2024高考數(shù)學一輪復習統(tǒng)考第11章概率第1講隨機事件的概率學案含解析北師大版

PAGE10-第十一章概率第1講隨機事務的概率基礎學問整合1．概率(1)在相同條件下，大量重復進行同一試驗時，隨機事務A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)旁邊搖擺，即隨機事務A發(fā)生的頻率具有eq\o(□,\s\up1(01))穩(wěn)定性．我們把這個常數(shù)叫做隨機事務A的eq\o(□,\s\up1(02))概率，記作eq\o(□,\s\up1(03))P(A)．(2)頻率反映了一個隨機事務出現(xiàn)的頻繁程度，但頻率是隨機的，而eq\o(□,\s\up1(04))概率是一個確定的值，因此，人們用eq\o(□,\s\up1(05))概率來反映隨機事務發(fā)生的可能性的大小，有時也用eq\o(□,\s\up1(06))頻率作為隨機事務概率的估計值．(3)概率的幾個基本性質①概率的取值范圍：eq\o(□,\s\up1(07))0≤P(A)≤1.②必定事務的概率：P(A)＝eq\o(□,\s\up1(08))1.③不行能事務的概率：P(A)＝eq\o(□,\s\up1(09))0.④概率的加法公式假如事務A與事務B互斥，則P(A∪B)＝eq\o(□,\s\up1(10))P(A)＋P(B)．⑤對立事務的概率若事務A與事務B互為對立事務，則A∪B為必定事務．P(A∪B)＝eq\o(□,\s\up1(11))1，P(A)＝eq\o(□,\s\up1(12))1－P(B)．2．事務的關系與運算名稱定義符號表示包含關系若事務Aeq\o(□,\s\up1(13))發(fā)生，則事務Beq\o(□,\s\up1(14))肯定發(fā)生，這時稱事務B包含事務A(或稱事務A包含于事務B)eq\o(□,\s\up1(15))B?A(或eq\o(□,\s\up1(16))A?B)相等關系若B?A，且eq\o(□,\s\up1(17))A?B，則稱事務A與事務B相等eq\o(□,\s\up1(18))A＝B并事務(和事務)若某事務發(fā)生eq\o(□,\s\up1(19))當且僅當事務A發(fā)生或事務B發(fā)生，則稱此事務為事務A與事務B的并事務(或和事務)eq\o(□,\s\up1(20))A∪B(或eq\o(□,\s\up1(21))A＋B)交事務(積事務)若某事務發(fā)生當且僅當eq\o(□,\s\up1(22))事務A發(fā)生且事務B發(fā)生，則稱此事務為事務A與事務B的交事務(或積事務)eq\o(□,\s\up1(23))A∩B(或eq\o(□,\s\up1(24))AB)互斥事務若A∩B為eq\o(□,\s\up1(25))不行能事務，則稱事務A與事務B互斥A∩B＝?對立事務若A∩B為eq\o(□,\s\up1(26))不行能事務，A∪B為eq\o(□,\s\up1(27))必定事務，則稱事務A與事務B互為對立事務A∩B＝?且A∪B＝Ω1．從集合的角度理解互斥事務和對立事務(1)幾個事務彼此互斥，是指由各個事務所含的結果組成的集合的交集為空集．(2)事務A的對立事務eq\x\to(A)所含的結果組成的集合，是全集中由事務A所含的結果組成的集合的補集．2．概率加法公式的推廣當一個事務包含多個結果且各個結果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．1．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35)，則從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.eq\f(1,7) B.eq\f(12,35)C.eq\f(17,35) D．1答案C解析設“從中隨意取出2粒都是黑子”為事務A，“從中隨意取出2粒都是白子”為事務B，“從中隨意取出2粒恰好是同一色”為事務C，則C＝A∪B，且事務A與B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率是eq\f(17,35).2．(2024·寧夏固原檢測)抽查10件產品，設事務A為“至少有2件次品”，則事務A的對立事務為()A．至多有2件次品 B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品答案B解析∵“至少有n個”的反面是“至多有n－1個”，又事務A“至少有2件次品”，∴事務A的對立事務為“至多有1件次品”．3．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參與演講競賽，事務“至少有一名女生”與事務“全是男生”()A．是互斥事務，不是對立事務B．是對立事務，不是互斥事務C．既是互斥事務，也是對立事務D．既不是互斥事務，也不是對立事務答案C解析“至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種狀況，這兩種狀況加上“全是男生”構成全部基本領件，且不能同時發(fā)生，故事務“至少有一名女生”與事務“全是男生”互為對立事務，且是互斥事務，故選C.4．某產品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產狀況下，出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是0.05和0.03，則抽檢一件是正品(甲級品)的概率為()A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08答案C解析記抽檢的產品是甲級品為事務A，是乙級品為事務B，是丙級品為事務C，這三個事務彼此互斥，因此所求概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.05－0.03＝0.92.5．一個地區(qū)從某年起幾年之內的新生嬰兒數(shù)及其中的男嬰數(shù)如下：時間范圍1年內2年內3年內4年內新生嬰兒數(shù)n554496071352017190男嬰數(shù)m2883497069948892則這一地區(qū)男嬰誕生的概率約是________(保留四位小數(shù))．答案0.5173解析男嬰誕生的頻率依次約是：0.5200,0.5173,0.5173,0.5173.由于這些頻率特別接近0.5173，因此這一地區(qū)男嬰誕生的概率約是0.5173.6．在一次班級聚會上，某班到會的女同學比男同學多6人，從這些同學中隨機選擇一人表演節(jié)目．若選到女同學的概率為eq\f(2,3)，則這班參與聚會的同學的人數(shù)為________．