第02講 平行線的性質(zhì)與判定（知識(shí)串講考點(diǎn)提升過關(guān)檢測(cè)）-2025年人教版七年級(jí)《數(shù)學(xué)》寒假自學(xué)提升講義

PAGE1第02講平行線的性質(zhì)與判定模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1.理解與掌握平行線的性質(zhì)與判定定理；2.利用平行線的性質(zhì)與判定定理求解.平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號(hào)“∥”表示.如圖，直線AB與CD平行，記作;AB∥CD，讀作：AB平行于CD.【補(bǔ)充說明】1）平行線必在同一平面內(nèi)，分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面內(nèi)”是平行線存在的前提條件.2）平行線指的是“兩條直線”而不是兩條射線或線段，今后遇到線段、射線平行時(shí)，特指線段、射線所在的直線平行.平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.平行公理的前提條件：經(jīng)過直線外一點(diǎn).平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行.【拓展】1）平行線具有傳遞性：若多條直線都與同一條直線平行，則這多條直線也相互平行.2）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線相互平行，即在同一平面內(nèi)，若a⊥b，b⊥c，則a∥c.平行線的判定判定方法1判定方法2判定方法3兩條直線平行的判定同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行圖示符號(hào)語言∵∠1＝∠2∴AB∥CD∵∠1＝∠2∴AB∥CD∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3兩條直線平行的性質(zhì)兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)圖示符號(hào)語言∵AB∥CD∴∠1＝∠2∵AB∥CD∴∠1＝∠2∵AB∥CD∴∠1+∠2=180°【注意】在兩直線平行的前提下才存在同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)的結(jié)論.這是平行線特有的性質(zhì)不要一提同位角或內(nèi)錯(cuò)角就認(rèn)為它們相等，一提同旁內(nèi)角就認(rèn)為互補(bǔ)，若沒有兩直線平行的條件，這些是不成立的.【總結(jié)】從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補(bǔ)關(guān)系，是平行線的性質(zhì).平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離.性質(zhì)：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；2）平行線間的距離處處相等.考點(diǎn)一：平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系1．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）在同一平面內(nèi)有三條不同的直線a,b,c，若a⊥c,b⊥c，則a與b的位置關(guān)系為（

）A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．無法確定【答案】C【分析】本題主要考查垂直的定義，熟練掌握垂直的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，即可得出結(jié)果．【詳解】∵在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行．∴a∥b，故選：C．2．（23-24七年級(jí)下·山東淄博·期中）在同一平面內(nèi)，有12條互不重合的直線l1，l2，l3，?l12，若l1⊥l2，l2∥【答案】平行【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用“在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行”是解決此類問題的關(guān)鍵．如果一條直線垂直于兩平行線中的一條，那么它與另一條一定也垂直．再根據(jù)“在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行”，可知l1與l【詳解】解：∵l1⊥l2，l2∴l(xiāng)2⊥l4，∴l(xiāng)2∵l1∴l(xiāng)1故答案為∶平行．3．（23-24七年級(jí)下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）設(shè)a，b，l為平面內(nèi)三條不同直線．①若a∥b，l⊥a，則l與b的位置關(guān)系是；②若l⊥a，l⊥b，則a與b的位置關(guān)系是；③若a∥b，l∥a，則l與【答案】垂直平行平行【分析】本題考查平行線的判定．利用平行線的性質(zhì)，可求解①；在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行可求解②；由平行于同一條直線的兩條直線互相平行，可求解③．【詳解】解：①如圖，∵l⊥a，∴∠1=90°，∵a∥∴∠2=∠1=90°，∴l(xiāng)⊥b，∴l(xiāng)與b的位置關(guān)系是垂直；②若l⊥a，l⊥b，則a與b的位置關(guān)系是平行；③若a∥b，l∥a，則l與故答案為：垂直；平行；平行．4．（22-23七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）在同一平面內(nèi)，直線a與b滿足下列條件，把它們的位置關(guān)系填在后面的橫線上．（1）若a與b沒有公共點(diǎn)，則a與b；（2）若a與b有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則a與b；（3）若a與b有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a與b．【答案】互相平行相交重合考點(diǎn)二：用直尺、三角尺畫平行線5．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期末）下列各圖中的直線a,b，用推三角尺的方法驗(yàn)證，其中a∥b的有【答案】①②③【分析】本題考查的是用三角板和直尺判定判定平行線，將三角板的一條邊靠在直線上，用直尺靠在三角板的另一條邊上，固定直尺不動(dòng)，推動(dòng)三角板即可判定．【詳解】解：將三角板的一條邊靠在直線上，用直尺靠在三角板的另一條邊上，固定直尺不動(dòng)，推動(dòng)三角板，可判定三個(gè)圖形中a∥故答案為：①②③．6．（23-24七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知直線l以及直線l外一點(diǎn)P，如圖1，圖2、圖3的作圖結(jié)果可以說明的基本事實(shí)是；其依據(jù)是．【答案】經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和已知直線平行同位角相等，兩直線平行【分析】本題考查的是畫平行線，平行線的判定，根據(jù)畫平行線的方法可得答案．【詳解】解：直線l以及直線l外一點(diǎn)P，如圖1，圖2、圖3的作圖結(jié)果可以說明的基本事實(shí)是經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和已知直線平行；其依據(jù)是同位角相等，兩直線平行；故答案為：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和已知直線平行；同位角相等，兩直線平行；7．（23-24七年級(jí)上·江蘇連云港·期末）如圖，已知直線a和直線外一點(diǎn)P，我們可以用直尺和三角尺，過點(diǎn)P畫已知直線a的平行線b．下面的操作步驟：①沿直尺上移三角尺使三角尺一邊經(jīng)過點(diǎn)P；②用直尺緊靠三角尺的另一邊；③沿三角尺的邊作出直線b；④用三角尺的一邊緊貼住直線a；正確的操作順序是：．（填序號(hào)）

