2024-2025學年廣東省廣州市海珠區(qū)中山大學附中八年級（上）期末數學試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學年廣東省廣州市海珠區(qū)中山大學附中八年級（上）期末數學試卷一、選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）．1．（3分）下列式子中是分式的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列運算正確的是（）A．2y3+y3＝3y6 B．y2?y3＝y6 C．（3y2）3＝9y6 D．y3÷y﹣2＝y53．（3分）若等腰三角形的底角是頂角的2倍，則這個等腰三角形的底角的度數是（）A．36° B．72° C．36°或72° D．無法確定的4．（3分）若分式的值為0，則x的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±15．（3分）下列因式分解中，正確的是（）A．x2﹣4y2＝（x﹣4y）（x+4y） B．ax+ay+a＝a（x+y） C．a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b） D．4x2+9＝（2x+3）26．（3分）已知：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且EF⊥BC于點F．若∠C＝35°，∠DEF＝15°（）A．60° B．65° C．75° D．85°7．（3分）如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，交BC于點D，連接AD．若△ADC的周長為14，則AC的長為（）A．6 B．5 C．7 D．88．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點B的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（1，4）（）A．（5，2） B．（4，2） C．（﹣5，2） D．（﹣4，2）9．（3分）已知，如圖，△ABC是等邊三角形，BQ⊥AD于Q，BE交AD于點P，②AQ＝BQ，③BP＝2PQ，其正確的結論有（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④10．（3分）若關于x的方程的解為負數，且關于x的不等式組，則所有滿足條件的整數a的值之和是（）A．9 B．7 C．5 D．10二、填空題（每小題3分，共18分）11．（3分）計算：（π﹣3.14）0＝．12．（3分）已知點A關于x軸的對稱點B的坐標為（1，﹣2），則點A的坐標為．13．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，BC＝6．14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝6，BD＝2CD，則點D到線段AB的距離為．15．（3分）邊長分別為m和2m的兩個正方形如圖的樣式擺放，則圖中陰影部分的面積為．16．（3分）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，AC＝b，若a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，則CD的取值范圍是．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（6分）計算題：（1）計算：；（2）化簡：．18．（6分）分解因式及解方程：（1）分解因式：2a2﹣8；（2）解方程：﹣＝．19．（6分）如圖，△ABC中，A點坐標為（2，4）（﹣3，﹣2），C點坐標為（3，1）．（1）在圖中畫出△ABC關于y軸對稱的△A′B′C′（不寫畫法），并寫出點A′，B′（2）求△ABC的面積．20．（6分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．（1）求作點D，使得點D在邊AC上，且點D到邊AB和邊BC的距離相等（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）條件下，比較線段DA與BC的大小關系21．（6分）化簡式子，然后從﹣2≤x≤2的范圍內選取一個合適的整數作為x的值代入求值．22．（8分）已知：如圖，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，D、E分別是邊PA和PB上的點，且CD＝CE．求證：∠APB+∠DCE＝180°．23．