2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專(zhuān)題07函數(shù)的性質(zhì)-單調(diào)性、奇偶性、周期性

專(zhuān)題07函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性、周期性【知識(shí)點(diǎn)梳理】1、函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間：如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是減函數(shù)．=1\*GB3①屬于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；=2\*GB3②任意兩個(gè)自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間=1\*GB3①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．=2\*GB3②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù)．2、函數(shù)的奇偶性函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)判斷與的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）．3、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)．（2）若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．（3）若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)．（4）若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．4、函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱(chēng)函數(shù)為周期函數(shù)，稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的周期．（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱(chēng)這個(gè)最小整數(shù)叫做的最小正周期．【方法技巧與總結(jié)】1、單調(diào)性技巧（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；②變形：作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．②圖象法：就是畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫(xiě)出它們的單調(diào)區(qū)間．（3）記住幾條常用的結(jié)論：①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．2、奇偶性技巧（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)．（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿(mǎn)足．（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同．（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式．記，，則．（6）運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如．對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．（8）常見(jiàn)奇偶性函數(shù)模型奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．注意：關(guān)于=1\*GB3①式，可以寫(xiě)成函數(shù)或函數(shù)．偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)類(lèi)型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3、周期性技巧4、函數(shù)的的對(duì)稱(chēng)性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)有兩條對(duì)稱(chēng)軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對(duì)稱(chēng)軸和一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且．5、對(duì)稱(chēng)性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，函數(shù)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．【典型例題】例1．（2024·北京順義·高三統(tǒng)考期末）已知在上單調(diào)遞減，且，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，，結(jié)合在上單調(diào)遞減，則必有，顯然B正確，A錯(cuò)誤，而當(dāng)時(shí)，不在定義域內(nèi)，故無(wú)法比較，C,D錯(cuò)誤.故選：B例2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，且該函數(shù)在上為增函數(shù)，A不滿(mǎn)足要求；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)在、上都是增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，B滿(mǎn)足要求；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)為奇函數(shù)，且該函數(shù)在上為減函數(shù)，C不滿(mǎn)足要求；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)為奇函數(shù)，且該函數(shù)在其定義域上不單調(diào)，D不滿(mǎn)足要求.故選：B.例3．（2024·四川南充·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在上是減函數(shù)的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在上是減函數(shù)，只需要即可，若，則，成立；若，則是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，時(shí)恒成立.若，當(dāng)和時(shí)，，故不成立.所以，當(dāng)時(shí)，，而是的充分不必要條件.故選：A.例4．（2024·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，所以，解得.故選：B例5．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，且，所以是奇函數(shù)，又，作出函數(shù)圖象如下圖：由圖知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故選：B例6．（2024·北京西城·高三北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足：在單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)是定義上的奇函數(shù)，可得，即且，又由，可得，因?yàn)闀r(shí)，單調(diào)遞增函數(shù)且為奇函數(shù)，則時(shí)，函數(shù)也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以不等式，即為或，可得或，所以不等式的解集為，故選：D.例7．（2024·全國(guó)·高三期末）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則等于（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】由函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸的方程為，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，函數(shù)取得最大值，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，可函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，解得或（舍去）.故選：C.例8．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間的最大值是M，最小值是m，則的值等于(

)A．0 B．10 C． D．【答案】C【解析】令，則，∴f(x)和g(x)在上單調(diào)性相同，∴設(shè)g(x)在上有最大值，有最小值.∵，∴，∴g(x)在上為奇函數(shù)，∴，∴，∴，.故選：C.例9．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知為奇函數(shù)，則（

）A． B．2 C．1 D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，通過(guò)對(duì)比系數(shù)得.故選：A例10．（2024·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知是奇函數(shù)，則（

）A．－1 B．1 C．－2 D．2【答案】B【解析】由函數(shù)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，整理得，解得，所以．故選：B.例11．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．B．是周期函數(shù)，且2是其一個(gè)周期C．D．【答案】C【解析】選項(xiàng)A，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B，由，知是周期函數(shù)，且2是其一個(gè)周期，所以選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C，因?yàn)?，又，，得到，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D，，所以選項(xiàng)D正確，故選：C.例12．（2024·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有且則（