【答案】④②①③【分析】本題考查的是畫平行線，根據(jù)“用直尺和三角板過直線外一點(diǎn)P畫已知直線b的平行線a的操作步驟”即可作答；【詳解】解：正確的步驟是：④用三角尺的一邊貼住直線a；②用直尺緊靠三角尺的另一邊；①沿直尺上移三角尺使三角尺一邊經(jīng)過點(diǎn)P；③沿三角尺的邊作出直線b；故答案為：④②①③；QUOTE??考點(diǎn)三：平行公理推論的應(yīng)用8．（23-24七年級(jí)下·北京朝陽·階段練習(xí)）如圖是一個(gè)可折疊的衣架，AB是地平線，當(dāng)∠1=∠2時(shí)，PM∥AB；∠3=∠4時(shí)，PN∥AB，就可確定點(diǎn)N、P【答案】過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行【分析】本題考查平行線的判定，平行公理，根據(jù)平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行進(jìn)行判斷即可，掌握經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵∠1=∠2，∴PM∥AB，∵∠3∴PN∥∵過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行，∴點(diǎn)N，P，M在同一條直線上，故答案為：過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行．9．（23-24七年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖1，桿秤是中國(guó)最古老也是現(xiàn)今人們?nèi)匀辉谑褂玫暮饬抗ぞ?，它利用杠桿原理來稱物體的質(zhì)量，由木制的帶有秤星的秤桿、金屬秤砣、提繩等組成．如圖2，是桿秤的示意圖，AB∥CD，AB∥EO，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)∠1=106°，則∠2的度數(shù)是度．【答案】74【分析】本題考查鄰補(bǔ)角的定義，平行公理的推論，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠OCD，再根據(jù)平行公理的推論得出EO∥CD，最后平行線的性質(zhì)得到∠2=∠OCD，即可求解．【詳解】解：∵∠1=106°，∴∠OCD=180°?∠1=74°∵AB∥CD，AB∥EO，∴EO∥CD∴∠2=∠OCD=74°故答案為：74．10．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，已知直線l1∥l2，將一塊直角三角板ABC按如圖所示方式放置，若∠2=56°【答案】34°/34度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，角的和差等相關(guān)知識(shí)，作BD∥l2，則∠2=∠ABD=56°【詳解】如圖，作BD∥l2∴BD∥∴∠CBD=∠1，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°，∴∠ABD+∠1=90°，∴∠1=34°，故答案為：34°．11．（23-24七年級(jí)下·河南商丘·期中）如圖是一款長(zhǎng)臂折疊LED護(hù)眼燈示意圖，EF與桌面MN垂直，當(dāng)發(fā)光的燈管AB恰好與桌面MN平行時(shí)，∠DEF=130°，∠BCD=120°，則∠CDE

【答案】100°/100度【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是過拐點(diǎn)構(gòu)造平行線．過點(diǎn)D作DH∥AC，過點(diǎn)E作EG∥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂直的定義，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)D作DH∥AC，過點(diǎn)E作EG∥MN，則DH∥AC∥MN∥EG,

∴∠ACD+∠CDH=180°,∠GEF+∠EFN=180°,∠GEF=∠MFM,∠HDE=∠DEG,∵EF⊥MN，∠DEF=130°，∠BCD=120°，∴∠CDH=60°，∠GEF=∠EFM=90°，∠DEG=∠DEF?∠GEF=40°，∵DH∥EG，∴∠HDE=∠DEG=40°，∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=100°，故答案為：100°．考點(diǎn)四：根據(jù)已知條件判定兩直線能否平行12．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）學(xué)習(xí)情境·推理論證如圖所示，下列推理中正確的有（

