福建省南平市王臺中學2020-2021學年高一數學理期末試題含解析

/福建省南平市王臺中學2020-2021學年高一數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，它的面積為，則角A等于（

）A.30° B.45° C.60° D.135°參考答案：D【分析】利用面積公式，借助余弦定理，即可容易求得結果.【詳解】因為，且，故可得，即，又因為，故可得.故選：D.【點睛】本題考查三角形的面積公式以及余弦定理的應用，屬綜合基礎題.2.函數在上滿足，則的取值范圍是（

） A．

B．

C． D．參考答案：D略3.已知，且，對任意的實數，函數不可能（

）A.是奇函數

B.是偶函數C.既是奇函數又是偶函數

D.既不是奇函數又不是偶函數參考答案：C，當時，，為偶函數當時，，為奇函數當且時，既不是奇函數又不是偶函數故選.4.在中，，是上的一點，若，則實數的值為(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：D5.若復數z滿足（3﹣4i）z=|4+3i|，則z的虛部為（）A．﹣4 B． C．4 D．參考答案：D【考點】A5：復數代數形式的乘除運算；A8：復數求模．【分析】由題意可得z==，再利用兩個復數代數形式的乘除法法則化簡為+i，由此可得z的虛部．【解答】解：∵復數z滿足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虛部等于，故選：D．6.數列{an}滿足，則的前10項和為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據裂項相消法求和.【詳解】因為，所以的前10項和為，選B.【點睛】本題考查裂項相消法求和，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

7.化簡+，得到

（

）A.2cos5

B.2sin5

C.－2cos5

D.－2sin5參考答案：A略8.知向量、、中任意二個都不共線，但與共線，且+與共線，則向量++=（

）A． B． C． D．參考答案：D略9.如果奇函數f（x）在區(qū)間[3，7]上是增函數且最小值為5，那么f（x）在區(qū)間[﹣7，﹣3]上是（）A．增函數且最小值為﹣5 B．增函數且最大值為﹣5C．減函數且最小值為﹣5 D．減函數且最大值為﹣5參考答案：B【考點】3I：奇函數．【分析】由奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上單調性一致及奇函數定義可選出正確答案．【解答】解：因為奇函數f（x）在區(qū)間[3，7]上是增函數，所以f（x）在區(qū)間[﹣7，﹣3]上也是增函數，且奇函數f（x）在區(qū)間[3，7]上有f（3）min=5，則f（x）在區(qū)間[﹣7，﹣3]上有f（﹣3）max=﹣f（3）=﹣5，故選B．【點評】本題考查奇函數的定義及在關于原點對稱的區(qū)間上單調性的關系．10.當a為任意實數時，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點C，則以C為圓心，半徑為的圓的方程為()A．x2＋y2－2x＋4y＝0

B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0

D．x2＋y2－2x－4y＝0參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.sin75°cos30°﹣sin30°cos75°=．參考答案：【考點】兩角和與差的正弦函數．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值．【分析】由條件利用兩角差的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：sin75°cos30°﹣sin30°cos75°=sin（75°﹣30°）=sin45°=，故答案為：．【點評】本題主要考查兩角差的正弦公式的應用，屬于基礎題．12.已知=2，則sin2α﹣sinαcosα的值為

．參考答案：

【考點】三角函數的化簡求值．【分析】將分子分母同除以cosα，利用同角三角函數基本關系式可求tanα=3，利用同角三角函數基本關系式化簡所求即可計算得解．【解答】解：∵==2，解得：tanα=3，∴sin2α﹣sinαcosα====．故答案為：．【點評】本題主要考查了同角三角函數基本關系式在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．13.《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表．其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積=（弦×矢+矢2）．弧田，由圓弧和其所對弦所圍成．公式中“弦”指圓弧對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，按照上述經驗公式計算所得弧田面積與實際面積之間存在誤差．現有圓心角為π，弦長等于9米的弧田．按照《九章算術》中弧田面積的經驗公式計算所得弧田面積與實際面積的差為．參考答案：+﹣9π【考點】函數模型的選擇與應用．【分析】利用扇形的面積公式，計算扇形的面積，從而可得弧田的實際面積；按照上述弧田面積經驗公式計算得（弦×矢+矢2），從而可求誤差．【解答】解：扇形半徑r=3扇形面積等于=9π（m2）弧田面積=9π﹣r2sin=9π﹣（m2）圓心到弦的距離等于，所以矢長為．按照上述弧田面積經驗公式計算得（弦×矢+矢2）=（9×+）=（+）．∴9π﹣﹣（+）=9π﹣﹣按照弧田面積經驗公式計算結果比實際少9π﹣﹣平方米．故答案為：+﹣9π．14.已知函數在區(qū)間上為偶函數，則__________．參考答案：∵在上為偶函數，∴．，，∴，∴．15.設集合A＝{5，a+1}，集合B＝{a，b}.若A∩B={2}，則A∪B=