）A． B． C．1 D．0【答案】D【解析】由，令，則，可得，即，所以，可得函數(shù)為奇函數(shù)，所以，又由，令，可得，即，可得，則，所以，可得函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，則.故選：D.例13．（2024·陜西咸陽(yáng)·咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┖瘮?shù)為偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，，則．【答案】4【解析】由于函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，，故，又為偶函數(shù)，故，則，故答案為：4【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·河南·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，若，則顯然成立；若，則，則，不能得出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2．（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）若函數(shù)在上是增函數(shù)，則（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，則,即.故選：A3．（2024·北京·高三北京市第三十五中學(xué)?？计谀┫铝泻瘮?shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A選項(xiàng)，，是R上的增函數(shù)，但不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，，，是奇函數(shù)，又，，，所以不是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，畫(huà)出其圖像，可得既是奇函數(shù)又是增函數(shù).故選：D.4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，則，解得或，所以的定義域?yàn)椋珠_(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即的單調(diào)增區(qū)間為.故選：A.5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而函數(shù)在R上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：A6．（2024·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，則使得的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，由可得，則，解得，因此，滿(mǎn)足的的取值范圍是.故選：C.7．（2024·遼寧朝陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若，則滿(mǎn)足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由為奇函數(shù)，得，所以不等式等價(jià)于.又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即.故選：A8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，，所以，則，即，解得．故選：C．9．（2024·江蘇徐州·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且，，所以，又在上單調(diào)遞減，所以，即或解得，或故選：D10．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)為上的減函數(shù)，則滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闉樯系臏p函數(shù)，且，所以，解得或，故選：D．11．（2024·江蘇南通·高三江蘇省如東高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，恒成立，即，恒成立，則，函數(shù)有意義，則，解得或，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D12．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谀┮阎獮槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，且滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則，所以，即，解得.故選：B13．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)；由隨著的增大，越來(lái)越大，越來(lái)越小，所以越來(lái)越大，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增..故選：C14．（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）函數(shù)和均為上的奇函數(shù)，若，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，有，所以的周期為4，故.故選：A15．（2024·山西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象相當(dāng)于函數(shù)的圖象向下平移兩個(gè)單位，所以可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由對(duì)稱(chēng)性可知．故選：A．16．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)的定義域?yàn)槿?，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，用代,得，又，所以，得，故的周期為,所以.故選：A．17．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，，且，則（