）①∵∠1=∠3，∴AB∥CD；②∵∠2=∠4，∴AD∥BC；③∵∠ABC+∠BCD=180°，∴AD∥CD；④∵∠1+∠2+∠B=180°，∴BC∥AD．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】本題主要考查平行線的判定，熟練掌握平行線的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的判定可進(jìn)行求解．【詳解】解：①∵∠1=∠3，∴AD∥BC，故錯(cuò)誤；②∵∠2=∠4，∴AB∥CD，故錯(cuò)誤；③∵∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD，故錯(cuò)誤；④∵∠1+∠2+∠B=180°，∴AD∥BC，故正確．故選：A．13．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，下列條件不能判定直線l1∥lA．∠1=∠3 B．∠1=∠4C．∠2+∠3=180° D．∠3=∠5【答案】A【分析】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、∠1和∠3不是同位角，也不是內(nèi)錯(cuò)角，所以∠1=∠3不能判斷l(xiāng)1B、∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，所以∠1=∠4能判斷l(xiāng)1C、∠2和∠3是同旁內(nèi)角，所以∠2+∠3=180°能判斷l(xiāng)1D、∠3和∠5是同位角，所以∠3=∠5能判斷l(xiāng)1故選：A．14．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，有以下四個(gè)條件：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5．其中能判定AB∥CD的序號(hào)是（A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】此題考查了平行線的判定．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，弄清截線與被截線．根據(jù)平行線的判定定理求解，即可求得答案．【詳解】解：①∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥②∵∠1=∠2，∴AD∥③∵∠3=∴AB∥④∵∠B=∠5，∴AB∥∴能得到AB∥故選：D．考點(diǎn)五：添加一個(gè)條件使兩直線平行15．（23-24七年級(jí)下·湖北荊門·期中）如圖，B，D分別在AF,CE上，添加條件，即可判定AD∥BC．（寫出一個(gè)即可）【答案】∠BAD=∠CBF（答案不唯一）【分析】本題主要考查了平行線的判定．根據(jù)平行線的判定定理，即可求解．【詳解】解：添加∠BAD=∠CBF，理由：∵∠BAD=∠CBF，∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：∠BAD=∠CBF（答案不唯一）16．（24-25八年級(jí)上·陜西漢中·階段練習(xí)）如圖，已知∠EBF，點(diǎn)A，C分別在射線BE，BF上，點(diǎn)D為∠EBF內(nèi)一點(diǎn)，連接AD，CD，不添加輔助線，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使得AD∥BF，則可添加為．（寫出一個(gè)即可）【答案】∠EAD=∠B（答案不唯一）【分析】本題主要考查了平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定定理．平行線判定方法有：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．據(jù)此可得結(jié)論．【詳解】解：添加∠EAD=∠B利用同位角相等，兩直線平行判定AD∥BF；添加∠D=∠DCF利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行判定AD∥BF；添加∠DAB+∠B=180°利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行判定AD∥BF．故答案為：∠EAD=∠B(答案不唯一)·17．（23-24七年級(jí)下·北京·期中）如圖，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)恰當(dāng)?shù)臈l件，使AB∥CD．【答案】∠3=【分析】本題考查了平行線的判定．熟練掌握平行線的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的判定求解作答即可．【詳解】解：由題意知，∵∠3=∴AB∥CD，故答案為：∠3=18．（23-24七年級(jí)下·云南昭通·期末）如圖，要使“直線l1∥l【答案】∠1=∠3（或∠4=∠5或∠2+∠4=180°）【分析】本題考查平行線的判定，關(guān)鍵是掌握平行線的判定方法．由平行線的判定，即可得到答案．【詳解】解：要使直線l1∥l2，則需要添加的條件可以為∠1=∠3，也可以為故答案為：∠1=∠3（或∠4=∠5或∠2+∠4=180°）．QUOTE考點(diǎn)六：證明兩直線平行19．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，若∠A=114°，∠C=135°，∠1=66°，∠2=45°，試說明AD∥CF．【答案】見解析【分析】本題主要考查同旁內(nèi)角互補(bǔ)、平行公理判斷兩直線平行，由∠A+∠1=180°可得AD∥BE，又由∠2+∠C=180°可得CF∥BE，則【詳解】解：∵∠A=114°，∠C=135°，∠1=66°，∠2=45°，∴∠A+∠1=114°+66°=180°，∴AD∥BE，∵∠C+∠2=135°+45°=180°，∴CF∥∴AD∥CF．20．（23-24七年級(jí)下·遼寧鐵嶺·期中）如圖，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，BE與CF平行嗎？【答案】BE∥CF，理由見解析【分析】本題考查了平行線的判定，垂直的定義，得到∠EBC=∠BCF是解題的關(guān)鍵．由AB⊥BC，CD⊥BC得到∠ABC=∠BCD=90°，繼而∠EBC=∠BCF，即可求證．【詳解】解：BE∥CF，理由如下，證明，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC=∠BCD=90°，∵∠1=∠2，∴∠EBC=∠BCF，∴BE∥CF．21．（24-25七年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）如圖，AB∥CD，AB=CD，點(diǎn)E、F在BC上，且BF=CE．AE與DF平行嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】AE∥DF，理由見解析【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．先根據(jù)平行線的性質(zhì)推得∠ABE=∠DCF，再推得BE=CF即可根據(jù)“邊角邊”證明△ABE≌△DCF，根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得∠AEB=∠DFC，結(jié)合點(diǎn)E、F在BC上，推得∠AEF=∠DFE即可證明AE∥DF．【詳解】解：AE∥DF，理由如下：∵AB∥CD，∴∠ABE=∠DCF，∵BF=CE，∴BF?EF=CE?EF，即BE=CF，∵在△ABE和△DCF中，AB=CD∠ABE=∠DCF∴△ABE≌△DCFSAS∴∠AEB=∠DFC，又點(diǎn)E、F在BC上，∴180°?∠AEB=180°?∠DFC，即∠AEF=∠DFE，∴AE∥DF．22．（22-23七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）如圖所示，已知∠E=∠1，∠3=∠2，試說明：AB∥EC．【答案】證明見解析【分析】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵．利用∠E=∠1，∠1=∠2，∠3=∠2，等量代換得出∠E=∠3，即可判定．【詳解】證明：∵∠E=∠1，∠1=∠2，∴∠E=∠2，∵∠3=∠2，∴∠E=∠3，∴AB∥EC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．考點(diǎn)七：補(bǔ)全兩直線的證明過程23．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)E在BC上，CD⊥AB于D，EG⊥AB于G，∠FDC=∠BEG．求證：∠DFC+∠FCB=180°．請(qǐng)將下列證明過程補(bǔ)充完整：證明：∵CD⊥AB，EG⊥AB，∴∠BGE=90°，∠BDC=90∴∠BGE=∠BDC=90°∴GE∥∴∠BEG=∠BCD（____________________）∵∠FDC=∠BEG∴∠FDC=__________∴DF∥∴∠DFC+∠FCB=180°【答案】垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；∠BCD；BC；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)垂直的定義得∠BGE=∠BDC=90°，推出GE∥DC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BEG=∠BCD，繼而得到∠FDC=∠BCD，【詳解】證明：∵CD⊥AB，EG⊥AB，∴∠BGE=90°，∠BDC=90∴∠BGE=∠BDC=90°，∴GE∥∴∠BEG=∠BCD，（兩直線平行，同位角相等）∵∠FDC=∠BEG，∴∠FDC=∠BCD，∴DF∥BC∴∠DFC+∠FCB=180°．故答案為：垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；∠BCD；BC；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．24．（21-22七年級(jí)下·廣東清遠(yuǎn)·期末）把下列的推理過程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)里填上推理的依據(jù)：如圖，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE平分∠ABC，試說明：DF∥解：因?yàn)锽E平分∠ABC，所以（

）

又因?yàn)椤螮=∠1（已知），所以∠E=∠2（等量代換）．所以（

），所以∠A+∠ABC=180°（

）．又因?yàn)椤?+∠ABC=180°（已知），所以（

），所以DF∥AB（【答案】∠1=∠2，角平分線的定義；AE∥BC；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；【分析】本題考查的是平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意、結(jié)合圖形，根據(jù)平行線的判定定理和性質(zhì)定理解答即可．【詳解】解：因?yàn)锽E平分∠ABC，所以∠1=∠2（角平分線的定義），

又因?yàn)椤螮=∠1（已知），所以∠E=∠2（等量代換）．所以AE∥所以∠A+∠ABC=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．又因?yàn)椤?+∠ABC=180°（已知），所以∠3=∠A（同角的補(bǔ)角相等），所以DF∥故答案為：∠1=∠2，角平分線的定義；AE∥BC；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；25．（22-23七年級(jí)下·廣東清遠(yuǎn)·期末）把下列的推理過程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)里填上推理的依據(jù)：如圖，已知直線a，b，c，d，e，且∠1=∠2，∠3+∠4=180°，試說明：a∥c．解：因?yàn)椤?=∠2，所以∥（

