2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)統(tǒng)考第1章集合與常用邏輯用語第2講命題及其關(guān)系充分條件與必要條件學(xué)案含解析北師大版

PAGEPAGE1第2講命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件基礎(chǔ)學(xué)問整合1．命題的概念用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以eq\o(□,\s\up1(01))推斷真假的陳述句叫做命題．其中推斷為真的語句叫做eq\o(□,\s\up1(02))真命題，推斷為假的語句叫做eq\o(□,\s\up1(03))假命題.2．四種命題及其關(guān)系3．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的eq\o(□,\s\up1(08))充分條件，q是p的eq\o(□,\s\up1(09))必要條件p是q的eq\o(□,\s\up1(10))充分不必要條件p?q且qeq\o(?,/)pp是q的eq\o(□,\s\up1(11))必要不充分條件peq\o(?,/)q且q?pp是q的eq\o(□,\s\up1(12))充要條件p?qp是q的eq\o(□,\s\up1(13))既不充分也不必要條件peq\o(?,/)q且qeq\o(?,/)p1．兩個(gè)命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性．2．兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．3．(1)若p是q的充分不必要條件，q是r的充分不必要條件，則p是r的充分不必要條件．(2)若p是q的充分不必要條件，則?q是?p的充分不必要條件．4．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則(1)若A?B，則p是q的充分條件；(2)若A?B，則p是q的必要條件；(3)若A＝B，則p是q的充要條件；(4)若AB，則p是q的充分不必要條件；(5)若AB，則p是q的必要不充分條件；(6)若A?B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．1．(2024·江西南昌模擬)若集合A＝{2,4}，B＝{1，m2}，則“A∩B＝{4}”是“m＝2”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)m＝2時(shí)，有A∩B＝{4}；若A∩B＝{4}，則m2＝4，解得m＝±2，不能推出m＝2.故選B．2．(2024·天津高考)設(shè)x∈R，則“0<x<5”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析由|x－1|<1可得0<x<2，所以“|x－1|<1的解集”是“0<x<5的解集”的真子集．故“0<x<5”是“|x－1|<1”的必要而不充分條件．故選B．3．原命題p：“設(shè)a，b，c∈R，若a>b，則ac2>bc2”A．0 B．1C．2 D．4答案C解析當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，所以原命題是錯(cuò)誤的；由于原命題與逆否命題的真假一樣，所以逆否命題也是錯(cuò)誤的；逆命題為“設(shè)a，b，c∈R，若ac2>bc2，則a>b”，它是真命題；由于否命題與逆命題的真假一樣，所以逆命題與否命題都為真命題．綜上所述，真命題有2個(gè)．4．(2024·湖南衡陽模擬)a<0，b<0的一個(gè)必要條件為()A．a(chǎn)＋b<0 B．a(chǎn)－b>0C．eq\f(a,b)>1 D．eq\f(a,b)<－1答案A解析若a<0，b<0，則肯定有a＋b<0，故選A．5．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，則x，y全為0”的否命題是________.答案若x，y∈R，x2＋y2≠0，則x，y不全為0解析依據(jù)命題“若p，則q”的否命題為“若?p，則?q”，其原命題的否命題是“若x，y∈R，x2＋y2≠0，則x，y不全為0”．6．已知p：x2－7x＋10<0，q：x2－4mx＋3m2<0，其中m>0.若?q是?p的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)答案eq\f(5,3)≤m≤2解析由?q是?p的充分不必要條件知p是q的充分不必要條件，又p：2<x<5，q：m<x<3m所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤2，,3m≥5，,m>0，))即eq\f(5,3)≤m≤2.核心考向突破考向一四種命題及其相互關(guān)系例1寫出下列命題的逆命題、否命題及逆否命題，并分別推斷四種命題的真假：(1)末位數(shù)字是0的多位數(shù)肯定是5的倍數(shù)；(2)在△ABC中，若AB>AC，則∠C>∠B；(3)若x2－2x－3>0，則x<－1或x>3.解(1)原命題：若一個(gè)多位數(shù)的末位數(shù)字是0，則它是5的倍數(shù)．逆命題：若一個(gè)多位數(shù)是5的倍數(shù)，則它的末位數(shù)字是0.否命題：若一個(gè)多位數(shù)的末位數(shù)字不是0，則它不是5的倍數(shù)．逆否命題：若一個(gè)多位數(shù)不是5的倍數(shù)，則它的末位數(shù)字不是0.這里，原命題與逆否命題為真命題，逆命題與否命題是假命題．