北京勁松某中學(xué)2023-2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)理第一次診斷性考試含解析

北京勁松第四中學(xué)2023-2024年高二數(shù)學(xué)理第一次診斷性考

試含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.若樣本數(shù)據(jù)X|,X2，…，Xio的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2X]-1,2x2-1,…，2x10-1的標(biāo)準(zhǔn)

差為（）

A.8B.15C.16D.32

參考答案：

C

【考點】極差、方差與標(biāo)淮差.

【分析】根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差和方差之間的關(guān)系先求出對應(yīng)的方差，然后結(jié)合變量之間的方差關(guān)系

進(jìn)行求解即可.

【解答】解：?.?樣本數(shù)據(jù)刈，X2,...?XI0的標(biāo)準(zhǔn)差為8,

??.亞:8,即DX=64,

數(shù)據(jù)2xi-l,2x2-1,…，2xio-1的方差為D（2X-1）=4DX=4x64,

則對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為的（2X-1）=5/4X64=16,

故選：C.

【點評】本題主要考查方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計算，根據(jù)條件先求出對應(yīng)的方差是解決本題的關(guān)

鍵.

+1&0.

■x+yNO,

2.若實數(shù)%＞滿足卜W0，則z=x+2＞的最小值是

2

A.0B.2C.1D.2

參考答案：

A

3.（"寸的展開式一中一的系數(shù)為（）

5

A.10B.5C.2D.1

參考答案：

C

略

4.等差數(shù)列｛°J的前n項和Z滿足'二/，則其公差d等于（）

A.2B.4C.±2D.±4

參考答案：

A

5.若/,〃?是兩條不同的直線，〃?垂直于平面a,則是“〃a”的

（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

參考答案：

B

【分析】

利用直線與平面垂直的關(guān)系，再利用充要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】由‘，■是兩條不同的直線，W垂直于平面。，則可能或

“ca、、，

反之，則"_Lm，，，

所以V*是兩條不同的直線，網(wǎng)垂直于平面。，則Vw“是“〃Q”的必要不充分條件，

故選B.

【點睛】本題主要考查了空間中直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及充要條件的判定，其

中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，準(zhǔn)確利用充要條件的判定方法是解答

的關(guān)鍵，著重考杳了分析句題和解答問題的能力，屬「基礎(chǔ)題.

6.定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，乂是周期函數(shù)，T是它的一個正周期.若將方程

f(x)=0在閉區(qū)間［-T,T］上的根的個數(shù)記為n,則n可能為()

A.0B.1C.3D.5

參考答案：

D

【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的周期性.

【分析】分別分析(0,T)和(-T,0)函數(shù)的根的數(shù)量.

【解答】解：因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以在閉區(qū)間［-T,T］,一定有f(0)=0,

VT是f(x)的一個正周期，所以f(0+T)=f(0)=0,即f(T)=0,所以f(-T):-f

(T)=0,

???-T、0、T是f(x)=0的根，若在(0,T)上沒有根，則恒有f(x)>0或f(x)<

0：

不妨設(shè)f(x)>0,則(-T,0)時，f(x)VO,但又有f(x)=f(x+T)>0,矛

盾.

X工工

???f(x)=0在(0,T)上至少還有一個根.由于f(?/)=?f(。)=f(-2),

同理，在(?T,0)上也至少還有一個根，

???至少有5個根.

故選I)

7,下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量X(噸)與相應(yīng)的

生產(chǎn)能耗了(噸)的兒組對應(yīng)數(shù)據(jù)

Xa456

y2.5t44.5

根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出了關(guān)于X的線性回歸方程為y=°7X+°35,那么表中Z的值

為()

A.3B.3.15C.

3.5D.4.5

參考答案:

A

略

8.已知數(shù)列瓜｝的通項為aEogw(n+2)(nWM),我們把使乘積E?a??a3?…?/為整

數(shù)的n叫做“優(yōu)數(shù)”，則在(0,2015］內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為()

A.1024B.2012C.2026D.2036

參考答案：

C

【考點】數(shù)列遞推式.

【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】由題意可得,a1?a2--a1,=log23?log34---lognH(n+2)

IgWlg4-("2)

=Ii2xIg3x-xlg(n+1)=log2(n+2),若使log?(n+2)為整數(shù)，則n+2=2)在

(1,2010］內(nèi)的所有整數(shù)可求，進(jìn)而利用分組求和及等比數(shù)列的求和公式可求.

