核心素養(yǎng)背景下的初中數(shù)學(xué)單元整體學(xué)習(xí)內(nèi)容統(tǒng)整與實踐

摘要：在對單元整體學(xué)習(xí)內(nèi)容進行統(tǒng)整時，教師要注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)。以“平方差公式幾何意義的探索”一課為例，教師可從“深度挖掘?qū)W習(xí)內(nèi)容，厘清數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)起點；精準定位教學(xué)目標，指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)終點；整體設(shè)計教學(xué)過程，突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)關(guān)鍵點”三個方面入手，統(tǒng)整單元學(xué)習(xí)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。關(guān)鍵詞：單元整體教學(xué)；平方差公式；幾何意義；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）對全面推進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地進行了重點要求，其中重視單元整體教學(xué)設(shè)計是有效途徑之一?！捌椒讲罟綆缀我饬x的探索”是入選2023年教育部精品課的數(shù)學(xué)實驗課之一，是人教版初中數(shù)學(xué)教材八年級上冊“平方差公式”內(nèi)容的一部分。本課的教學(xué)強調(diào)用幾何手段驗證代數(shù)公式，建立數(shù)形聯(lián)系，其中“幾何意義”傾向于將代數(shù)式定義為幾何對象，利用代數(shù)式的等量關(guān)系構(gòu)建圖形的等量關(guān)系來進行驗證。在統(tǒng)整和實踐“平方差公式幾何意義的探索”單元整體學(xué)習(xí)內(nèi)容時，教師可從“深度挖掘?qū)W習(xí)內(nèi)容，厘清數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)起點；精準定位教學(xué)目標，指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)終點；整體設(shè)計教學(xué)過程，突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)關(guān)鍵點”三個方面入手，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。一、深度挖掘?qū)W習(xí)內(nèi)容，厘清數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)起點教師的視野決定了課堂設(shè)計的深度和廣度。教師需要在新課標的指導(dǎo)下深入地研究單元整體學(xué)習(xí)內(nèi)容。教師對單元整體學(xué)習(xí)內(nèi)容的解析可以從“橫向”與“縱向”兩個方面進行，其中，“橫向”是指與其他學(xué)習(xí)領(lǐng)域之間的關(guān)聯(lián)，“縱向”是指對學(xué)生以前學(xué)習(xí)內(nèi)容的升華和對后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容以及對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)價值的解析，由此可以確定課堂教學(xué)重點。平方差公式的幾何意義是借助幾何直觀解決公式驗證，而“幾何直觀需要借助幾何課程的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，更多的是后天習(xí)得的結(jié)果”，為此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個漫長的過程，其中對學(xué)生后期學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)是至關(guān)重要的。平方差公式是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域“數(shù)與式”中的重要內(nèi)容，是整式乘法運算的延續(xù)和優(yōu)化。學(xué)生經(jīng)歷大量多項式乘多項式運算之后，會發(fā)現(xiàn)滿足某些結(jié)構(gòu)特征的多項式乘法是可以用平方差公式簡化計算的。同時，平方差公式也是后續(xù)因式分解、分式化簡的核心內(nèi)容，更是代數(shù)推理的手段和工具。在中學(xué)階段，數(shù)形結(jié)合是建立“數(shù)”與“形”之間聯(lián)系的重要思想方法，平方差公式的幾何意義是學(xué)生繼學(xué)習(xí)絕對值的幾何意義之后，再一次對數(shù)形結(jié)合思想的深刻感悟。由平方差公式到幾何圖形驗證公式是從“數(shù)”到“形”的過程，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，突出幾何直觀的核心立意。