）又因?yàn)椤?+∠4=180°，所以∥（

）所以a∥c（【答案】a,b；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)以及平行公理．根據(jù)平行線的性質(zhì)得出a∥b，【詳解】解：∵∠1=∠2，∴a∥∵∠3+∠4=180°，∴b∥∴a∥故答案為：a,b；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；26．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知點(diǎn)E,F分別在AB,CD上，BC交AF于點(diǎn)G，交DE于點(diǎn)H,∠1=∠2,∠A=∠D．(1)AF與ED平行嗎？請(qǐng)說明理由．(2)試說明∠B=∠C．解：（1）AF∥ED．理由如下：因?yàn)椤?=∠2，（已知），∠1=∠CHD（_______），所以∠2=∠_______（_______），所以_______∥_______（_______）．（2）因?yàn)锳F∥ED（已知），所以∠AFC=∠_______（________）．又因?yàn)椤螦=∠D，（已知）所以∠A=∠______（_______）．所以_______∥_______（_______），所以∠B=∠C（_______）．【答案】(1)AF∥ED．理由見解析(2)見解析【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)和判定．（1）首先根據(jù)對(duì)頂角相等得到∠1=∠CHD，然后等量代換根據(jù)同位角相等兩直線平行證明即可；（2）首先得到∠AFC=∠D，推出∠A=∠AFC，然后證明出AB∥CD，即可得到∠B=∠C．【詳解】（1）解：（1）AF∥ED．理由如下：因?yàn)椤?=∠2（已知），∠1=∠CHD（對(duì)頂角相等），所以∠2=∠CHD（等量代換），所以AF∥ED（同位角相等，兩直線平行）；（2）因?yàn)锳F∥ED（已知），所以∠AFC=∠D（兩直線平行，同位角相等）．又因?yàn)椤螦=∠D（已知），所以∠A=∠AFC（等量代換），所以AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），所以∠B=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．考點(diǎn)八：利用平行線的性質(zhì)求解27．（24-25七年級(jí)上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，AB∥CD，∠A=105°，∠C=120°，則∠1=【答案】45°/45度【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，鄰補(bǔ)角，先過點(diǎn)E作EF∥AB，分別得∠2=75°，∠3=60°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：過點(diǎn)E作EF∥AB，如圖所示：∵EF∥AB，∴∠2+∠A=180°，∵∠A=105°，∴∠2=75°，∵AB∥∴CD∥∴∠3+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠3=60°，∴∠1=180°?∠2?∠3=45°，故答案為：45°．28．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，為了加固房屋，要在屋架上加一根橫梁DE，使DE∥BC．如果∠ABC=31°，∠ADE=．【答案】31°【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同位角相等．直接根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∴DE∥BC,∠ABC=31°，∴∠ABC=∠ADE=31°，故答案為：31°29．（2024·江蘇常州·一模）如圖，直線a∥b，點(diǎn)A在直線a上，點(diǎn)C在直線b上，AB⊥BC，若∠1=44°，則∠2=°．【答案】46【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、垂直的定義，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)B作射線BD∥a，再根據(jù)a∥b，得出∠1=∠ABD，∠2=∠CBD，再根據(jù)AB⊥BC即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)B作射線BD∥a，如圖所示，∵BD∥a，∴∠1=∠ABD，∵a∥b，∴BD∥b，∴∠2=∠CBD，∵AB⊥BC，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠1+∠2=90°，∵∠1=44°，∴∠2=90°?∠1=46°．故答案為：46．30．（22-23九年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·自主招生）如圖，直線a∥b，將一直角三角形的直角頂點(diǎn)置于直線b上，若∠1=24°，則∠2等于【答案】114【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)得∠BAC=∠C,又∠BAC=∠1+∠DAC=24°+90°=114°，即可得∠2=114°.【詳解】解：如圖，∵a∥∴∠BAC=∠2,∵∠BAC=∠1+∠DAC=24°+90°=114°∴∠2=114°.故答案為：114.考點(diǎn)九：利用平行線的性質(zhì)解決實(shí)際生活問題31．（23-24七年級(jí)下·山西朔州·期末）如圖，在一條公路的兩側(cè)鋪設(shè)了兩條平行管道AB和CD，如果管道AB與縱向聯(lián)通管道的夾角∠A=100°，那么管道CD與縱向聯(lián)通管道的夾角∠C的度數(shù)等于．【答案】80°/80度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)平行線的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°，∴∠C=180°?∠A=80°；故答案為：80°．32．（23-24七年級(jí)下·云南曲靖·期末）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水中射向空氣時(shí)，會(huì)發(fā)生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，∠2=58°，則∠1的度數(shù)為．【答案】122°/122度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行同位角相等得出∠3=58°，再由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得出答案．【詳解】解：如圖：∵水中的兩條光線平行，∠2=58°，∴∠2=∠3=58°，∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3=180°，∵∠1=122°，故答案為：122°．33．（23-24七年級(jí)下·山東濰坊·期中）某小區(qū)地下停車場(chǎng)的限高欄桿如圖所示，當(dāng)欄桿抬起到最大高度時(shí)∠ABC=120°，若此時(shí)CD平行地面AE，則∠BCD=度．【答案】150【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．過點(diǎn)B作BF∥CD，可得∠ABF=90°，進(jìn)而得到∠FBC=120°?90°=30°，由∠BCD+∠FBC=180°即可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)B作BF∥CD，如圖，∵CD平行地面AE，∴BF∥∵AB⊥AE，∴∠ABF=90°∵∠ABC=120°，∴∠FBC=120°?90°=30°，∵BF∥∴∠BCD+∠FBC=180°，∴∠BCD=180°?30°=150°，故答案為：150．34．（23-24七年級(jí)下·廣東清遠(yuǎn)·期中）為增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)、感受中國(guó)的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，學(xué)校將國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)“抖空竹”引入陽光特色大課間．如圖1是某同學(xué)“抖空竹”時(shí)的一個(gè)瞬間，小明把它抽象成如圖2的數(shù)學(xué)問題：已知AB∥CD，∠EAB=79°，∠ECD=108°．則∠E的度數(shù)為．【答案】29°/29度【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)；直接利用平行線的性質(zhì)得出∠EAB=∠EFC=79°，進(jìn)而利用三角形的外角得出答案；【詳解】如圖所示：延長(zhǎng)DC交AE于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∠EAB=79°，∴∠EAB=∠EFC=79°，∵∠ECD=∠E+∠EFC，∴∠E=∠ECD?∠EFC，∵∠ECD=108°，∴∠E=108°?79°=29°．