(2)逆命題：在△ABC中，若∠C>∠B，則AB>AC．否命題：在△ABC中，若AB≤AC，則∠C≤∠B．逆否命題：在△ABC中，若∠C≤∠B，則AB≤AC．這里，四種命題都是真命題．(3)逆命題：若x<－1或x>3，則x2－2x－3>0.否命題：若x2－2x－3≤0，則－1≤x≤3.逆否命題：若－1≤x≤3，則x2－2x－3≤0.這里，四種命題都是真命題．INCLUDEPICF"(1)寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)，不是“若p則q”形式的命題，需先改寫．若命題有大前提，需保留大前提，本例(2)中，大前提“在△ABC中”需保留．INCLUDEPICTF"(2)推斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；推斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例即可．INCLUDEPICTF"(3)依據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題干脆推斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為推斷其等價(jià)命題的真假．[即時(shí)訓(xùn)練]1.給出下列四個(gè)命題：①“若b＝3，則b2＝9”的逆命題；②“全等三角形的面積相等”的否命題；③“若c≤1，則x2＋2x＋c＝0有實(shí)根”的逆命題；④“若A∪B＝A，則A?B”的逆否命題．其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4答案A解析①逆命題是“若b2＝9，則b＝3”，是假命題；②否命題是“不全等的三角形的面積不相等”，是假命題；③逆命題是“若x2＋2x＋c＝0有實(shí)根，則c≤1”，∵方程x2＋2x＋c＝0有實(shí)根，∴Δ＝4－4c≥0，∴c≤1，∴③是真命題；④∵若A∪B＝A，則B?A，∴“若A∪B＝A，則A?B”是假命題，∴精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破考向二充分、必要條件的推斷角度1定義法推斷充分、必要條件例2(2024·浙江高考)若a>0，b>0，則“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析∵a>0，b>0，若a＋b≤4，∴2eq\r(ab)≤a＋b≤4.∴ab≤4，此時(shí)充分性成立．當(dāng)a>0，b>0，ab≤4時(shí)，令a＝4，b＝1，則a＋b＝5>4，這與a＋b≤4沖突，因此必要性不成立．綜上所述，當(dāng)a>0，b>0時(shí)，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件．故選A．角度2集合法推斷充分、必要條件例3(2024·天津高考)設(shè)x∈R，則“|x－eq\f(1,2)|<eq\f(1,2)”是“x3<1”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析|x－eq\f(1,2)|<eq\f(1,2)?0<x<1，x3<1?x<1，∵{x|0<x<1}{x|x<1}，∴|x－eq\f(1,2)|<eq\f(1,2)是x3<1的充分不必要條件．角度3等價(jià)轉(zhuǎn)化法推斷充分、必要條件例4給定兩個(gè)命題p，q.若?p是q的必要不充分條件，則p是?q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析因?yàn)?p是q的必要不充分條件，則q??p但?peq\o(?,/)q，其逆否命題為p??q但?qeq\o(?,/)p，所以p是?q的充分不必要條件．充要條件的三種推斷方法INCLUDEPICF"(1)定義法：依據(jù)p?q，q?p進(jìn)行推斷．INCLUDEPICTF"(2)集合法：依據(jù)p，q成立時(shí)對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行推斷．INCLUDEPICTF"(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：依據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把要推斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行推斷，這個(gè)方法特殊適合以否定形式給出的問題，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何種條件，即可轉(zhuǎn)化為推斷“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何種條件．[即時(shí)訓(xùn)練]2.設(shè)條件p：a2＋a≠0，條件q：a≠0，那么p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析條件p：a2＋a≠0，即a≠0且a≠－1.故條件p：a2＋a≠0是條件q：a≠0的充分不必要條件．也可利用逆否命題的等價(jià)性解決．3．設(shè)U為全集，A，B是集合，則“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案C解析由Venn圖易知充分性成立．反之，A∩B＝?時(shí)，不妨取C＝?UB，此時(shí)A?C，故必要性成立．故選C．4．