥，故③正確．故答案為③【點評】考查新定義，需對新定義理解透徹，利用新定義逐一判斷．15.在（2x2﹣）5的二項展開式中，x的系數(shù)為

．參考答案：﹣【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，即可求出x的系數(shù)是什么．【解答】解：∵二項式（2x﹣）5展開式的通項公式是Tr+1=?（2x2）5﹣r?=（﹣1）r??25﹣r??x10﹣3r，令10﹣3r=1，解得r=3；∴T3+1=（﹣1）3??22??x；∴x的系數(shù)是﹣?22?=﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查了二項式展開式的通項公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)性題目．16.在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴展”.將數(shù)列1，2進行“擴展”，第一次得到1，2，2；第二次得到數(shù)列1，2，2，4，2；…；第n次“擴展”后得到的數(shù)列為.并記，其中，，則數(shù)列{an}的通項公式an=________．參考答案：【分析】先由，結(jié)合題意得到，再設(shè)求出，得到數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，進而可求出結(jié)果.【詳解】由題意，根據(jù)，可得，設(shè)，即，可得，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，所以.故答案為【點睛】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，熟記等比數(shù)列的性質(zhì)以及通項公式即可，屬于?？碱}型.17.在△ABC中，已知,，BC邊上的中線，則________．參考答案：【分析】根據(jù)圖形，由中線長定理可得：，再利用余弦定理可得：解得的值，再次利用余弦定理求解出，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系解得．【詳解】解：如圖所示，由中線長定理可得：，由余弦定理得到：，即．聯(lián)立成方程組，解得：，故由可得，．故答案為：【點睛】本題考查了余弦定理的知識，方程思想是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四面體ABOC中，

OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=20°，且OA=OB=OC=1．

（1）設(shè)P為AC的中點．證明：在AB上存在一點Q，使

PQ⊥OA，并計算的值．

（2）求銳二面角O一AC—B的平面角的余弦值．

參考答案：略19.（本小題滿分13分） 已知函數(shù)f（x）=21nx－x2－ax． （1）當a≥3時，討論函數(shù)f（x）在上的單調(diào)性； （2）如果x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個零點，且x1是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，用x1，x2表示a并證明：參考答案：【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12（1）上函數(shù)單調(diào)遞減.；（2）.由已知可得：，令得（負根舍去），故在上恒成立，所以在上函數(shù)單調(diào)遞減.（2）是函數(shù)的兩個零點，兩式子相減可得：∴

令∴∴上單調(diào)遞減，

∴

又【思路點撥】(1)求單調(diào)區(qū)間，先求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0即可．(2)由題意可得，代入可得l令，求導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性和求值范圍，進而可得答案．20.已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A1，A2，且|A1A2|=4，P為橢圓上異于A1，A2的點，PA1和PA2的斜率之積為．以M（﹣3，2）為圓心，r為半徑的圓與橢圓C交于A，B兩點．（1）求橢圓C的方程；（2）若A，B兩點關(guān)于原點對稱，求圓M的方程；（3）若點A的坐標為（0，2），求△ABM的面積．參考答案：考點：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）由題意求出a=2，設(shè)P（x0，y0），A1（﹣2，0），A2（2，0），由PA1和PA2的斜率之積為﹣，得到，再由P（x0，y0）在橢圓上，可得b2=4，則橢圓C的方程可求；（2）由A，B兩點關(guān)于原點對稱，可知O是AB的中點，結(jié)合垂徑定理可知MO⊥AB，進一步得到直線MO的斜率，得到直線AB的斜率，則直線AB的方程可求，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出A的坐標由勾股定理得圓的半徑，則圓M的方程可求；（3）由題意知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+2，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，求得B的坐標，進一步得線段AB的中點E的坐標，求得直線ME的斜率，結(jié)合題意列式求得AB的斜率，得到直線AB的方程為y=x+2，求出|AB|，由點到直線的距離公式求得點M到直線AB的距離，代入△ABM的面積公式得答案．解：（1）由題意可知2a=4，即a=2，設(shè)P（x0，y0），A1（﹣2，0），A2（2，0），由題意可得，即12﹣，∴，又P（x0，y0）在橢圓上，故b2=4，即橢圓C的方程為；（2）∵A，B兩點關(guān)于原點對稱，∴O是AB的中點，由垂徑定理可知MO⊥AB，又M（﹣3，2），∴直線MO的斜率為﹣，故直線AB的斜率為，則直線AB的方程為y=x，聯(lián)立，解得，由勾股定理得r2=MA2=MO2+OA2=9+4+，∴圓M的方程為（x+3）2+（y﹣2）2=；（3）由題意知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+2，聯(lián)立，得（1+3k2）x2+12kx=0，則B（），線段AB的中點為E（），直線ME的斜率為，∵AB⊥ME，∴?k=﹣1，∴2k3﹣3k2+2k﹣1=0，即（k﹣1）（2k2﹣k+1）=0，解得k=1，∴直線AB的方程為y=x+2，又B（﹣3，﹣1），得|AB|=3，而點M到直線AB的距離為，故△ABM的面積為．點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，是直線與圓、圓錐曲線的綜合題，訓(xùn)練了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，屬有一定難度題目．21.（本題滿分12分）已知公差不為0的等差數(shù)列的前3項和＝9，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式和前n項和；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項和，若對一切恒成立，求實數(shù)的最小值.參考答案：（1）設(shè)，由＝9得：①；……2分成等比數(shù)列得：②；聯(lián)立①②得；……4分故………………6分（2）∵…………8分∴………………10分由得：令，可知f(