2024-2025學年河北省邯鄲市高三上學期第一次月考數學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年河北省邯鄲市高三上學期第一次月考數學檢測試卷考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡相應位置上.3．請按照題號順序在各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4．考試結束后，將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某地有8個快遞收件點，在某天接收到的快遞個數分別為360，284，290，300，188，240，260，288，則這組數據的百分位數為75的快遞個數為（）A.290 B.295 C.300 D.330【正確答案】B【分析】根據百分位數的知識求得正確答案.【詳解】將數據從小到大排序為：188，240，260，284，288，290，300，360，，所以分位數為.故選：B2.已知數列是無窮項等比數列，公比為，則“”是“數列單調遞增”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【正確答案】D【分析】根據等比數列的首項、公比的不同情形，分析數列的單調性，結合充分條件、必要條件得解.【詳解】若，，則數列an單調遞減，故不能推出數列an單調遞增；若an單調遞增，則，，或，，不能推出，所以“”是“數列an單調遞增”的既不充分也不必要條件，故選：D．3.已知圓與雙曲線的漸近線相切，則該雙曲線的離心率是A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由雙曲線方程，求得其一條漸近線的方程，再由圓，求得圓心為，半徑，利用直線與圓相切，即可求得，得到答案．【詳解】由雙曲線，可得其一條漸近線的方程為，即，又由圓，可得圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，則，可得，故選C．本題主要考查了雙曲線的離心率的求解，以及直線與圓的位置關系的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．4.已知向量，，若向量在向量上的投影向量為，則（）A. B. C.2 D.【正確答案】A【分析】根據向量投影的概念運算求出，再利用向量數量積運算求得結果.【詳解】由題在上的投影向量為，又，，即，.故選：A.5.冬奧會會徽以漢字“冬”（如圖1甲）為靈感來源，結合中國書法的藝術形態(tài)，將悠久的中國傳統文化底蘊與國際化風格融為一體，呈現出中國在新時代的新形象?新夢想.某同學查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學要求.該同學取端點繪制了△ABD（如圖乙），測得，若點C恰好在邊BD上，請幫忙計算sin∠ACD的值（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先根據三條邊求出，利用平方關系得到，即可根據等腰三角形求解.【詳解】由題意，在中，由余弦定理可得，，因為，所以，在中，由得，故選：C6.2023年9月8日，杭州第19屆亞運會火炬?zhèn)鬟f啟動儀式在西湖涌金公園廣場舉行．秉持杭州亞運會“綠色、智能、節(jié)儉、文明”的辦賽理念，本次亞運會火炬?zhèn)鬟f線路的籌劃聚焦簡約、規(guī)模適度．在杭州某路段傳遞活動由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能從甲、乙、丙中產生，最后一棒火炬手只能從甲、乙中產生，則不同的傳遞方案種數為（）A.18 B.24 C.36 D.48【正確答案】B【分析】分第一棒為丙、第一棒為甲或乙兩種情況討論，分別計算可得.【詳解】當第一棒為丙時，排列方案有種；當第一棒為甲或乙時，排列方案有種；故不同的傳遞方案有種.故選：B7.已知是三角形的一個內角，滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由已知利用同角三角函數基本關系式,可求的值，進而利用三角函數恒等變換的應用化簡，即可計算得解．【詳解】因為，兩邊平方得，即，可得，因為是三角形的一個內角，且，所以，所以，得，又因為，，聯立解得：，，故有：，從而有．故選：B．8.已知橢圓：的焦點分別為，，點在上，點在軸上，且滿足，，則的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】設，先根據，得，，代入橢圓方程可得，進而解方程可得.