廣西南寧市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

廣西南寧市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則A. B. C. D.2【正確答案】C【詳解】試題分析：由題意得，，∴，故選C.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.2.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A B.3 C. D.或2【正確答案】A【分析】求出，再利用共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式得解【詳解】因?yàn)橄蛄?，所以，又因?yàn)?，所以，所?故選：A本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及利用共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.3.體育老師記錄了班上10名同學(xué)1分鐘內(nèi)的跳繩次數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是（）A.98 B.99 C.99.5 D.100【正確答案】C【分析】根據(jù)分位數(shù)的定義即可求得答案.【詳解】這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是.4.已知圓柱和圓錐的高相等，底面半徑均為2，若圓柱的側(cè)面積是圓錐的側(cè)面積的倍，則圓柱的表面積為（）A.8π B.12π C.16π D.24π【正確答案】C【分析】估計圓柱的側(cè)面積是圓錐的側(cè)面積的倍求出圓柱和圓錐的高，求出圓柱的表面積.【詳解】設(shè)圓柱和圓錐的高均為，因?yàn)閳A柱的側(cè)面積是圓錐的側(cè)面積的倍，所以，所以，所以圓柱的表面積為.故選：C.5.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的公差為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量的計算即可求解.【詳解】由，故，則，由得，故，故公差為，故選：C6.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】依題意在區(qū)間上恒成立，參變分離可得在區(qū)間上恒成立，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可解得.【詳解】解：在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，而在上單調(diào)遞增，，，即.故選：D.7.已知，，則下列結(jié)論中不正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象【正確答案】C【分析】化簡解析式，求得函數(shù)的表達(dá)式，由此判斷出A,B,C選項(xiàng)的正確性，根據(jù)函數(shù)圖象變換的知識判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】依題意，所以.所以的最小正周期為，最大值為，所以A,B選項(xiàng)正確.當(dāng)時，，所以直線時的對稱軸，不是的對稱中心，故C選項(xiàng)不正確.由于，所以將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象.故D選項(xiàng)正確.綜上所述，不正確的是C選項(xiàng).故選：C本小題主要考查二倍角公式，考查三角函數(shù)的周期性、最值和對稱性，考查三角函數(shù)圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由為奇函數(shù)得對稱中心為0,1，結(jié)合為偶函數(shù)，求周期為，從而求出，即可得到的值.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，且函數(shù)的圖象關(guān)于0,1中心對稱，即，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，則，所以，，所以，故的周期為，因?yàn)?，所以，故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，求對稱中心和對稱軸，推函數(shù)的周期，關(guān)于抽象函數(shù)考查對稱性和周期性的綜合題，一般都是借助題中的條件找到對稱中心和對稱軸再推周期.二、多選題9.對于直線與圓，下列說法正確的是（）A.過定點(diǎn) B.的半徑為9C.與可能相切 D.被截得的弦長最小值為【正確答案】AD【分析】根據(jù)含參直線方程求定點(diǎn)坐標(biāo)判斷項(xiàng)；根據(jù)圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化判斷項(xiàng)；根據(jù)直線所過定點(diǎn)在圓內(nèi)，知直線與圓必相交判斷項(xiàng)；當(dāng)直線與過定點(diǎn)和圓心的直線垂直時，被截得的弦長最小，從而計算弦長最小值可判斷項(xiàng).【詳解】對于，可變形為，由得所以直線過定點(diǎn)，故正確；對于，圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的半徑為，故錯誤；對于，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與不可能相切，故錯誤；對于，設(shè)直線所過定點(diǎn)為，則當(dāng)直線時，直線被截得的弦長最小.因?yàn)閳A心，所以，所以直線的斜率，解得，此時直線.因?yàn)閳A心到直線的距離，所以弦長，故正確.故選.10.已知，且，，則（）A.B.C.D.【正確答案】BCD【分析】由正切關(guān)系得到正余弦關(guān)系，結(jié)合，分別求出和，判斷出AB選項(xiàng)，再由二倍角公式和和差角公式判斷出CD選項(xiàng).