.參考答案：{1，2，5}略16.定義在R上的函數f（x）滿足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+2）=f（x），當x∈（0，1）時，f（x）=x，則f（2011.5）=

．參考答案：﹣0.5【考點】函數奇偶性的性質．【分析】求出函數為奇函數，再求出函數的周期為2，問題得以解決．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），∴函數f（x）是定義在R上的奇函數，∵f（x+2）=f（x），∴函數f（x）的周期為2，∴f（2011.5）=f（2×1006﹣0.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5，故答案為：﹣0.5．【點評】本題考查函數周期、對稱、奇偶性等性質問題，屬中等題．17.如圖，是三個邊長為2的等邊三角形，且有一條邊在同一直線上，邊上有2個不同的點P1，P2，則__________．參考答案：36三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某地西紅柿從2月1日起開始上市．通過市場調查，得到西紅柿種植成本Q（單位：元/102kg）與上市時間t（單位：天）的數據如下表：時間t50110250種植成本Q150108150（1）根據上表數據，從下列函數中選取一個函數描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關系．Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a?bt，Q=a?logbt．（2）利用你選取的函數，求西紅柿種植成本最低時的上市天數及最低種植成本．參考答案：【考點】根據實際問題選擇函數類型．【分析】（1）由提供的數據知，描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關系函數不可能是單調函數，故選取二次函數Q=at2+bt+c進行描述，將表格所提供的三組數據（50，150），，代入Q，即得函數解析式；（2）由二次函數的圖象與性質可得，函數Q在t取何值時，有最小值．【解答】解：（1）由提供的數據知，描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關系函數不可能是常數函數，也不是單調函數；而函數Q=at+b，Q=a?bt，Q=a?logbt，在a≠0時，均為單調函數，這與表格提供的數據不吻合，所以，選取二次函數Q=at2+bt+c進行描述．將表格所提供的三組數據（50，150），，分別代入，通過計算得故西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關系函數得到；（2）=，∴t=150（天）時，西紅柿種植成本Q最低，為100元/102kg19.如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等，且側棱垂直于底面，由B沿棱柱側面經過棱CC1到點A1的最短路線長為，設這條最短路線與CC1的交點為D．（1）求三棱柱ABC-A1B1C1的體積；（2）證明：平面A1BD⊥平面A1ABB1．參考答案：(1)如圖，將側面繞棱旋轉使其與側面在同一平面上，點運動到點的位置，連接，則就是由點沿棱柱側面經過棱到點的最短路線．設棱柱的棱長為，則，∵，∴為的中點，在中，由勾股定理得，即解得，∵，∴．（2）設與的交點為，連結，∵，∴，∴，∵，∴平面．又∵平面，∴平面平面．

20.(本題滿分15分)已知：函數對一切實數都有成立，且.（1）求的值。

（2）求的解析式。

（3）已知，設P：當時，不等式

恒成立；Q：當時，是單調函數。如果滿足P成立的的集合記為，滿足Q成立的的集合記為，求∩（為全集）。參考答案：解析：（1）令，則由已知

∴

（3分）

（2）令，則

又∵

∴

（3分）

（3）不等式

即

即

當時，，

又恒成立故

（3分）

又在上是單調函數，故有∴

（3分）∴∩=

（3分）21.（本小題滿分14分）遞增等比數列中（），已知，，，成等差數列.（1）求數列的通項公式；（2）若恒成立，求實數的取值范圍；（3）記的前項和為（），求證.參考答案：（1）依題意可列得：，化簡可得：，……1分即為：，解得：，或，………………2分而數列{}是遞增數列，故，………………3分則.………………4分(2)依題意可列得：，即：，①