答案18解析設該班到會的女同學有x人，則該班到會的共有(2x－6)人，所以eq\f(x,2x－6)＝eq\f(2,3)，解得x＝12，故該班參與聚會的同學有18人．核心考向突破考向一事務的概念例1從6件正品與3件次品中任取3件，視察正品件數(shù)與次品件數(shù)，推斷下列每對事務是不是互斥事務；假如是，再推斷它們是不是對立事務．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”．解從6件正品與3件次品中任取3件，共有4種狀況：①3件全是正品；②2件正品1件次品；③1件正品2件次品；④全是次品．(1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它們是互斥事務但不是對立事務．(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3種狀況，它與“全是次品”既不是互斥事務也不是對立事務．(3)“至少有2件次品”包括”1件正品2件次品”“全是次品”2種狀況；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2種狀況，它們既是互斥事務也是對立事務．1．精確把握互斥事務與對立事務(1)互斥事務是不行能同時發(fā)生的事務，但可同時不發(fā)生．(2)對立事務是特殊的互斥事務，特殊在對立的兩個事務不行能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生．2．判別互斥、對立事務的方法判別互斥、對立事務一般用定義推斷，不行能同時發(fā)生的兩個事務為互斥事務；兩個事務，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事務為對立事務，對立事務肯定是互斥事務．[即時訓練]1.(2024·湖北十市聯(lián)考)從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事務是()A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”D．“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”答案D解析A中的兩個事務是包含關系，不是互斥事務；B中的兩個事務是對立事務；C中的兩個事務都包含“一個黑球一個紅球”的事務，不是互斥關系；D中的兩個事務是互斥而不對立的關系．考向二隨機事務的概率與頻率例2(2024·北京高考)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的運用狀況，從全校全部的1000名學生中隨機抽取了100人，發(fā)覺樣本中A，B兩種支付方式都不運用的有5人，樣本中僅運用A和僅運用B的學生的支付金額分布狀況如下：支付金額支付方式不大于2000元大于2000元僅運用A27人3人僅運用B24人1人(1)估計該校學生中上個月A，B兩種支付方式都運用的人數(shù)；(2)從樣本僅運用B的學生中隨機抽取1人，求該學生上個月支付金額大于2000元的概率；(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變更．現(xiàn)從樣本僅運用B的學生中隨機抽查1人，發(fā)覺他本月的支付金額大于2000元．結合(2)的結果，能否認為樣本僅運用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變更？說明理由．解(1)由題知，樣本中僅運用A的學生有27＋3＝30(人)，僅運用B的學生有24＋1＝25(人)，A，B兩種支付方式都不運用的學生有5人．故樣本中A，B兩種支付方式都運用的學生有100－30－25－5＝40(人)．所以估計該校學生中上個月A，B兩種支付方式都運用的人數(shù)為eq\f(40,100)×1000＝400.(2)記事務C為“從樣本僅運用B的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于2000元”，則P(C)＝eq\f(1,25)＝0.04.所以從樣本僅運用B的學生中隨機抽取1人，該學生上個月支付金額大于2000元的概率為0.04.(3)記事務E為“從樣本僅運用B的學生中隨機抽查1人，該學生本月的支付金額大于2000元”．假設樣本僅運用B的學生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變更，則由(2)知，P(E)＝0.04.答案示例1：可以認為有變更．理由如下：P(E)比較小，概率比較小的事務一般不簡潔發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認為本月支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變更．所以可以認為有變更．答案示例2：無法確定有沒有變更．理由如下：事務E是隨機事務，P(E)比較小，一般不簡潔發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的．所以無法確定有沒有變更．1．概率與頻率的關系頻率反映了一個隨機事務出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來描述隨機事務發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率作為隨機事務概率的估計值．2．隨機事務概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義可求事務的概率，即通過大量的重復試驗，事務發(fā)生的頻率會漸漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率．[即時訓練]2.(2024·北京高考)電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經分類整理得到下表：電影類型第一類其次類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(2)隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；(3)電影公司為增加投資回報，擬變更投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變更．