由幾何圖形輔助得到平方差公式是從“形”到“數(shù)”的過程，具體通過實物剪裁、拼接，根據(jù)面積恒等式得到平方差公式?；谝陨戏治觯P者確定教學(xué)重點為：平方差公式幾何意義的探索過程。二、精準定位教學(xué)目標，指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)終點新課標中的課程目標是學(xué)生初中階段學(xué)習(xí)三年之后最終要達到的學(xué)習(xí)目標；教師參考用書中的目標是本章的單元目標，而教師根據(jù)每節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容確定的目標才是教學(xué)目標。新課程改革以來，過程性目標逐漸被廣大教師所重視，關(guān)注知識生成與發(fā)展的過程，培養(yǎng)學(xué)生動手能力，讓學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題已經(jīng)被教師廣泛認可。在教學(xué)中，教師可分析學(xué)生知識和思維的障礙之處，從而確定教學(xué)目標?！窘虒W(xué)目標】（1）了解公式的幾何背景；（2）能用幾何方法驗證平方差公式?！灸繕私馕觥窟_成教學(xué)目標（1）的標志是：知道通過面積可以驗證平方差公式。達成教學(xué)目標（2）的標志是：以絕對值的幾何意義喚起學(xué)生回憶，讓學(xué)生經(jīng)歷尺規(guī)作圖得到線段和差的過程，體會到數(shù)形結(jié)合是研究“數(shù)”與“形”的重要思想方法；經(jīng)歷正方形紙片的剪裁和拼接過程，能用不同的方法驗證平方差公式，感悟平方差公式幾何意義的本質(zhì)是借助幾何直觀來深化學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解?！窘虒W(xué)問題診斷分析】學(xué)生在經(jīng)歷從整式乘法到平方差公式的歸納過程后，能識別公式特征并進行合理計算。但是，對于平方差公式的幾何意義，學(xué)生想不到的是怎樣從圖形角度驗證公式，想不通的是為什么要從圖形角度驗證公式，這些歸根到底是對數(shù)形結(jié)合思想的理解不夠透徹。如何借助幾何圖形驗證平方差公式是學(xué)生思維上的難點，即使有絕對值的幾何意義作鋪墊，學(xué)生也很難順理成章地想到平方差公式的幾何意義。為此，本節(jié)課的教學(xué)難點是：利用科學(xué)合理的幾何方法驗證平方差公式。三、整體設(shè)計教學(xué)過程，突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)關(guān)鍵點教學(xué)過程是教師與學(xué)生積極合作、共同進步的過程，是學(xué)生接受數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力、拓展數(shù)學(xué)思維的過程，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的直接載體。精細的教學(xué)過程要能體現(xiàn)單元整體教學(xué)架構(gòu)，創(chuàng)設(shè)能引發(fā)學(xué)生思考的問題情境，設(shè)計真實可靠的探究活動，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐漸培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。（一）整體架構(gòu)，引入幾何意義，滲透數(shù)形結(jié)合思想【問題1】我們學(xué)過的哪些代數(shù)式是有幾何意義的，你能舉例說明嗎？【師生活動】教師提問，給學(xué)生充分的獨立思考時間，學(xué)生在小組內(nèi)交流想法，然后回答。【追問】[3-2]的幾何意義是什么？[a-1]的幾何意義是什么？【師生活動】教師提問，學(xué)生思考并回答?！驹O(shè)計意圖】通過問題1，教師引導(dǎo)學(xué)生建立思維框架，梳理常見的代數(shù)式幾何意義，通過對絕對值的幾何意義的再回顧，厘清[a]的幾何意義是“數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離”，加深對幾何意義的理解與思考，初步體會數(shù)形結(jié)合思想?！締栴}2】如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，a），以O(shè)A和OB為邊在第一象限內(nèi)作正方形OACB，若正方形的面積為3，則點C的坐標為__________?！編熒顒印拷處煶鍪締栴}，學(xué)生獨立回答?！驹O(shè)計意圖】學(xué)生從問題1中數(shù)軸上兩點間的距離過渡到平面直角坐標系中正方形的面積問題，得到代數(shù)式a2的幾何意義：可以看成邊長為a的正方形面積。學(xué)生從中體會從一維到二維的變化，第二次體會數(shù)形結(jié)合思想。【問題3】已知線段a，b（如圖2）。請借助直尺和圓規(guī)按要求作圖。（不寫作法，保留作圖痕跡）（1）作出線段AB，使AB=a+b；（2）作出矩形ABCD，使矩形ABCD的面積等于a（a+b）?！