故答案為：29°．35．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·期中）如圖①是一盞可以伸縮的臺(tái)燈，它的優(yōu)點(diǎn)是可以變化伸縮，找到合適的照明角度．圖②是這盞臺(tái)燈的示意圖．已知臺(tái)燈水平放置，當(dāng)燈頭AB與支架CD平行時(shí)可達(dá)到最佳照明角度，此時(shí)支架BC與水平線BE的夾角∠CBE=130°，兩支架BC和CD的夾角∠BCD=110°．(1)求此時(shí)支架CD與底座MN的夾角∠CDM的度數(shù)；(2)求此時(shí)燈頭AB與水平線BE的夾角∠ABE的度數(shù)．【答案】(1)60°(2)60°【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)C作CF//BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)C作CF∥BE，∴∠BCF+∠CBE=180°，∵∠CBE=130°，∴∠BCF=50°，∵∠BCD=110°，∴∠DCF=∠BCD?∠BCF=60°，∵BE∥MN，∴CF∥MN，∴∠CDM=∠DCF=60°；（2）∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠BCD=110°，∴∠ABC=70°，∵∠CBE=130°，∴∠ABE=∠CBE?∠ABC=60°．考點(diǎn)十：利用平行線間的距離解決問題36．（23-24七年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期中）小孫和小悟同學(xué)在探究四邊形ABCD內(nèi)作一條直線將它分成面積相等的兩部分時(shí)，遇到了困難，于是兩位同學(xué)想到了先從三角形研究起．【問題思考】（1）如圖1，AD是△ABC的中線，試判斷：S△ABD_________S△ACD（請(qǐng)?zhí)睢?gt;”、“<”或“（2）如圖2，AD∥BC，試判斷：S△ABC_________S△BCD（請(qǐng)?zhí)睢?gt;”、“【深入思考】有了這樣思考問題的經(jīng)歷，于是小孫同學(xué)對(duì)探究四邊形ABCD內(nèi)作一條直線將它分成面積相等的兩部分給出一種思路：如圖3，小孫同學(xué)的輔助線：①連接對(duì)角線AC，②作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于E；③取BE的中點(diǎn)M，則直線∵AC∥DE，∴S△DAC∴S四邊形即S四邊形∵M(jìn)是BE的中點(diǎn)，∴S△ABM∴AM平分△ABE的面積，即AM平分四邊形ABCD的面積．【推廣探究】小悟同學(xué)又給出另一種思路：如圖4，小悟同學(xué)的輔助線：①連接對(duì)角線AC和BD；②取BD的中點(diǎn)O，③連接OA、OC；④過點(diǎn)O作AC的平行線與四邊形ABCD的邊CD交點(diǎn)于P，則直線AP則為所求直線．請(qǐng)你獨(dú)立嘗試完成小悟同學(xué)的說理過程．【答案】【問題思考】=，=；【深入思考】S△EAC；S△EAC；S△ABE【分析】本題考查三角形中線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及三角形的面積，【問題思考】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)及三角形的面積可得結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形的面積可得結(jié)論；【深入思考】根據(jù)問題思考的結(jié)論即可得證；【推廣探究】根據(jù)問題思考的結(jié)論即可得證；理解并掌握問題思考的結(jié)論并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【問題思考】解：（1）∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，∴△ABD和△ACD等底同高，∴S△ABD故答案為：=；（2）∵AD∥∴△ABC和△DBC同底同高，∴S△ABC故答案為：=；【深入思考】證明：∵AC∥DE，∴S△DAC∴S四邊形即S四邊形∵M(jìn)是BE的中點(diǎn)，∴S△ABM∴AM平分△ABE的面積，即AM平分四邊形ABCD的面積；【推廣探究】證明：∵點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，∴S△DAO=S∵OP∥AC，∴S△OAC∴S四邊形=2=2=2=2=2S∴S△DAP∴直線AP平分四邊形ABCD的面積，則直線AP即為所求直線．37．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，若△AOB的面積為8，求△COD的面積．

【答案】8【分析】本題考查平行線間距離相等，三角形面積公式．根據(jù)題意過點(diǎn)B，C分別作AD的垂線，交直線AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，可得BE=FC，繼而得到S△ADB=S【詳解】解：過點(diǎn)B，C分別作AD的垂線，交直線AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，

