2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試專題強化練十三微專題2概率模型及應(yīng)用

專題強化練（十三）微專題2概率模型及應(yīng)用1．(2024·河北三模)在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列．現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號n次，n∈N*，每次發(fā)射信號“0”和“1”是等可能的．記發(fā)射信號“1”的次數(shù)為X.(1)當(dāng)n＝5時，求P(X>3)；(2)已知切比雪夫不等式：對于任一隨機變量Y，若其均值E(Y)和方差D(Y)均存在，則對任意正實數(shù)a，有P(|Y－E(Y)|<a)≥1－eq\f(D（Y）,a2).根據(jù)該不等式可以對事件“|Y－E(Y)|<a”的概率作出下限估計．為了至少有96%的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在(0.3，0.7)內(nèi)，試估計信號發(fā)射次數(shù)n的最小值．解：(1)由已知X～B(5，eq\f(1,2))，所以P(X>3)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝Ceq\o\al(4,5)×eq\f(1,2)×(eq\f(1,2))4＋Ceq\o\al(5,5)×(eq\f(1,2))5＝eq\f(5,32)＋eq\f(1,32)＝eq\f(3,16).(2)由已知X～B(n，eq\f(1,2))，所以E(X)＝0.5n，D(X)＝0.25n，若0.3＜eq\f(X,n)＜0.7(n∈N*)，則0.3n＜X＜0.7n，即－0.2n＜X－0.5n＜0.2n，即|X－0.5n|＜0.2n，由切比雪夫不等式P(|X－0.5n|＜0.2n)≥1－eq\f(0.25n,（0.2n）2)，要使得至少有96%的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在(0.3，0.7)內(nèi)，則1－eq\f(0.25n,（0.2n）2)≥0.96，解得n≥156.25，又n∈N*，所以估計滿足題意的信號發(fā)射次數(shù)n的最小值為157.2．(2024·紹興二模)盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2的小球各2個，小球除編號不同外，其余均相同，現(xiàn)從盒中每次取1個球．(1)若有放回地依次隨機取出2個小球，求取出的2個小球上的數(shù)字不同的概率；(2)若不放回地依次隨機取出4個小球，記相鄰小球上的數(shù)字相同的對數(shù)為X(如1122，則X＝2)，求X的分布列及均值E(X).解：(1)設(shè)事件A＝“取出的2個小球上的數(shù)字不同”，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4))＝eq\f(1,2).(2)X的所有可能取值為0，1，2.①當(dāng)相鄰小球上的數(shù)字都不同時，如1212，有2×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2)種，則P(X＝0)＝eq\f(2×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2),Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,3).②當(dāng)相鄰小球上的數(shù)字只有1對相同時，如1221，有2×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2)種，則P(X＝1)＝eq\f(2×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2),Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,3).③當(dāng)相鄰小球上的數(shù)字有2對相同時，如1122，有2×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2)種，則P(X＝2)＝eq\f(2×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2),Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,3).所以X的分布列為X012Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)所以E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,3)＝1.3．(2024·北京卷改編)某保險公司為了解該公司某種保險產(chǎn)品的索賠情況，從合同保險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：索賠次數(shù)01234保單份數(shù)800100603010假設(shè)：一份保單的保費為0.4萬元；前三次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元．假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨立．用頻率估計概率．(1)估計一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差．(ⅰ)記X為一份保單的毛利潤，估計X的均值E(X)；(ⅱ)如果無索賠的保單的保費減少4%，有索賠的保單的保費增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利潤的均值估計值與(ⅰ)中E(X)估計值的大?。猓?1)方法一(正面計算)：記“隨機抽取一份保單，索賠次數(shù)不少于2”為事件A，由索賠次數(shù)不少于2，知索賠次數(shù)為2，3，4,所以P(A)＝eq\f(60＋30＋10,1000)＝eq\f(100,1000)＝eq\f(1,10).方法二(反面計算)：記“隨機抽取一份保單，索賠次數(shù)不少于2”為事件A，由索賠次數(shù)不少于2，可利用間接法計算，則P(A)＝1－eq\f(800＋100,1000)＝eq\f(1,10).(2)(ⅰ)則P(X＝0.4)＝eq\f(800,1000)＝0.8，P(X＝－0.4)＝eq\f(100,1000)＝0.1，P(X＝－1.2)＝eq\f(60,1000)＝0.06，P(X＝－2.0)＝eq\f(30,1000)＝0.03，P(X＝－2.6)＝eq\f(10,1000)＝0.01，故E(X)＝0.4×0.8－0.4×0.1－1.2×0.06－2.0×0.03－2.6×0.01＝0.122.(ⅱ)設(shè)調(diào)整保費后一份保單的毛利潤(單位：萬元)為Y，則對于索賠次數(shù)為0的保單，Y＝0.4×(1－4%)＝0.384，對于索賠次數(shù)為1的保單，Y＝0.4×(1＋20%)－0.8＝－0.32，對于索賠次數(shù)為2的保單，Y＝－0.32－0.8＝－1.12，對于索賠次數(shù)為3的保單，Y＝－1.12－0.8＝－1.92，對于索賠次數(shù)為4的保單，Y＝－1.92－0.6＝－2.52，故E(Y)＝0.384×0.8－0.32×0.1－1.12×0.06－1.92×0.03－2.52×0.01＝0.1252.所以E(X)<E(Y)，則如果無索賠的保單的保費減少4%，有索賠的保單的保費增加20%，這種情況下一份保單毛利潤的均值估計值比(ⅰ)中E(X)估計值大．4．(2024·茂名二模)在一場乒乓球比賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍．比賽采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先，四人通過抽簽兩兩對陣，勝者進入“勝區(qū)”，敗者進入“敗區(qū)”；接下來，“勝區(qū)”的兩人對陣，勝者進入最后決賽；“敗區(qū)”的兩人對陣，敗者直接淘汰出局獲第四名，緊接著，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對陣，勝者晉級最后的決賽，敗者獲第三名；最后，剩下的兩人進行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲第二名．甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p(0<p<1)，且不同對陣的結(jié)果相互獨立．(1)若p＝0.6，經(jīng)抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣?。偾蠹撰@得第四名的概率；②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次的均值；(2)除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗者淘汰，直至決出最后的冠軍．哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由．解：(1)①記“甲獲得第四名”為事件A，則P(A)＝(1－0.6)2＝0.16.②記甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次為隨機變量X，則X的所有可能取值為2，3，4，連敗兩局：P(X＝2)＝(1－0.6)2＝0.16；X＝3可以分為：連勝兩局，第三局不管勝??；敗勝敗；勝敗敗，則P(X＝3)＝0.62＋(1－0.6)×0.6×(1－0.6)＋0.6×(1－0.6)×(1－0.6)＝0.552，X＝4可以分為：前三局?jǐn)賱?，第四局不管勝敗；前三局勝敗勝，第四局不管勝敗，則P(X＝4)＝(1－0.6)×0.6×0.6＋0.6×(1－0.6)×0.6＝0.288.故X的分布列如下：X234P0.160.5520.288故E(X)＝2×0.16＋3×0.552＋4×0.288＝3.128.(2)在“雙敗淘汰制”下，甲獲勝的概率P＝p3＋p(1－p)p2＋(1－p)p3＝(3－2p)p3，在“單敗淘汰制”下