【詳解】如圖，：的圖象，則，，其中，設，，則，，，，因，得，故，得，由得，得即，得由，得，又，，化簡得，又橢圓離心率，所以，得.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數，，，則（）A. B.的實部依次成等比數列C. D.的虛部依次成等差數列【正確答案】ABC【分析】由題意由復數乘除法分別將化簡，再由復數加法、共軛復數的概念即可判斷A；復數的實部、虛部以及等差數列、等比數列的概念即可判斷BD，由復數模的運算即可判斷C.【詳解】因為，，所以，所以，故A正確；因為，，的實部分別為1，3，9，所以，，的實部依次成等比數列，故B正確；因為，，的虛部分別為，，1，所以，，的虛部依次不成等差數列，故D錯誤；，故C正確.故選：ABC10.已知函數的部分圖象如圖所示．則（）A.的圖象關于中心對稱B.在區(qū)間上單調遞增C.函數的圖象向右平移個單位長度可以得到函數的圖象D.將函數的圖象所有點的橫坐標縮小為原來的，得到函數的圖象【正確答案】ABD【分析】由題意首先求出函數的表達式，對于A，直接代入檢驗即可；對于B，由復合函數單調性、正弦函數單調性判斷即可；對于CD，直接由三角函數的平移、伸縮變換法則進行運算即可.【詳解】由圖象可知，，解得，又，所以，即，結合，可知，所以函數的表達式為，對于A，由于，即的圖象關于中心對稱，故A正確；對于B，當時，，由復合函數單調性可知在區(qū)間上單調遞增，故B正確；對于C，函數的圖象向右平移個單位長度可以得到函數，故C錯誤；對于D，將函數的圖象所有點的橫坐標縮小為原來的，得到函數的圖象，故D正確.故選：ABD.11.定義在R上的函數滿足，，.若，記函數的最大值與最小值分別為、，則下列說法正確的是（）A.為的一個周期 B.C.若，則 D.在上單調遞增【正確答案】ABC【分析】結合已知求得為的一個周期，從而A正確；將等式兩側對應函數分別求導，得，即可判斷B正確；利用中心對稱性質求值判斷C正確；根據函數的性質判斷D錯誤.【詳解】由，將x替換成，得．因為，由上面兩個式子，．將x替換成，，所以．所以，所以為的一個周期，A正確；將等式兩側對應函數分別求導，得，即成立，B正確；滿足，即函數圖象關于點中心對稱，函數的最大值和最小值點一定存在關于點中心對稱的對應關系，所以，解得，C正確；已知條件中函數沒有單調性，無法判斷在上是否單調遞增，D錯誤.故選：ABC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若集合，，，則的最小值為__________.【正確答案】6【分析】先求出集合，然后由，從而求解.【詳解】由，解得，所以，因為，，所以，所以的最小值為.故答案為.13.甲?乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和.若，則__________.【正確答案】##【分析】設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據圓錐的側面積公式可得，再結合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故答案為.14.已知實數，滿足，，則__________．【正確答案】1【分析】由可變形為，故考慮構造函數，判斷函數的單調性，利用單調性化簡等式，由此可求.【詳解】因為，化簡得．所以，又，構造函數，因為函數，在上都為增函數，所以函數在上為單調遞增函數，由，∴，解得，，∴．故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數（1）當時，求在區(qū)間上的最值；（2）若直線是曲線的一條切線，求的值.【正確答案】（1），（2）【分析】（1）求導后，根據正負可確定在上的單調性，由單調性可確定最值點并求得最值；（2）設切點為，結合切線斜率可構造方程組求得和的值.【小問1詳解】當時，，則，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，，，又，，.小問2詳解】由題意知：，設直線與相切于點，則，消去得：，解得：，則，解得.16.“村BA”后，貴州“村超”又火出圈!所謂“村超”，其實是目前火爆全網的貴州鄉(xiāng)村體育賽事一一榕江（三寶侗寨）和美鄉(xiāng)村足球超級聯賽，被大家簡稱為“村超”.“村超”的民族風?鄉(xiāng)土味?歡樂感，讓每個人盡情享受著足球帶來的快樂.某校為了豐富學生課余生活，組建了足球社團.足球社團為了解學生喜歡足球是否與性別有關，隨機抽取了男?女同學各50名進行調查，部分數據如表所示：