【解答】解：Va?=logn-i(n+2)

:.ai?a2,**3,,=1ogj3?1og34,?,1ognu(n+2)

lg3lg4-("2)

=lg2xlg3x—x1g(n+1)

lg(n+2)

=lg2=log2(n+2),

若使log,(n+2)為整數(shù),則n+2=2k

在(1,2015］內(nèi)的所有整數(shù)分別為：2?-2,2"2，…，2,0-2

4(L2與

，所求的數(shù)的和為22-2+23-2+…+2”-2=1-2-2X9=2026

故選：C.

【點評】本題以新定義“優(yōu)數(shù)”為切入點，主要考查了對數(shù)的換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)

的應(yīng)用，屬于中檔試題.

x-4y<-3

,3x+5?<25

9.已知目標(biāo)函數(shù)z=2x+y且變量x,y滿足下列條件卜？［，則（）

A.ZE=12,z.in=3B.z??=12,無最小值

C.無最大值，zrin=3D.無最小值也無最大值

參考答案:

C

10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f*）="2+如+（；的圖象如圖所示，則/3）的圖象可能是

D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

II.命題”對任意工￡上都有』對”的否定為

參考答案：

存在1>￡及，使得W"

全稱命題的否定為其對應(yīng)的特稱命題，貝I：

命題“對任意x￡R,都有乂：」產(chǎn)的否定為存在'KI使得S"

12.已知拋物線經(jīng)對點P（4,-2）,則其標(biāo)準(zhǔn)方程是—

參考答案：

x三-8y或y2=x

【考點】K8：拋物線的簡單性質(zhì).

【分析】根據(jù)題意，分析可得拋物線開口向下或向右，分2種情況討論，求出拋物線的方

程，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，拋物線經(jīng)過點P(4,-2),則拋物線開口向下或向右，

若拋物線開口向下，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為x?=-2py,

將P(4,-2)代入可得(4)2=-2pX(-2),解可得-2p=-8,

則此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x?=-8y,

若拋物線開M向右，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px,

將P(4,-2)代入可得(?2)2=2PX4,解可得2P=1,

則此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=x,

綜合可得：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x?=-8y或yJx；

故答案為：X、-8y或y2=x.

13.如圖所示,正方體ABCD-ABCD的棱長為2,線段BD上有兩個動點E,F且EF=2,

則下列結(jié)論中正確的有.

(1)AC1AE；

(2)EF〃平面ABCD；

(3)三棱錐A-BEF的體積為定值：

(4)異面直線AE,BF所成的角為定值.

參考答案:

(2)(3)

【考點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

【分析】由線面垂直證得兩線垂直判斷(1)；

由線面平行的定義證得線面平行判斷(2)；

由棱錐的高與底面積都是定值得出體積為定值判斷(3)；

由兩個極端位置說明兩異而直線所成的角不是定值判斷(4).

【解答】解：對于（1）,由題意及圖形知，AC1AE,故（1）不正確；

對于（2）,由正方體ABCD-ABCD的兩個底面平行，EF在其一面上，故EF與平面ABCD

無公共點，故有EF〃平面ABCD,故正確；

對于（3）,由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點到面DDBB,故可

得三棱錐A-BEF的體積為定值，故正確；

對于（4）,由圖知，當(dāng)F與&重合時，與當(dāng)E與5重合時，異面直線AE、BF所成的角不

相等，故不為定值，故錯誤.

???正確命題的序號是（2）（3）.

故答案為（2）（3）.

【點評】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，解答本題關(guān)鍵是正確理解正方體的幾何性質(zhì)，且能根

據(jù)這些幾何特征，對其中的點線面和位置關(guān)系作出正確判斷.熟練掌握線面平行的判斷方

法，異面直線所成角的定義以及線面垂直的證明是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題.

14.已知向量8=(0,-1,1)卜(4,1,0)入且X>0,則

X=_________

參考答案：

【考點】平面向量數(shù)量積的運算.

【分析】根據(jù)所給的向量坐標(biāo)寫出要求模的向量坐標(biāo)，用求模長的公式寫出關(guān)于變量X

的方程，解方程即可，解題過程中注意對于變量的限制，把不合題意的結(jié)果去掉.

【解答】解：?/5(0,-1,1),b=(4,1,0)：.xa+b=(4,1-x,人)，

/.16+(X-1)2+入2=29(X>0),

:.X=3,

故答案為：3.

