藝體生高考數(shù)學(xué)沖刺-第31講-圓的方程學(xué)生

第31講圓的方程[玩前必備]1．圓的定義在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓．確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑．2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)以(a，b)為圓心，r(r>0)為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2．(2)特殊的，以(0，0)為圓心，r(r>0)為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝r2．3.圓的一般方程方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可變形為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(D2＋E2－4F,4).(1)當(dāng)D2＋E2－4F>0時，方程表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓；(2)當(dāng)D2＋E2－4F＝0時，該方程表示一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；(3)當(dāng)D2＋E2－4F＜0時，該方程不表示任何圖形．4.直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)，圓為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相離d>rΔ<05.圓與圓的位置關(guān)系及判斷方法(1)圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含．(2)判斷兩圓位置關(guān)系的方法設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)．圓心距O1O2＝d，則方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況兩圓公切線的條數(shù)相離d>r1＋r2無解4外切d＝r1＋r2一組實數(shù)解3相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實數(shù)解2內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實數(shù)解1內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無解06．求圓的弦長的常用方法(1)幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則(eq\f(l,2))2＝r2－d2.(2)代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式：設(shè)直線與圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]).注意：常用幾何法研究圓的弦的有關(guān)問題．[玩轉(zhuǎn)典例]題型一求圓的方程例1若圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，且與y軸相切，則圓C的方程為()A．(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±eq\r(3))2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±eq\r(3))2＝4[玩轉(zhuǎn)跟蹤]1．(1)圓心在y軸上且經(jīng)過點(3，1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是()A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0(2)已知圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程為______________．題型二判斷直線與圓的位置關(guān)系例2直線y＝ax＋1與圓x2＋y2－2x－3＝0的位置關(guān)系是()A．相切B．相交C．相離D．隨a的變化而變化[玩轉(zhuǎn)跟蹤]1．已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓D的位置關(guān)系是()A．相切B．相交C．相離D．不確定題型三直線與圓相交弦長問題例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為________．[玩轉(zhuǎn)跟蹤]1．已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是()A．－2B．－4C．－6D．－8題型四直線與圓相切問題例4過點P(2,4)引圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為__________；[玩轉(zhuǎn)跟蹤]1.過坐標(biāo)原點且與圓x2－4x＋y2＋2＝0相切的直線方程為______________．題型五圓與圓的位置關(guān)系問題例5圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為 ()．A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離[玩轉(zhuǎn)跟蹤]1.過兩圓x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交點的直線方程是()A．x＋y＋2＝0B．x＋y－2＝0C．5x＋3y－2＝0D．不存在[玩轉(zhuǎn)練習(xí)]1.(2015·安徽，8)直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是()A.－2或12B.2或－12C.－2或－12D.2或122.(2014·福建，6)已知直線l過圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程是()A.x＋y－2＝0B.x－y＋2＝0C.x＋y－3＝0D.x－y＋3＝03.(2016·新課標(biāo)全國Ⅱ，6)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝()A.－eq\f(4,3)B.－eq\f(3,4)C.eq\r(3)D.24.(2016·北京，5)圓(x＋1)2＋y2＝2的圓心到直線y＝x＋3的距離為()A.1B.2C.eq\r(2)D.2eq\r(2)5.(2015·北京，2)圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝26.(2014·湖南，6)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝()A.21B.19 C.9 D.－117.(2014·浙江，5)已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－88.(2014·安徽，6)過點P(－eq\r(3)，－1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))9.(2016·新課標(biāo)全國Ⅲ，15)已知直線l：x－eq\r(3)y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A、B兩點，過A、B分別作l的垂線與x軸交于C、D兩點，則|CD|＝________.10.(2016·浙江，10)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是________.半徑是________.11..(2016·新