初升高數(shù)學(xué)最值垂線段最值 +三邊關(guān)系最值【學(xué)生版】

單一線段最值

目標(biāo)層級(jí)圖

一,“垂線段最短問題”

模型(一)模型(-)

例1.如圖，AABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連

接PC,則線段PC的最小值是

例2.如圖，AABC中，AC=3>/2,BC=5,AB=7,有一點(diǎn)P在AC上移動(dòng)，則AP+BP+CP

的最小值為.

例3.如圖，0C平分NA08,點(diǎn)P是0C上一點(diǎn)，PMJ_08于點(diǎn)M,點(diǎn)N是射線0A上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若0M=4,OP=5,則PN的最小值為

0VB

2

例4.在銳角三角形ABC中，BC=3>/2,ZABC=45°,BD平分NABC,M、N分別是BD、

BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM十MN最小值是

過關(guān)檢測(cè)

1.如圖，RSABC中，AC=3,AB=5,D為直線AB（與A、B可重合）上一動(dòng)點(diǎn)，連接

CD,則線段CD的最小值是,線段CD取值范圍。

2.如圖，在AACB中，有一點(diǎn)P在AC上移動(dòng)，若AB=AC=5,BC=6,則AP+BP+CP的最

小值為.

3.如圖，在RSA5C中，AB=6,ZBAC=30%N84C的平分線交8c于點(diǎn)O,E,尸分別

是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BE+EF的最小值是,

C

3

其他“垂線段最短問題”

例1.如圖，直角三角形A8C中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)。是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

過點(diǎn)。作DE±AC于七點(diǎn),DFLBC于F點(diǎn)，連接E凡則線段EF長的最小值為

例2.如圖，矩形ABCD中，BC=IO,ZBAC=30°,若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、

N,使BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值

過關(guān)檢測(cè)

1.如圖，在RS4BC中，ZBAC=90°,且BA=3,AC=4,點(diǎn)O是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

過點(diǎn)D分別作OM_LA8于點(diǎn)M.OML4C于點(diǎn)N,連接MN,則線段MN的最小值為

2.如圖，矩形ABCD中，ZBAC=30\BC=12,若在AB、AC上各取一點(diǎn)N、M,使得

BM+MN的值最小，這個(gè)最小值為.

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3.在已知等腰△ABC,AB=AC,BC=4,BC邊上高為3,作內(nèi)接矩形DEFG,使一邊EF在邊

BC上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)D,G分別在邊AB,AC上，則對(duì)角線EG長最小值為

二.三邊關(guān)系解決最值問題

1.三角形的三邊關(guān)系:兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.|a?b&工a+b,當(dāng)A,B,C三點(diǎn)

共線時(shí),c最小值=|a?b|,c最大值=a+b.利用三角形的三邊關(guān)系可以巧解幾何最值問題.

例1.閱讀與理解：圖1是邊長分別為6和2的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和CDE疊放在一起（C

與C重合）的圖形.

旋轉(zhuǎn)aCDE,請(qǐng)你猜想當(dāng)a為多少度時(shí)，線段AD的長度最大是多少？當(dāng)a為多少度時(shí)，線段

AD的長度最小是多少？

例2.如圖，在邊長為2的正方形中，?是的中點(diǎn)，F(xiàn)是4）邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將

沿所所在直線折疊得到AGE/L連接GC,則GC長度的最小值是.

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例3.如圖，NMON=90,矩形A8CD的頂點(diǎn)AB分別在邊QW,QV上，當(dāng)B在邊ON上

運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形45C3的形狀保持不變，其中AB=4,BC=2,運(yùn)動(dòng)

過程中點(diǎn)D到點(diǎn)。的最大距離是.

過關(guān)檢測(cè)

1.如圖(1),已知是等腰直角三角形，NB4C=90。，點(diǎn)。是3c的中點(diǎn).作正方形

DEFG,使點(diǎn)4、C分別在OG和上，連接AE、BG.

(1)若BC=DE=m,正方形DEFG繞點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度a(0°<a<360°)過程

中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，求A/為值.

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2.如圖，△"（：、△EFG均是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)。是邊8C、EF的中點(diǎn)，直線AG、

FC相交于點(diǎn)M.當(dāng)AEFG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段BM長的最大值是

3.如圖，在邊長為2的菱形43。中，ZA=60°,M是4力邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一

動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到ZVlMN,連接AC,則4C長度的最小值是

4.如圖，NMON=90,邊長為2的等邊三角形A8C的頂點(diǎn)A8分別在邊上當(dāng)5在

邊OV上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊0M上運(yùn)動(dòng)，等邊三角形的形狀保持不變，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C

到點(diǎn)。的最大距離為.

5.如圖，AABC是邊長為2的等邊三角形，D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，BE_LAD于E,則CE的

最小值為___________

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學(xué)習(xí)任務(wù)

1.如圖，矩形ABCD中，N84C=30'，BC=8,若在AB、AC上各取一點(diǎn)N、M,使得BM+MN

的值最小，這個(gè)最小值為.

2.如圖，AABC中，AC=3>/2,BC=5,AB=7,有一點(diǎn)P在AC上移動(dòng)，則AP+BP+CP的

最小值為.

3.（2020?成都模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=3,8c=4,點(diǎn)E是A邊上一點(diǎn)，且AE=G,

點(diǎn)尸是邊8c上的任意一點(diǎn)，把ME廠沿所翻折，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G,連接AG,CG,

則四邊形AGCD的面積的最小值為

4.如圖，AABC中，AB=BC=AC=10,D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊的中點(diǎn)，將AADE

沿DE翻折得到△ADE,連接BA',則BA，的最小值是.

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5.如圖E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE二DF,連接CF交BD于G,

連接BE交AG于點(diǎn)H,若正方形的邊長為2,則線段DH的最小值是.

6.如圖，在△ABC中，ZACB=9C°,AB=5,BC=3,P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合）,

將4BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B9P,連接B，A,則B，A長度的最小值

是.

7.如圖，在矩形A