假如x，y是實(shí)數(shù)，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件答案C解析因?yàn)閤＝y(tǒng)?cosx＝cosy，而cosx＝cosyeq\o(\s\up7(?),\s\do5(/))x＝y(tǒng)，所以“cosx＝cosy”是“x＝y(tǒng)”的必要不充分條件，即“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分條件．考向三充分、必要條件的探求與應(yīng)用例5(1)(2024·惠州二調(diào))“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是()A．m>eq\f(1,4) B．0<m<1C．m>0 D．m>1答案C解析不等式x2－x＋m>0在R上恒成立?1－4m<0，得m>eq\f(1,4)，在選項(xiàng)中只有“m>0”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的必要不充分條件，故選C．(2)已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．(－∞，－7)∪(1，＋∞) B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)C．(－7,1) D．[－7,1]答案B解析由(x－m)2>3(x－m)得x<m或x>3＋m，所以p：x<m或x>3＋m；解x2＋3x－4<0得－4<x<1，所以q：－4<x<1.因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以m≥1或m＋3≤－4，得m≥1或m≤－7.故選B．INCLUDEPICF"1．條件、結(jié)論的相對(duì)性充分條件、必要條件是相對(duì)的概念，在進(jìn)行推斷時(shí)肯定要留意哪個(gè)是“條件”，哪個(gè)是“結(jié)論”．要留意條件與結(jié)論間的推出方向．如“A是B的充分不必要條件”是指A?B但Beq\o(?,/)A；“A的充分不必要條件是B”是指B?A但Aeq\o(?,/)B．以上兩種說法在充要條件的推理推斷中常常出現(xiàn)且簡(jiǎn)單混淆．INCLUDEPICTF"2．依據(jù)充分、必要條件求解參數(shù)范圍的方法(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后依據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解．INCLUDEPICTF"(2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，肯定要留意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)確定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)簡(jiǎn)單出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．[即時(shí)訓(xùn)練]5.(2024·廣東江門模擬)若a，b都是正整數(shù)，則a＋b>ab成立的充要條件是()A．a(chǎn)＝b＝1 B．a(chǎn)，b至少有一個(gè)為1C．a(chǎn)＝b＝2 D．a(chǎn)>1且b>1答案B解析因?yàn)閍＋b>ab，所以(a－1)(b－1)<1.因?yàn)閍，b∈N*，所以(a－1)(b－1)∈N，所以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.故選B．6．已知命題p：x2＋2x－3>0；命題q：x>a，且?q的一個(gè)充分不必要條件是?p，則a的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－1，＋∞] D．(－∞，－3]答案A解析由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由?q的一個(gè)充分不必要條件是?p，可知?p是?q的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件，故a≥1.故選A．(2024·?？谀M)設(shè)p：2x2－3x＋1≤0；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)aA.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))D．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案A解析由2x2－3x＋1≤0，得eq\f(1,2)≤x≤1，由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a由綈p是綈q的必要不充分條件，知p是q的充分不必要條件，即eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))eq\f(1,2)≤x≤1{x|a≤x≤a＋1}，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1≥1，))∴0≤a≤eq\f(1,2).經(jīng)檢驗(yàn)a＝0，eq\f(1,2)時(shí)符合題意，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答題啟示(1)當(dāng)題目的條件或所求問題中含有綈p，綈q時(shí)，可利用命題與其逆否命題的