假設表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變更，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率削減0.1，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大？(只需寫出結論)解(1)由題意，知樣本中電影的總部數(shù)是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000.第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25＝50，故所求概率為eq\f(50,2000)＝0.025.(2)設“隨機選取1部電影，這部電影沒有獲得好評”為事務B.沒有獲得好評的電影共有140×0.6＋50×0.8＋300×0.85＋200×0.75＋800×0.8＋510×0.9＝1628(部)．由古典概型的概率公式，得P(B)＝eq\f(1628,2000)＝0.814.(3)增加第五類電影的好評率，削減其次類電影的好評率．精準設計考向，多角度探究突破考向三互斥、對立事務的概率角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(1))互斥事務的概率例3(2024·唐山模擬)某保險公司利用簡潔隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率．解(1)設A表示事務“賠付金額為3000元”，B表示事務“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率，得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應的情形是3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設C表示事務“投保車輛中新司機獲賠4000元”．由已知，樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1000＝100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×120＝24(輛)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計概率，得P(C)＝0.24.角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))對立事務的概率例4(2024·揚州摸底)某超市為了了解顧客的購物量及結算時間等信息，支配一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù)，如下表所示．一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率(將頻率視為概率)．解(1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市全部顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡潔隨機樣本，顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分鐘)．(2)記A為事務“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”，A1，A2分別表示事務“該顧客一次購物的結算時間為2.5分鐘”，“該顧客一次購物的結算時間為3分鐘”，將頻率視為概率得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為eq\f(7,10).求困難的互斥事務的概率的一般方法(1)干脆法：將所求事務的概率分解為一些彼此互斥的事務的概率的和，運用互斥事務的概率求和公式計算．(2)間接法：先求此事務的對立事務的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))，即運用逆向思維，特殊是“至少”“至多”型題目，用間接法就顯得較簡便．[即時訓練]3.某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得，1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事務分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．解(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設“1張獎券中獎”這個事務為M，則M＝A∪B∪C.∵A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20)＝eq\f(61,1000).故1張獎券的中獎概率為eq\f(61,1000).(3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事務N，則事務N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事務，P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq\f(989,1000).(2024·河南洛陽聯(lián)考)某售報亭每天以每份0.6元的價格從報社購進若干份報紙，然后以每份1元的價格出售，假如當天賣不完，剩下的報紙以每份0.1元的價格賣給廢品收購站．(1)若售報亭一天購進280份報紙，求當天的利潤y(單位：元)關于當天需求量x(單位：份)的函數(shù)關系式；(2)售報亭記錄了100天報紙的日需求量，整理得下表：日需求量x/份240250260270280290300頻數(shù)10201616151310①假設售報亭在這100天內每天都購進了280份報紙，求這100天的日平均利潤；②若某天售報亭購進了280份報紙，以這100天記錄的各需求量的頻率作為概率，求當天的利潤不超過100元的概率．解(1)當x≥280且x∈N*時，y＝280×(1－0.6)＝112；當x<280且x∈N*時，y＝(1－0.6)x－0.5×(280－x)＝0.9x－140.綜上，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(112，x≥280且x∈N*，,0.9x－140，x<280且x∈N*.))(2)①由(1)得這100天中，日利潤為76元的有10天，日利潤為85元