∵AD∥BC，∴BE=FC，∵S△ADB∴S△ADB∴S△ADB∴S△COD38．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，直線m∥n，A、B為直線n上兩點(diǎn)，C、P為直線(1)如果A、B、C為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P在直線m上移動(dòng)，那么無論點(diǎn)P移動(dòng)到何位置，總有△________與△ABC的面積相等．理由是____________________；(2)如果點(diǎn)P在如圖所示的位置，請(qǐng)寫出另外兩對(duì)面積相等的三角形：____________________．【答案】(1)PAB，同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等(2)△PAC與△PBC，△OAC與△PBO【分析】本題主要考查了三角形的面積、平行線之間的距離等知識(shí)點(diǎn)，掌握“平行線間的距離相等”和“同底等高的三角形的面積相等”是解題的關(guān)鍵．（1）利用“平行線間的距離相等”和“同底等高的三角形的面積相等”即可解答；（2）利用“平行線間的距離相等”和“同底等高的三角形的面積相等”即可解答．【詳解】（1）解：∵直線m∥∴點(diǎn)P和點(diǎn)C到直線n的距離相等．又∵在△ABP和△ABC中，AB=AB，∴S△ABP故答案為：PAB，同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等．（2）解：設(shè)直線m和n之間的距離為h∵S△∴S△APC∴S△APC?S故答案為：△PAC與△PBC，△OAC與△PBO．考點(diǎn)十一：利用平行線的性質(zhì)與判定求角度39．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知AB∥CD，∠ABE=150°，∠CDE=85°，求∠BED的度數(shù)．【答案】55°【分析】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)，過點(diǎn)E作EF∥AB，則AB∥EF∥CD，由平行線的性質(zhì)可得∠ABE+∠BEF=180°，∠DEF=∠CDE，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．【詳解】解：如答圖，過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠ABE+∠BEF=180°，∠DEF=∠CDE．∵∠ABE=150°，∠CDE=85°，∴∠BEF=180°?∠ABE=30°，∠DEF=∠CDE=85°，∴∠BED=∠DEF?∠BEF=55°．40．（23-24七年級(jí)下·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，已知AB∥CD，點(diǎn)E在直線AB、CD之間，連接【感知】如圖1，若∠BAE=40°，∠ECD=50°，則∠AEC=【探究】如圖2，猜想∠BAE，∠ECD和【應(yīng)用】如圖3，若AH平分∠BAE，將線段CE沿CD方向平移至FG，若∠AEC=80°，F(xiàn)H平分∠DFG，求∠AHF的度數(shù)．【答案】感知：90°；探究：∠BAE+∠ECD=∠AEC，理由見解析；應(yīng)用：40°【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義：感知：過點(diǎn)E作EF∥AB，由平行線的性質(zhì)得出∠BAE=∠1，證出CD∥EF，由平行線的性質(zhì)得出∠2=∠DCE，據(jù)此可得探究：仿照感知方法求解即可；應(yīng)用：由平移的性質(zhì)得到∠ECD=∠GFD，再由角平分線的定義得到∠BAH=12∠BAE證明∠AHF=∠BAH+∠DFH=12∠BAE+∠DCE【詳解】解：感知：如圖所示，過點(diǎn)E作EF∥∴∠BAE=∠1，∵AB∥CD，EF∥∴CD∥EF，∴∠2=∠DCE，∵∠AEC=∠1+∠2，∴∠AEC=∠BAE+∠DCE，∵∠BAE=40°，∠ECD=50°，∴∠AEC=90°，故答案為：90°；探究：∠BAE+∠ECD=∠AEC，理由如下：如圖所示，過點(diǎn)E作EF∥∴∠BAE=∠1，∵AB∥CD，EF∥∴CD∥EF，∴∠2=∠DCE，∵∠AEC=∠1+∠2，∴∠BAE+∠ECD=∠AEC；應(yīng)用：由平移的性質(zhì)可得CE∥FG，∴∠ECD=∠GFD，∵AH平分∠BAE，F(xiàn)H平分∠DFG，∴∠BAH=12∠BAE∴∠AHF=∠BAH+∠DFH=1∵∠BAE+∠DCE=∠AEC=80°，∴∠AHF=141．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）【閱讀理解】如圖①，已知點(diǎn)A是BC外一點(diǎn)，連接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度數(shù)．（1）請(qǐng)將下面推理過程補(bǔ)充完整；解：如圖①，過點(diǎn)A作ED∥BC，則∠B=∠EAB，∠C=________．因?yàn)開_______________________=180°，所以∠B+∠BAC+∠C=180°．【解題反思】從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC，∠B，∠C“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．【方法運(yùn)用】（2）如圖②，已知AB∥ED，試說明：∠D+∠BCD?∠B=180°．【深化拓展】（3）已知AB∥CD，點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，∠ADC=60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE交于點(diǎn)E，點(diǎn)E在AB與CD兩條平行線之間．①如圖③，若點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，∠ABC=50°，求∠BED的度數(shù)．②如圖④，若點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，∠ABC=100°，直接寫出∠BED的度數(shù)．【答案】[閱讀理解]（1）∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC[方法運(yùn)用]（2）證明過程見詳解[深化拓展]（3）①∠BED=55°；②∠BED=160°【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，角的和差計(jì)算方法，[閱讀理解]（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EAB=∠B，∠DAC=∠C，結(jié)合平角的性質(zhì)即可求解；[方法運(yùn)用]（2）如圖所示，過點(diǎn)C作CM∥AB，可得AB∥CM∥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABC=∠BCM，∠DCM+∠D=180°，由此即可求解；[深化拓展]（3）①如圖所示，過點(diǎn)E作EN∥AB，可得AB∥EN∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABE=∠BEN，∠CDE=∠DEN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解；②如圖所示，過點(diǎn)E作EH∥AB，同理可得，AB∥EH∥CD，根據(jù)平行線，角平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：[閱讀理解]（1）如圖所示，過點(diǎn)A作ED∥BC，則∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°，故答案為：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC；[方法運(yùn)用]（2）如圖2所示，過點(diǎn)C作CM∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CM∥DE，∴∠B=∠BCM，∠D+∠DCM=180°，∵∠BCD=∠BCM+∠DCM，∴∠DCM=∠BCD?∠BCM=∠BCD?∠B，∴∠D+∠DCM=∠D+∠BCD?∠B=180°；[深化拓展]（3）①如圖3所示，過點(diǎn)E作EN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EN∥CD，∴∠ABE=∠BEN，∠CDE=∠DEN，∴∠BED=∠ABE+∠CDE，∵BE平分∠ABE，DE平分∠ADC，ABC=50°，∠ADC=60°，∴∠ABE=1∴∠BED=25°+30°=55°；②如圖4所示，過點(diǎn)E作EH∥AB，同理可得，AB∥EH∥CD，∴∠ABE+∠BEH=180°，∠CDE=∠DEH，∴∠BED=∠BEH+∠DEH，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=100°，∠ADC=60°∴∠ABE=1∴∠BEH=180°?∠ABE=180°?50°=130°，∴∠BED=∠BEH+∠DEH=∠BEH+∠CDE=130°+30°=160°．考點(diǎn)十二：利用平行性的性質(zhì)與判定證明42．（21-22七年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）如圖，AB∥CD，點(diǎn)(1)如圖1，若∠BAE=35°，∠DCE=20°，則∠AEC=_______；(2)如圖2，試說明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；(3)如圖3，若∠BAE的平分線與∠DCE的平分線相交于點(diǎn)F，判斷∠AEC與∠AFC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)55°；(2)見解析；(3)2∠AFC+∠AEC=360°，理由見解析．【分析】本題考查平行線的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)探索角之間的關(guān)系．（1）過點(diǎn)E作直線MN∥AB，利用平行線的性質(zhì)證明∠AEM=∠BAE，∠CEM=∠DCE，即可得到∠AEC=∠BAE+∠DCE=35°+20°=55°；（2）過點(diǎn)E作EG∥AB，利用平行線的性質(zhì)證明∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，即可證明∠A+∠1+∠2+∠C=360°，即∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；（3）由（1）可得∠AFC=∠BAF+∠DCF，再證明∠BAE+∠DCE=2∠AFC，由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°，即可證明2∠AFC+∠AEC=360°．【詳解】（1）解：過點(diǎn)E作直線MN∥AB，∵AB∥∴MN∥AB∥CD，∴∠AEM=∠BAE，∠CEM=∠DCE，∵∠AEC=∠AEM+∠CEM，∴∠AEC=∠BAE+∠DCE=35°+20°=55°．（2）解：如圖所示，過點(diǎn)E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，即∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°．（3）解：①2∠AFC+∠AEC=360°，理由如下：由（1）可得∠AFC=∠BAF+∠DCF，∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，∴∠BAE=2∠BAF，∠DCE=2∠DCF，∴∠BAE+∠DCE=2∠AFC，由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°，∴2∠AFC+∠AEC=360°．43．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知：如圖，AR∥CD，點(diǎn)B為CD上一點(diǎn)，∠A=∠C．(1)如圖1，求證：AB∥CR；(2)如圖2，點(diǎn)E為線段CR上一點(diǎn)，∠DBE的角平分線與∠ARC的角平分線相交于點(diǎn)H，請(qǐng)直接寫出∠BHR與∠BER的數(shù)量關(guān)系，不必寫出證明過程；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BR，且BR平分∠ABE，延長(zhǎng)BE交AR的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AF交線段BC于點(diǎn)G，F(xiàn)P平分∠BFG交線段HB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，若∠HRC=5∠HBR，∠BHR?2∠HPF=47°，求∠HRB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)2∠BHR+∠BER=360°，理由見解析(3)28°【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，垂線的定義等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．（1）由平行線的性質(zhì)得到∠A=∠ABD，再根據(jù)∠A=∠C，等量代換推出∠C=∠ABD，即可證明結(jié)論；（2）分別過點(diǎn)E,H作AR的平行線PQ,MN，設(shè)∠ABD=x,∠ABH=y，利用平行線的性質(zhì)分別表示出∠BHR,∠BER，即可得出結(jié)論；（3）設(shè)∠HBR=α,∠ABH=β，則∠ABR=α+β，根據(jù)角平分線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)求出∠C=∠ABD=2α，∠CRF=180°?10α，根據(jù)∠C=∠CRF，求出α=15°，過點(diǎn)P作PK∥CD，過點(diǎn)H作ST∥CD，求出∠BHR=105°+β，∠HPF=45°，根據(jù)【詳解】（1）證明：∵AR∥CD，∴∠A=∠ABD，∵∠A=∠C，∴∠C=∠ABD，∴AB∥CR；（2）解：2∠BHR+∠BER=360°，理由如下：如圖：分別過點(diǎn)E,H作AR的平行線PQ,MN，∵AR∥CD，AR∥∴AR∥設(shè)∠ABD=x,∠ABH=y，則∠HBD=x+y，∴∠C=x,∠BHN=x+y，∴∠ARC=180°?x,∠PER=x，∵BH平分∠DBE，RH平分∠ARC，∴∠ARH=∠CRH=1∴∠CBE=180°?∠HBD?∠BHE=180°?2x?2y,∠RHN=∠ARH=90°?1∴∠BEP=∠CBE=180°?2x?2y，∴∠BEP=∠CBE=180°?2x?2y∴∠BHR=∠BHN+∠RHN=x+y+90°?1∵2∠BHR=180°+x+2y，∴2∠BHR+∠BER=360°；（3）解：設(shè)∠HBR=α,∠ABH=β，則∠ABR=α+β，∵BR平分∠ABE，∴∠EBR=∠ABR=α+β，∴∠HBE=∠HBR+∠EBR=2α+β，∵BH平分∠DBE，∴∠DBH=∠HBE=2α+β，∴∠ABD=∠DBH?∠ABH=2α，∴∠C=∠ABD=2α，∵∠HRC=5∠HBR，∴∠HRC=5α，∵RH平分∠ARC，∴∠ARH=∠HRC=5α，∴∠CRF=180°?10α，∵AR∥CD，∴∠C=∠CRF，即2α=180°?10α，∴α=15°，∴∠C=∠CRF=30°，∠ARH=∠HRC=5α=75°，∠CBE=180°?2∠DBH=180°?4α?2β=120°?2β，∴∠C=∠CRF=30°，如圖，過點(diǎn)P作PK∥CD，過點(diǎn)H作∴∠DBH=∠THB=2α+β=30°+β,∠THR=∠ARH=75°，∴∠BHR=∠DBH+∠ARH=7α+β=105°+β，∵∠CBH=180°?∠DBH=180°?2α?β=150°?β，∴∠KPB=∠CBH=150°?β，∵FG⊥AF，∴∠AFG=90°，∵AR∥CD，∴∠CBE=∠AFB=120°?2β，∴∠BFG=∠AFG?∠AFB=90°?120°?2β∵FP平分∠BFG，∴∠PFG=∠PFB=1∵AR∥CD，PK∥∴AR∥PK，∴∠KPF=∠AFP=∠AFB+∠PFB=105°?β，∴∠HPF=∠KPB?∠KPF=45°，∵∠BHR?2∠HPF=47°，∴105°+β?2×45°=47°，∴β=32°，∴∠DBR=∠DBH+∠HBR=2α+β+α=77°，∴∠ARB=180°?∠DBR=103°，∵∠ARH=75°，∴∠HRB=∠ARB?∠ARH=28°．44．（23-24七年級(jí)下·黑龍江鶴崗·期末）如圖1，已知AB∥CD，求證：∠AEP+∠CFP=∠EPF；小明想到了以下方法，請(qǐng)幫助他完成證明過程：證明：(1)如圖1，過點(diǎn)P作PG∥AB，則∠AEP=___________．（∵AB∥∴PG∥__________（