喜歡足球不喜歡足球合計男生

20

女生15

合計

100附.0.10.050.010.0050.0012.7063.84166357.87910.828（1）根據所給數據完成上表，依據的獨立性檢驗，能否有的把握認為該中學學生喜歡足球與性別有關？（2）社團指導老師從喜歡足球學生中抽取了2名男生和1名女生示范定點射門.據統計，這兩名男生進球的概率均為，這名女生進球的概率為，每人射門一次，假設各人進球相互獨立，求3人進球總次數的分布列和數學期望.【正確答案】（1）有的把握認為該中學學生喜歡足球與性別有關（2）分布列見解析，【分析】（1）根據男女生各50名及表中數據即可填寫列聯表，然后根據計算從而求解.（2）根據題意可知的所有可能取值為，列出分布列，計算出期望從而求解.【小問1詳解】依題意，列聯表如下：

喜歡足球不喜歡足球合計男生302050女生153550合計4555100零假設：該中學學生喜歡足球與性別無關，的觀測值為，，根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，所以有的把握認為該中學學生喜歡足球與性別有關.【小問2詳解】依題意，的所有可能取值為，，所以的分布列為：0123數學期.17.如圖，多面體由正四棱錐和正四面體組合而成.（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用正四棱錐與正四面體的性質得到多面體的棱長全相等，從而利用線面垂直的判定定理證得四點共面，再利用線面平行的判定定理即可得解；（2）依題意建立空間直角坐標系，利用空間向量法求得線面角，從而得解.【小問1詳解】分別取的中點，連接，由題意可知多面體的棱長全相等，且四邊形為正方形，所以，因為平面，所以平面，同理平面.又平面平面，所以四點共面.又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.【小問2詳解】以為原點，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設，則，所以.設平面的一個法向量為n=x,y,z，則，即，令，則，所以.設與平面所成角為，則，即與平面所成角的正弦值為.18.已知拋物線為拋物線外一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為（在軸兩側），與分別交軸于.（1）若點在直線上，證明直線過定點，并求出該定點；（2）若點在曲線上，求四邊形的面積的范圍.【正確答案】（1）證明見解析，定點（2）【分析】（1）設出直線的方程并與拋物線方程聯立，化簡寫出根與系數關系，結合處的切線方程求得直線所過定點.（2）先求得四邊形的面積的表達式，然后利用導數求得面積的取值范圍.【小問1詳解】設，直線，聯立，可得.在軸兩側，，，由得，所以點處的切線方程為，整理得，同理可求得點處的切線方程為，由，可得，又在直線上，.直線過定點0,2.【小問2詳解】由（1）可得在曲線上，.由（1）可知，，，令在單調遞增，四邊形的面積的范圍為.方法點睛：求解拋物線的切線方程，有兩種方法，一種是利用判別式法，即設出切線的方程并與拋物線方程聯立，化簡后利用判別式為0列方程來求得切線方程；另一種是利用導數的方法，利用導數求得切線的斜率，進而求得切線方程.19.已知有窮數列中的每一項都是不大于的正整數.對于滿足的整數，令集合.記集合中元素的個數為（約定空集的元素個數為0）.（1）若，求及；（2）若，求證：互不相同；（3）已知，若對任意的正整數都有或，求的值.【正確答案】（1），.（2）證明見解析（3）答案見解析【分析】（1）觀察數列，結合題意得到及；（2）先得到，故，再由得到，從而證明出結論；（3）由題意得或，令，得到或，當時得到，當時，考慮或兩種情況，求出答案.【小問1詳解】因為，所以，則；【小問2詳解】依題意，則有，因此，又因為，所以所以互不相同.【小問3詳解】依題意由或，知或.令，可得或，對于成立，故或.①當時，，所以.②當時，或.當時，由或，有，同理，所以當時，此時有，令，可得或，即或.