編熒顒印繉W(xué)生利用直尺和圓規(guī)作圖，教師巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生問題，指導(dǎo)學(xué)生作圖?！驹O(shè)計意圖】學(xué)生通過尺規(guī)作圖，體會到代數(shù)式a+b與線段和差的關(guān)系，代數(shù)式（a+b）2與正方形面積的關(guān)系，第三次滲透數(shù)形結(jié)合思想，建立“數(shù)”與“形”的聯(lián)系。（二）創(chuàng)設(shè)情境，探究平方差公式的幾何意義【問題4】從前有個狡猾的地主，把一塊邊長為a米的正方形土地租給張老漢種植。第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的一邊減少5米，相鄰的另一邊增加5米，繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”張老漢一聽，覺得好像沒有吃虧，就答應(yīng)說：“好吧?！被氐郊抑校堰@事和鄰居們一講，大家都說：“張老漢，你吃虧了！”張老漢非常吃驚。你知道張老漢是否吃虧了嗎？請你畫出正方形土地變化前后的草圖，通過計算說明理由?！編熒顒印繉W(xué)生閱讀問題，思考并繪制草圖，通過建立數(shù)學(xué)模型，推理計算進行說明?！驹O(shè)計意圖】從實際問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時，又能為說明平方差的幾何意義作好鋪墊。從代數(shù)式的角度思考“是否吃虧”問題（即大小關(guān)系問題），學(xué)生可以從圖形簡拼說明前后面積大小?！締栴}5】若將問題4中的“一邊減少5米，相鄰的另一邊增加5米”改為“一邊減少b米，相鄰的另一邊增加b米”。（1）請你借助手中的邊長分別為a或b的正方形卡片（a>b）（如圖3），通過剪裁、拼接等方式，從代數(shù)推理和幾何意義兩個角度猜想并求出（a+b）（a-b）的結(jié)果；（2）在（1）的條件下，請你用其他方法驗證平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2?！編熒顒印繉W(xué)生先自己畫出驗證草圖，再用提前準備好的卡片，結(jié)合問題4的提示進行簡拼，驗證公式，教師參與小組活動，與學(xué)生交流合作?！驹O(shè)計意圖】題（1）是將問題4中的特殊推廣為一般，借助問題4的幾何圖形架構(gòu)出（a+b）和（a-b）的幾何模型，凸顯幾何直觀；題（2）從公式等號左、右兩邊思考拼接的方法，一方面，學(xué)生可以通過將（a+b）和（a-b）作為長方形邊長進行拼接；另一方面，通過a2-b2進行拼接，學(xué)生可以將邊長為b的正方形放到邊長為a的正方形“一角”或者“內(nèi)部”，再進行直接計算或者簡拼并完成證明。這樣，學(xué)生經(jīng)歷動手操作、幾何直觀計算驗證的過程，從“數(shù)”和“形”兩個角度理解公式，再次感悟平方差公式的幾何意義。【追問】事實上，我們今天的驗證方法受到了給定大小不等的正方形的限制，是否還有其他證明方法呢？請看下面方法。如圖4，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，CD⊥AB，垂足為D，若OA=OB=OC=a，OD=b，則AD=a+b，BD=a-b，根據(jù)?ACD∽?CBD，所以CD2=AD·BD=（a+b）（a-b）。在Rt?OCD中，∠ODC=90°，CD2=OC2-OD2，所以（a+b）（a-b）=a2-b2?！驹O(shè)計意圖】平方差公式幾何意義的核心是數(shù)形結(jié)合，而“形”的選擇與組織應(yīng)該是寬泛的。教師可為學(xué)生介紹一種非正方形背景的驗證方法，超越教材，開闊學(xué)生思維，讓學(xué)生更加深刻地體會到數(shù)學(xué)是真實的。（三）拓展應(yīng)用，借助數(shù)形結(jié)合解決問題【問題背景】在問題4的背景下，張老漢經(jīng)過測量，發(fā)現(xiàn)原正方形土地邊長為15米?！締栴}解決】如圖5，張老漢準備在田埂上找一個位置P，使點P到A，B的距離和最小，求此時的最短距離。【問題拓展】根據(jù)以上啟示，已知函數(shù)[y=152+x2+（10-x）2+52]，當自變量x為何值時，函數(shù)y有最小值？【師生活動】學(xué)生獨立思考，小組合作交流討論，通過作圖研究解決問題方案?！驹O(shè)計意圖】在問題4的背景下，教師強化題目條件，將正方形的邊長修改為15，讓學(xué)生確定幾何圖形形狀。“問題解決”中從特殊位置出發(fā)，從“形”到“數(shù)”，利用“兩點之間線段最短”和勾股定理相關(guān)內(nèi)容進行計算研究，得出結(jié)論；問題拓展從“數(shù)”到“形”，引導(dǎo)學(xué)生將代數(shù)式[152+x2]和[（10-x）2+52]的幾何意義——求設(shè)定為邊長為15和x、邊長為（10-x）和5的直角三角形的斜邊長，使學(xué)生再次感悟數(shù)形結(jié)合對解決問題的重要性，理解其本質(zhì)就是借助“問題解決”中的“形”解決問題。【作業(yè)設(shè)計】1.請運用幾何方法研究歸納：哪些一元二次方程可以用與上述類似的方法構(gòu)造出符合一個正根的正方形？（用適當?shù)目ㄆM行拼接，畫出圖形）2.開