∴∠CFP=____________（

）又∠1+∠2=∠EPF，∴∠AEP+∠CFP=∠EPF．(2)如圖2，AB∥CD，請(qǐng)寫出∠AEP+∠EPF+∠PFC的和并說明理由；(3)如圖3，AB∥CD，請(qǐng)直接寫出圖3中∠AEP+∠EPQ+∠PQF+∠QFC的和．【答案】(1)∠1；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；CD；平行于同一直線的兩條直線平行；∠2；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等(2)∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°，理由見解析(3)∠AEP+∠EPQ+∠PQF+∠QFC=540°【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，平行公理的應(yīng)用，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）如圖1，過點(diǎn)P作PG∥AB，則∠AEP=∠1，證明PG∥（2）過點(diǎn)P作MN∥AB，證明MN∥CD，可得（3）過點(diǎn)P,Q分別作PM∥AB,NQ∥【詳解】（1）證明：如圖1，過點(diǎn)P作PG∥AB，則∵AB∥∴PG∥∴∠CFP=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∠1+∠2=∠EPF，∴∠AEP+∠CFP=∠EPF；故答案為：∠1；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；CD；平行于同一直線的兩條直線平行；∠2；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）解：∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°，理由如下：過點(diǎn)P作MN∥∵AB∥CD∴MN∥∴∠AEP+∠EPM=180°,∠CFP+∠FPM=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），又∵∠EPF=∠EPM+∠FPM，∴∠AEP+∠CFP+∠EPF=360°；（3）解：如圖：過點(diǎn)P,Q分別作PM∥AB,NQ∥∴AB∥PM∴∠AEP+∠EPM=180°,∠MPQ+∠PQN=180°,∠NQF+∠QFC=180°，∴∠AEP+∠EPQ+∠PQF+∠QFC=540°．QUOTE5?11．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，直線a與直線b交于點(diǎn)A，與直線c交于點(diǎn)B，∠1=120°,∠2=45°，若使直線b與直線c平行，則可將直線b繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（