（10分）陽光體育用品店有甲、乙兩種品牌的籃球，已知乙品牌籃球的單價比甲品牌籃球的單價多20元，用800元購買甲品牌籃球的數量是用500元購買乙品牌籃球數量的2倍．（1）求甲、乙兩種品牌籃球的單價；（2）該店在國慶節(jié)期間開展優(yōu)惠活動，甲品牌籃球按原單價的9折出售，乙品牌籃球按原單價的8.5折出售，總費用不超過4000元，那么最多可購買多少個乙品牌籃球？24．（12分）閱讀材料：對于非零實數a，b，若關于x的分式的值為零1＝a，x2＝b．又因為﹣（a+b），所以關于x的方程x+＝a+b的解為x1＝a，x2＝b．（1）理解應用：方程的解為：x1＝，x2＝；（2）知識遷移：若關于x的方程x+＝5的解為x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；（3）拓展提升：若關于x的方程＝k﹣x的解為x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+2t3的值．25．（12分）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，A（4，0），B（0，b），且b滿足|4﹣b|＝0．（1）求點B的坐標．（2）P（0，t）為y軸上一動點，連接AP，且PM＝PA．①如圖1，若點P在y軸正半軸上，點M在第一象限，過點B作PM的平行線交x軸于點R，求點R的坐標（用含t的式子表示）．②如圖2，連接OM，探究當OM取最小值時

2024-2025學年廣東省廣州市海珠區(qū)中山大學附中八年級（上）期末數學試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案CDBBCBACDA一、選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）．1．（3分）下列式子中是分式的是（）A． B． C． D．【解答】解：、、的分母中不含有字母，的分母中含有字母．故選：C．2．（3分）下列運算正確的是（）A．2y3+y3＝3y6 B．y2?y3＝y6 C．（3y2）3＝9y6 D．y3÷y﹣2＝y5【解答】解：2y3+y7＝3y3，A錯誤；y8?y3＝y5，B錯誤；（3y2）3＝27y7，C錯誤；y3÷y﹣2＝y6﹣（﹣2）＝y5，故選：D．3．（3分）若等腰三角形的底角是頂角的2倍，則這個等腰三角形的底角的度數是（）A．36° B．72° C．36°或72° D．無法確定的【解答】解：設頂角為x度，則底角為2x度，則：x+2x+4x＝180，解得：x＝36，∴2x＝72，故選：B．4．（3分）若分式的值為0，則x的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1【解答】解：∵分式的值為零，∴，解得x＝8．故選：B．5．（3分）下列因式分解中，正確的是（）A．x2﹣4y2＝（x﹣4y）（x+4y） B．ax+ay+a＝a（x+y） C．a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b） D．4x2+9＝（2x+3）2【解答】解：A、x2﹣4y7＝（x﹣2y）（x+2y），選項錯誤；B、ax+ay+a＝a（x+y+3），不符合題意；C、a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b），符合題意；D、4x2+8無法分解因式，選項錯誤；故選：C．6．（3分）已知：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且EF⊥BC于點F．若∠C＝35°，∠DEF＝15°（）A．60° B．65° C．75° D．85°【解答】解：∵EF⊥BC，∠DEF＝15°，∴∠ADB＝90°﹣15°＝75°．∵∠C＝35°，∴∠CAD＝75°﹣35°＝40°．∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAC＝2∠CAD＝80°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣35°＝65°．故選：B．7．（3分）如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，交BC于點D，連接AD．若△ADC的周長為14，則AC的長為（）A．6 B．5 C．7 D．8【解答】解：由作圖過程可知，直線MN為線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD．∵△ADC的周長為14，∴AD+CD+AC＝BD+CD+AC＝BC+AC＝8+AC＝14，∴AC＝6．故選：A．8．