15pVteR,smxWl,則命題［P

為________________________________________________

參考答案：

3x,€R.sinx,>1

X=￡+3

16.在平面直角坐標(biāo)系中，直線？的參數(shù)方程為-'(參數(shù)￡WR),圓C的參

x-2cos8

數(shù)方程為L=2sme+2(參數(shù)8w[0,2%,則圓C的圓心坐標(biāo)為,圓心到直線，

的距離為—

參考答案：

(0,2)2尤__

17.已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果標(biāo)=(2,-1,-4),AD-

(4,2,0),AP=(-1,2,-1).對于結(jié)論：?AP1AB；②AP_LAI)；③翩是平面ABCI)

的法向量；④/〃近.其中正確的尾

參考答案:

①②③

【考點】Ml：空間向量的概念.

【分析】利用向量垂直與平行的性質(zhì)能求出結(jié)果.

【解答】解：由斌(2,-1,-4),AD-(4,2,0),AF-(-1,2,-1),知：

在①中,AP?AB=-2-2+4=0,.-.,ff±AB,AAP1AB,故①正確;

在②中,AF?AD=-4+4+0=0,AAP1AC,AAP1AD,故②正確；

在③中,由AP_LAB,APIAD,ABPAD=A,知AP是平面ABCD的法向量，故③正確;

在④中,而二標(biāo)-強=(2,3,4),

‘-1二2九

<2=3X

假設(shè)存在X使得而二人玩,則-1=4X,無解,

/.WBD.故④不正確;

綜上可得：①②③正確.

故答案為：①②③.

三、解答題，木大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.(本小題滿分10分)已知"BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c

2acosC=bcosC+ccosB.

（1）求角C的大小;

(2)若c=幣,a2+b2=\0,求A4BC的面積.

參考答案：

解：(1)???△A4C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,h,c,2acosC=bcosC+ccosIL

2sinAcosC=sinBcosC+siitCcosB,

A+B+C=K,/.2sinAcosC=sin(B+C)-sinA,

12L

cosC=2,ZC=3.(5分)

n

(2)(?=V7,a2+b2=10?,3,

???由余弦定理得：(r=a2+b2-2abeosC,

即7=10-abi解得ab=3,

117t3J3

「.△ABC的面積s=5absme笈X3XsiyK.QU分)

19.（本小題滿分12分）己知點（1,3）是函數(shù)/S）=ar（a>°,且4=1）的圖象上一

點，等比數(shù)列｛&）的前看項和為78）-c,數(shù)列的首項為匕，且前刃項和工

滿足S*-S?4=A/^（??>2）

（I）求數(shù)列SJ和｛瓦｝的通項公式

（ID求數(shù)列（久兒?，前用項和為4

m

參考答案:

⑴???/(1)“=:/⑶嗚)

為=[7(3)-c]-[/(2)-c]=9

4

a18121

a,=—==-一=--c

出_工33

又?jǐn)?shù)列｛&)成等比數(shù)列，27,所以c=l；

利二不

又公比,3,所以3分

??,S/Sz=（病-悶（區(qū)+師卜后+瓦（心2）

又2>°>。，二=1.

數(shù)列（圖構(gòu)成一個首相為1公差為1的等差數(shù)列，拘=1+卜-9幻=，，之二/

當(dāng)q2,4=與-$1=/-("1『=2T；

[4=2?l("eAT)；.....................7分

1111

4」+—+?

（2）物44物斗&]1x33x55x7…(2?-l)x(2?+l)

=；(1-9+氐)9+；t?9?…+g(擊2^-1?2?.+1

二撲￡上島

12分

20.已知S-5+9*13+...+101,分別用“For”語句和“While”語句描述計算S這一問題的算

法過程。

參考答案:

S^(k'

S-皿1-5"

5To101Step“WhileI<=101“

S-S-US-S*

IT4

PrintS“

PrintS/

無

21.設(shè)銳角三角形.C的內(nèi)角4&C的對邊分別為a從%a=2ismH.

(I)求B的大??；

(II)求co$4+sinC的取值范圍.

參考答案，

sin5=-

(I)由a=?sind,得$in4=2sinBsm4,所以2,

八B」

由A4FC為銳角三角形得6......3分

..(n

cosH+sinC=cos^+smln---J4I：=coSz+sin—+為

(II)16J【6

=coSi4+—cos?^+—$mJ4