【詳解】∵，即，∴，∴，∴，B選項(xiàng)正確，∴，A選項(xiàng)錯誤，∴，C選項(xiàng)正確，∵，∴，∴，D選項(xiàng)正確.故選：BCD11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，若有三個零點(diǎn)，則的取值范圍是B.當(dāng)且時，C.若滿足，則D.若存在極值點(diǎn)，且，其中，則【正確答案】AD【分析】對于A，將代入求導(dǎo)求極值，有三個零點(diǎn)，則令極大值大于零，極小值小于零即可；對于B，利用的性質(zhì)，得到且，再利用在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求解；對于C，根據(jù)，推斷函數(shù)的對稱性，進(jìn)而可以求得，即可判斷結(jié)果；對于D，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，得到，進(jìn)而可得，令，結(jié)合，再化簡即可得到答案.【詳解】對于選項(xiàng)A，當(dāng)時，，，由，得到或，由，得到，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，；減區(qū)間為，故在處取到極大值，在處取到極小值，若有三個零點(diǎn)，則，得到，故選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，當(dāng)時，，又，即，由選項(xiàng)A知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，等號成立，故選項(xiàng)B錯誤，對于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，所以關(guān)于點(diǎn)中心對稱，又的定義域?yàn)?，所以，整理得到，所以選項(xiàng)C錯誤，對于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，由題有，即，由，得到，令，則，又，所以，得到，整理得到，又，代入化簡得到，又，，所以，得到，即，所以選項(xiàng)D正確，故選：AD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)D，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，得到，進(jìn)而可得，再通過令，結(jié)合條件得到，再代入，化簡得到，從而解決問題.三、填空題12.設(shè)集合，若，則______．【正確答案】1【分析】根據(jù)子集關(guān)系，分別討論的值，然后檢驗(yàn)是否符合題意.【詳解】由已知得，若，即，此時，符合題意；若，即，此時，不符合題意；若，即，此時，不符合題意.綜上所述，．故1．13.第21屆“東盟博覽會”于2024年9月24號至9月28號在南寧召開，某記者與參會的4名國際友人代表一起合影留念（5人站成一排）.若記者不站中間，國際友人甲不站兩邊則有_______種排法.【正確答案】60【分析】首先計算出沒有任何限制條件時的全排列數(shù)，然后減去不符合條件的排列數(shù)，就可以得到滿足條件的排法數(shù).【詳解】5個人全排列的總數(shù)為種.當(dāng)記者站中間時，其余4人全排列，排法數(shù)為種.當(dāng)國際友人甲站兩邊（有兩種站法），其余4人全排列，排法數(shù)種.當(dāng)記者站中間且國際友人甲站兩邊時（甲有兩種站法），其余3人全排列，排法數(shù)為種.滿足條件的排法數(shù)等于全排列數(shù)減去記者站中間的排法數(shù)減去國際友人甲站兩邊的排法數(shù)再加上記者站中間且國際友人甲站兩邊的排法數(shù)，即種.故60.14.在秋冬季節(jié)，疾病的發(fā)病率為，病人中表現(xiàn)出癥狀，疾病的發(fā)病率為，病人中表現(xiàn)出癥狀，疾病的發(fā)病率為，病人中表現(xiàn)出癥狀.則任意一位病人有癥狀的概率為_______，病人有癥狀時患疾病的概率為_______（癥狀只在患有疾病，，時出現(xiàn)）【正確答案】①.##②.##【分析】根據(jù)全概率公式和貝葉斯公式計算可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：，，，，，，由全概率公式可知：，即任意一位病人有癥狀的概率為，由貝葉斯公式可知：，即病人有癥狀時患疾病的概率為.故，.四、解答題15.某工廠注重生產(chǎn)工藝創(chuàng)新，設(shè)計并試運(yùn)行了甲、乙兩條生產(chǎn)線．現(xiàn)對這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行評估，在這兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取了300件進(jìn)行測評，并將測評結(jié)果（“優(yōu)”或“良”）制成如下所示列聯(lián)表：良優(yōu)合計甲生產(chǎn)線4080120乙生產(chǎn)線80100180合計120180300（1）通過計算判斷，是否有的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系？（2）現(xiàn)對產(chǎn)品進(jìn)行進(jìn)一步分析，在測評結(jié)果為“良”的產(chǎn)品中按生產(chǎn)線用分層抽樣的方法抽取了6件產(chǎn)品．若在這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，求這3件產(chǎn)品中產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的件數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附表及公式：0.150.100.0500250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中．