）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】A【分析】本題考查了平行線的判定，先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到60°，根據(jù)平行線的性質(zhì)∠2=∠3=45°，由此得到直線b繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°?45°=15°．【詳解】解：如圖，當(dāng)直線b與直線c平行時(shí)，直線b與直線a夾角銳角是∠3，∵∠1=120°，∴∠1的鄰補(bǔ)角為60°，當(dāng)直線b與直線c平行時(shí)，∠2=∠3=45°，∴直線b繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°?45°=15°．故選：A．2．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．∠1=∠3 B．若∠2=30°，則有ACC．若∠2=30°，則有BC∥AD D．若∠2=30°【答案】C【分析】本題主要考查平行線判定與性質(zhì)、余角和補(bǔ)角，根據(jù)兩種三角板的各角的度數(shù)，利用平行線的判定與性質(zhì)結(jié)合已知條件對(duì)各個(gè)結(jié)論逐一驗(yàn)證，即可得出答案．【詳解】解：A、∵∠CAB=∠EAD=90°，∴∠1=∠CAB?∠2，∴∠1=∠3，正確，不符合題意．B、∵∠2=30°，∴∠1=90°?30°=60°，∵∠E=60°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，正確，不符合題意．C、∵∠2=30°，∴∠3=90°?30°=60°，∵∠B=45°，∴BC不平行于AD，原來的結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意．D、由AC∥DE可得∠4=∠C，正確，不符合題意．故選：C．3．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，直線AB、CD被直線EF所截，F(xiàn)G平分∠EFD交AB于點(diǎn)G．下列條件中，不能判定AB∥CD的是（）A．∠2=∠3 B．∠1=∠3 C．∠4+∠5=180° D．∠4=∠2+∠3【答案】D【分析】本題主要考查了平行線的判定及角平分線的定義，解題時(shí)注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．根據(jù)平行線的判定及角平分線的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，由∠2=∠3可得AB∥CD，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵FG平分∠EFD交AB于點(diǎn)G．∴∠1=∠2，∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，由∠2=∠3可得AB∥CD，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵∠4+∠5=180°，∠EFD+∠5=180°，∴∠4=∠EFD，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，由∠4=∠EFD可得AB∥CD，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∠4=∠2+∠3不能得出AB∥CD，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．4．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知∠1=∠2=∠3=∠4，則圖中所有平行的直線是（

）

A．AB∥CD∥EF B．CD∥EFC．AB∥EF D．AB∥CD∥EF【答案】D【分析】本題考查的是平行線的判定，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行直接證明結(jié)論即可．【詳解】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD,CD∥EF，∴AB∥CD∥EF，∵∠2=∠3，∴BC∥DE．故選：D．5．（24-25七年級(jí)上·云南文山·期中）如圖，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=36°，則∠DCE的度數(shù)為（A．34° B．56° C．66° D．54°【答案】D【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)AB∥CD，得到∠D=∠1=36°，再結(jié)合三角形內(nèi)角和為180°，即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠D=∠1=36°，∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=180°?90°?36°=54°．故選：D．6．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，直線a∥b,?∠1=50°,?∠2=∠3，則A．50° B．60° C．65° D．75°【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)求角度，根據(jù)a∥b得到∠1=∠4=50°，再根據(jù)平角定義結(jié)合【詳解】解：如圖，∵a∥∴∠1=∠4=50°，∵∠2=∠3，∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2=∠3=1故選：C．7．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）把一張長(zhǎng)方形的紙條按如圖所示那樣折疊后，若得到∠B'OG=70°，則∠DGOA．70° B．110° C．55° D．無法確定【答案】A【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握折疊的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠BOG=∠B【詳解】解：∵一張長(zhǎng)方形的紙條按如圖所示那樣折疊后得到∠B∴∠BOG=∠B∵AB∥∴∠DGO=∠BOG=70°．故選A．8．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）有兩個(gè)直角三角形紙板，一個(gè)含45°角，另一個(gè)含30°角，如圖所示疊放，使BC∥DE，∠BAD的度數(shù)為（

）A．60° B．45° C．30° D．15°【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，設(shè)AD交BC于點(diǎn)F，由題意得∠AFC=∠D=90°，推出∠AFB=180°?∠AFC=90°，【詳解】解：設(shè)AD交BC于點(diǎn)F，由題意得∠B=90°?30°=60°,∵BC∥DE，∴∠AFC=∠D=90°∴∠AFB=180°?∠AFC=90°∴∠BAD=180°?90°?60°=30°．故選：C．9．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，AB∥EF，∠C=90°，則α、β、γ的關(guān)系為（

）A．γ=α+β B．α+β+γ=180° C．α+γ?β=90° D．α+β?γ=90°【答案】D【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．分別過點(diǎn)C,D作CG∥AB,DH∥AB，利用平行線的性質(zhì)建立角之間的關(guān)系即可解答．【詳解】解：分別過點(diǎn)C,D作CG∥AB,DH∥AB，∵AB∥EF，∴CG∥AB∥DH∥EF，∴α=∠BCG,γ=∠EDH,∠DCG=∠CDH，∵β=∠EDH+∠CDH，∠DCG=∠BCD?α=90°?α∴β=γ+∠DCG=γ+90°?α，∴α+β?γ=90°．故選：D．10．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說法：①在同一平面內(nèi)，若直線a∥b，b∥c，則a∥c；②在同一平面內(nèi)，若直線a∥b，直線a與c相交，則直線b與c相交；③若直線a與直線b相交，直線b與直線【答案】①②/②①【分析】本題考查平行線的性質(zhì)和判定、相交線．利用同一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系依次對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①在同一平面內(nèi)，若直線a∥b，b∥②在同一平面內(nèi)，若直線a∥b，直線a與c相交，則直線b與③若直線a與直線b相交，直線b與直線c相交，則直線a與直線c也有可能平行，故此說法錯(cuò)誤；④過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行，故此說法錯(cuò)誤．∴說法正確的是①②．故答案為：①②．11．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，已知：∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2．是否能證明出AB∥CD？【答案】能【分析】本題考查了平行線的判定，同角的補(bǔ)角相等，先由“同角的補(bǔ)角相等”可得∠B