）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】由函數(shù)為上的奇函數(shù)，得且，由，得，又，得，得，故，所以的一個(gè)周期為4，則，A正確.故選：A.18．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知是上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．3 B． C．255 D．【答案】B【解析】由題意可知：，即4為的一個(gè)周期，所以.故選：B19．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)?？计谀┮阎x在上的函數(shù)，滿(mǎn)足，，若，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】由，知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由，知函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)的周期為.又，所以，，所以，又，所以，所以.故選：D20．（2024·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榕己瘮?shù)，，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù) B．C． D．【答案】A【解析】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，則，函數(shù)圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，有，又，則，令，有，所以函數(shù)周期為2.，函數(shù)為偶函數(shù)，A選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；已知中沒(méi)有可以求函數(shù)值的條件，BD選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A21．（2024·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A中，函數(shù)為偶函數(shù)，則有，可得，又由為奇函數(shù)，則，則有，所以，即，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，函數(shù)為偶函數(shù)，則有，所以B不正確；對(duì)于C中，由，則，所以是周期為4的周期函數(shù)，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由是周期為4的周期函數(shù)，可得，其中結(jié)果不一定為0，所以D錯(cuò)誤.故選：C.二、多選題22．（2024·新疆烏魯木齊·高三烏市八中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的最小值為，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，若，即時(shí)，解得或（舍去），若，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，若，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得（舍去），綜上可得或.故選：BD23．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足：．且，當(dāng)時(shí)，．則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．為上的減函數(shù)【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由題可知，故，故A正確；對(duì)于B，由題可知，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故，為奇函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，是上的減函數(shù)，故D正確.故選：ACD24．（2024·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小正周期為4 B．的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．在內(nèi)至少有5個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【解析】對(duì)于A，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且，所以，即，所以的周期為4，但的最小正周期不一定為4，如，滿(mǎn)足為奇函數(shù)，且，而的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且，所以，即的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C，由，及為奇函數(shù)可知，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，又，，所以，故，所以在內(nèi)至少有，，0，2，4這5個(gè)零點(diǎn)，故D正確．故選：BCD．25．（2024·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C． D．【答案】BCD【解析】對(duì)于A中，由為奇函數(shù)得，因此，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由為偶函數(shù)得，于是，即，所以的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以B正確；對(duì)于C中，，從而，所以以4為周期，可得，由中，令，得，所以C正確；對(duì)于D中，由前面的分析可得，，所以，所以D正確．故選：BCD.26．（2024·山東泰安·高三?？茧A段練習(xí)）已知是定義在R上的函數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．對(duì)，恒成立C．函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng) D．【答案】BCD【解析】∵函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，，則，∵函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，，，則，C選項(xiàng)正確；，，故，B選項(xiàng)正確；，D選項(xiàng)正確；沒(méi)有條件能確定，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BCD.27．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足不恒為零，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C．的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D．在[0，10]上有6個(gè)零點(diǎn)【答案】AB【解析】選項(xiàng)A：對(duì)于，令，得，對(duì)于，令，得，所以，則，A正確；選項(xiàng)B：由得，由得，所以，是奇函數(shù)，B正確；選項(xiàng)C：由，得，所以12是的一個(gè)周期，又是奇函數(shù)，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)椴缓銥榱?，所以的圖像不關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由A知，對(duì)于，令，得，所以，由，得，，所以，所以在上的零點(diǎn)為0，2，3，4，6，8，9，10，共8個(gè)，D錯(cuò)誤．故選：AB．三、填空題28．（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知，求.【答案】8【解析】設(shè)，則在上為增函數(shù)，且，所以只有一；同理：方程只有一.所以：.故答案為：29．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則的最大值是.【答案】16【解析】由，而，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，則的最大值是16.故答案為：1630．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】由題意，在中，∵函數(shù)有最小值，∴函數(shù)應(yīng)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增或常函數(shù)，∴，解得：，∴有最小值時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.31．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則.【答案】/0.5【解析】因函數(shù)在R上為偶函數(shù)，且是奇函數(shù)，故在R上為奇函數(shù)，則，解得；驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，，由可得為奇函數(shù)，故是偶函數(shù).故答案為：．32．（2024·四川內(nèi)江·高三?？茧A段練習(xí)）已知奇函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式．【答案】【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上的解析式.故答案為：33．（2024·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以．故答案為：34．（2024·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高三?？计谀┮阎瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則【答案】【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，即為奇函數(shù)，則有，即，解得.故答案為：.35．（2024·陜西西安·西安一中校考模擬預(yù)測(cè)）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)，，且是奇函數(shù)，則.【答案】6【解析】設(shè)，則，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故，所以.故答案為：636．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則的值為．【答案】【解析】，由為R上的奇函數(shù)，得，即，因?yàn)?，所以時(shí)，，即，則.故答案為：37．（2024·浙江·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則.【答案】/0.5【解析】為奇函數(shù)，故，即，即，故，解得.故答案為：38．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則的值為.【答案】【解析】由題意首先，解得，即函數(shù)是上的偶函數(shù)，由，解得，此時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.故答案為：.39．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？计谀┰谏蠞M(mǎn)足，且在上是遞減函數(shù)，若，則的取值范圍是.【答案】【解析】∵，∴.∵，∴.∴，解得，∴的取值范圍是.故答案為：.40．（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)在區(qū)間上嚴(yán)格減，且，則不等式的解集為.【答案】【解析】因?yàn)槎x域?yàn)榈呐己瘮?shù)在區(qū)間上嚴(yán)格減，則，所以，即或，解得或，即所求解集為.故答案為：.41．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意的，都有，若在