【正確答案】（1）有的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系（2）的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表,求得,即可判斷；（2）用分層抽樣的方法抽取6件產(chǎn)品，從甲、乙生產(chǎn)線分別抽取2,4件，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.【小問1詳解】，所以有的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系.【小問2詳解】在測評結(jié)果為“良”的產(chǎn)品中按生產(chǎn)線用分層抽樣的方法抽取6件產(chǎn)品，則應(yīng)在甲生產(chǎn)線抽取件產(chǎn)品，在乙生產(chǎn)線抽取件產(chǎn)品，由題意可知：，則：，可得的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望.16.已知的三個內(nèi)角所對的邊分別是．已知（1）求角；（2）若點(diǎn)在邊上，，請在下列兩個條件中任選一個，求邊長．①為的角平分線；②為的中線．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角公式及兩角和的正弦公式求得，即可得答案；（2）選①，由，根據(jù)三角形面積公式求得，由余弦定理得.選②，得，平方后利用向量的運(yùn)算可得，由余弦定理得.【小問1詳解】在中，由正弦定理知，所以，又，所以，，又，，化簡得，即，又，所以．【小問2詳解】選①，為的角平分線，由得：，即，所以，又，所以，在中，由余弦定理得，所以.選②，為的中線，則，平方得，所以，所以，又，所以，在中，由余弦定理得，所以.17.如圖，四棱錐中，底面，，分別為線段上一點(diǎn)，.（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）求直線與平面所成角正弦值的最大值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，先證四邊形為平行四邊形，有，再由線面平行的判定定理，得證；（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】證明：由已知得，取的中點(diǎn)T，連接，由N為的中點(diǎn)知，．又，故，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面．【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系．，不妨設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z，取，則.設(shè)直線與平面所成角為.故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)時，，恒成立，求實(shí)數(shù)最大值；（3）當(dāng)時，證明：，.【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）當(dāng)時，求導(dǎo)，利用在一點(diǎn)求切線方程的方法進(jìn)行求解即可；（2）將代入不等式，和參變分離，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題即可；（3）由（2）知，當(dāng)時，有，即，再進(jìn)行放縮證明即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，又，即在處的切線斜率為，又，即切點(diǎn)，則切線方程為：，即.【小問2詳解】因?yàn)?，，?dāng)時，恒成立，所以

設(shè)，，則，令，則，令，則當(dāng)時，有，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故，即，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故，即，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故，所以，所以實(shí)數(shù)的最大值為.【小問3詳解】由（2）知，當(dāng)時，，可得，即，設(shè)，取，所以，即

，則，因?yàn)?，所以，即i=1n22i2方法點(diǎn)睛：用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，具體步驟如下：（1）分離參數(shù)(注意分離參數(shù)時自變量x的取值范圍是否影響不等號的方向)．（2）轉(zhuǎn)化：①若對恒成立，則只需；②若對恒成立，則只需；③若，使得有解，則只需；④若，使得有解，則只需.（3）求最值．19.定義：若橢圓上的兩個點(diǎn)，滿足，則稱A，B為該橢圓的一個“共軛點(diǎn)對”，記作．已知橢圓C：上一點(diǎn)．（1）求“共軛點(diǎn)對”中點(diǎn)B所在直線l的方程．（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在橢圓C上，且，（1）中的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)．①求點(diǎn)，的坐標(biāo)；②設(shè)四點(diǎn)，P，，Q在橢圓C上逆時針排列，證明：四邊形的面積小于．【正確答案】（1）（2）①，；②證明見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)“共軛點(diǎn)對”得直線方程為，化簡即可；（2）①聯(lián)立直線和橢圓的方程，解出即可；②設(shè)點(diǎn)，，利用點(diǎn)差法得，設(shè)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線的方程為，計算直線與橢圓相切時的值，再檢驗(yàn)證明此時不滿足，則證明出面積小于.【小問1詳解】設(shè)中點(diǎn)B的坐標(biāo)為，對于橢圓C：上的點(diǎn)，由“共軛點(diǎn)對”的定義，可知直線l的方程為，即l：．【小問2詳解】①聯(lián)立直線l和橢圓C的方程，得解得或，所以直線l和橢圓C的兩個交點(diǎn)