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點B的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（1，4）（）A．（5，2） B．（4，2） C．（﹣5，2） D．（﹣4，2）【解答】解：如圖，過A作AD⊥x軸于D，則∠ADB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠BCE，又∵AB＝BC，∴△ABD≌△BCE（AAS），∴AD＝BE，BD＝CE，又∵點B的坐標為（﹣1，0），8），∴BE＝2＝AD，BD＝CE＝4，∴DO＝5+1＝5，∴點A的坐標為（﹣7，2），故選：C．9．（3分）已知，如圖，△ABC是等邊三角形，BQ⊥AD于Q，BE交AD于點P，②AQ＝BQ，③BP＝2PQ，其正確的結論有（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAE＝∠C＝60°．在△BAE和△ACD中，，∴△BAE≌△ACD（SAS）．∴∠ABE＝∠CAD，∵∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠APE＝∠BAD+∠ABE＝60°，∴∠APE＝∠C，故①的結論是正確，符合題意；∵BQ⊥AD于Q，∴∠BQP＝90°．∵∠BPQ＝∠APE＝60°，∴∠PBQ＝90°﹣∠BAQ＝90°﹣60°＝30°．∴BP＝2PQ，故③的結論是正確，符合題意；∵AE＝CD，∴AE+BD＝CD+BD＝BC＝AB，故④的結論是正確，符合題意；若AQ＝BQ，BQ⊥AD，∠ABQ＝45°，故②的結論是錯誤，不符合題意；∴正確的結論有①③④，故選：D．10．（3分）若關于x的方程的解為負數，且關于x的不等式組，則所有滿足條件的整數a的值之和是（）A．9 B．7 C．5 D．10【解答】解：，a（x+1）+（x+1）（x﹣7）＝（x+a）（x﹣1），ax+a+x2﹣8＝x2﹣x+ax﹣a，x2﹣x4+ax﹣ax+x＝1﹣a﹣a，x＝1﹣5a，∵關于x的方程的解為負數，∴1﹣2a＜2且1﹣2a≠±2，解得：且a≠3；，由①得：x＜a，由②得：x≥4，∵關于x的不等式組無解，∴a≤4，∴a的取值范圍為：且a≠1，∴所有滿足條件的整數a的值為：6或3或4，∴所有滿足條件的整數a的值之和是：3+3+4＝7，故選：A．二、填空題（每小題3分，共18分）11．（3分）計算：（π﹣3.14）0＝1．【解答】解：（π﹣3.14）0＝6，故答案為1．12．（3分）已知點A關于x軸的對稱點B的坐標為（1，﹣2），則點A的坐標為（1，2）．【解答】解：∵點A關于x軸的對稱點B的坐標為（1，﹣2），∴點A的坐標為：（6，2）．故答案為：（1，7）．13．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，BC＝69．【解答】解：∵D是BC的中點，BC＝6，∴CD＝DB＝BC＝3．∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AD＝2CD＝4，∴AD+DB＝6+3＝8．故答案為：9．14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝6，BD＝2CD，則點D到線段AB的距離為2．【解答】解：過點D作DE⊥AB于E，∵BC＝6，BD＝2CD，∴CD＝2，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝CD＝2，即點D到線段AB的距離為2，故答案為：6．15．（3分）邊長分別為m和2m的兩個正方形如圖的樣式擺放，則圖中陰影部分的面積為2m2．【解答】解：m2+（2m）8﹣（m+4m）×2m＝2m3．故答案為：2m2．16．（3分）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，AC＝b，若a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，則CD的取值范圍是2＜CD＜7．【解答】解：已知等式整理得：（a2﹣10a+25）+（b2﹣18b+81）＝2，即（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∵（a﹣6）2≥0，（b﹣6）2≥0，∴a﹣3＝0，b﹣9＝8，解得：a＝5，b＝9，∴BC＝7，AC＝9，延長CD到E，使DE＝CD，∵CD為AB邊上的中線，∴BD＝AD，在△BCD和△AED中，，∴△BCD≌△AED（SAS），∴AE＝BC＝a，在△ACE中，AC﹣AE＜CE＜AC+AE，∴AC﹣BC＜2CD＜AC+AE，即b﹣a＜6CD＜a+b，∴＜CD＜，則8＜CD＜7．故答案為：2＜CD＜6．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（6分）計算題：（1）計算：；（2）化簡：．【解答】解：（1）＝﹣8+8﹣9＝﹣16；（2）＝＝＝＝＝＝．18．（6分）分解因式及解方程：（1）分解因式：2a2﹣8；（2）解方程：﹣＝．【解答】解：（1）2a2﹣2＝2（a2﹣8）＝2（a+2）（a﹣7）；（2）方程兩邊同乘以（x+3）（x﹣3）得：x﹣2+2（x+3）＝12，x﹣8+2x+6＝12，3x＝9，x＝3，經檢驗x＝3是原方程的增根，原分式方程無解．19．（6分）如圖，△ABC中，A點坐標為（2，4）（﹣3，﹣2），C點坐標為（3，1）．（1）在圖中畫出△ABC關于y軸對稱的△A′B′C′（不寫畫法），并寫出點A′，B′（2）求△ABC的面積．【解答】解：（1）如圖，A′（﹣2，B′（3，C′（﹣8；（2）S△ABC＝6×6﹣×5×6﹣×1×2，＝36﹣15﹣9﹣1，＝10．20．（6分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．（1）求作點D，使得點D在邊AC上，且點D到邊AB和邊BC的距離相等（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）條件下，比較線段DA與BC的大小關系【解答】解：（1）如圖，作∠ABC的平分線，則點D即為所求．（2）理由：DA＝BC．∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°．∵射線BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∴∠ABD＝∠A，∠CDB＝72°，∴∠CDB＝∠C，∴DA＝BD＝BC．21．（6分）化簡式子，然后從﹣2≤x≤2的范圍內選取一個合適的整數作為x的值代入求值．【解答】解：＝＝＝＝，∵﹣2≤x≤2，∴當x＝6時，原式＝．22．（8分）已知：如圖，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，D、E分別是邊PA和PB上的點，且CD＝CE．求證：∠APB+∠DCE＝180°．【解答】證明：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，∴CM＝CN，在Rt△DCM與Rt△ECN中，，∴Rt△DCM≌Rt△ECN（HL），∴∠DCM＝∠ECN，∴∠MCN＝∠MCD+∠DCN＝∠ECN+∠DCN＝∠DCE，∵∠PMC+∠PNC+∠APB+∠MCN＝90°+90°+∠APB+∠MCN＝360°，∴∠APB+∠MCN＝180°，∴∠APB+∠DCE＝180°．23．（10分）陽光體育用品店有甲、乙兩種品牌的籃球，已知乙品牌籃球的單價比甲品牌籃球的單價多20元，用800元購買甲品牌籃球的數量是用500元購買乙品牌籃球數量的2倍．（1）求甲、乙兩種品牌籃球的單價；（2）該店在國慶節(jié)期間開展優(yōu)惠活動，甲品牌籃球按原單價的9折出售，乙品牌籃球按原單價的8.5折出售，總費用不超過4000元，那么最多可購買多少個乙品牌籃球？【解答】解：（1）設甲種品牌籃球的單價是x元，乙種品牌的單價是（x+20）元，根據題意得：＝2×，解得：x＝80，經檢驗，x＝80是原方程的解且符合實際意義，x+20＝100，答：甲種品牌籃球的單價為80元，乙種品牌籃球的單價為100元，（2）設本次購買m個乙種品牌籃球，則購買（50﹣m）個甲種品牌籃球，根據題意得：0.2×80（50﹣m）+0.85×100m≤4000，解得：m，因為m為正整數，所以m的最大值為30，答：最多可購買30個乙種品牌的籃球．24．（12分）閱讀材料：對于非零實數a，b，若關于x的分式的值為零1＝a，x2＝b．又因為﹣（a+b），所以關于x的方程x+＝a+b的解為x1＝a，x2＝b．（1）理解應用：方程的解為：x1＝3，x2＝；（2）知識遷移：若關于x的方程x+＝5的解為x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；（3）拓展提升：若關于x的方程＝k﹣x的解為x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+2t3的值．【解答】解：（1）∵x+＝a+b的解為x1＝a，x2＝b，∴的解為x＝5或x＝，故答案為：7，；（2）∵x+＝5，∴a+b＝5，ab＝5，∴a2+b2＝（a+b）6﹣2ab＝25﹣6＝19；（3）＝k﹣x可化為x﹣1+，∵方程＝k﹣x的解為x1＝t+1，x2＝t2+2，則有x﹣4＝t或x﹣1＝t2+3，∴t（t2+1）＝2，t+t2+1＝k﹣3，∴k＝t+t2+2，t8+t＝4，k2﹣6k+2t3＝k（k﹣4）+2t3＝（