2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專題38圓錐曲線常規(guī)解答題

專題38圓錐曲線常規(guī)解答題【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】一、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線的方程代入圓錐曲線的方程，消去（也可以消去）得到關(guān)系一個(gè)變量的一元二次方程，，即，消去后得（1）當(dāng)時(shí)，即得到一個(gè)一元一次方程，則與相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若為雙曲線，則直線與雙曲線的漸近線平行；若為拋物線，則直線與拋物線的對(duì)稱軸平行（2）當(dāng)時(shí)，，直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；，直線與曲線相切，即有唯一的公共點(diǎn)（切點(diǎn)）；，直線與曲線二、圓錐曲線的弦連接圓錐曲線上兩點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦直線，曲線為與的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，則是方程組的兩組解，方程組消元后化為關(guān)于的一元二次方程（），判別式，應(yīng)有，所以是方程的根，由根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）求出，所以兩點(diǎn)間的距離為，即弦長(zhǎng)公式，弦長(zhǎng)公式也可以寫(xiě)成關(guān)于的形式三、定值問(wèn)題解析幾何中定值問(wèn)題的證明可運(yùn)用函數(shù)的思想方法來(lái)解決．證明過(guò)程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量----選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚?）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)．（3）定值----化簡(jiǎn)得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值．求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過(guò)程中消去變量，從而得到定值．四、求最值問(wèn)題常用的兩種方法（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來(lái)解決，這是幾何法．（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求該函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值常見(jiàn)的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法．五、求定值、最值等圓錐曲線綜合問(wèn)題的“三重視”（1）重視定義在解題中的作用（把定義作為解題的著眼點(diǎn)）．（2）重視曲線的幾何特征特別是平面幾何性質(zhì)與方程的代數(shù)特征在解題中的作用．（3）重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用（涉及弦長(zhǎng)、中點(diǎn)要用根與系數(shù)的關(guān)系）．【典型例題】例1．（2024·河北衡水·一模）已知橢圓過(guò)和兩點(diǎn).分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)（不在軸上），過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的范圍.【解析】（1）由題意可知，將點(diǎn)代入橢圓方程，得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，，當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，，當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去，得，易得，則，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，綜上，，即的范圍是.例2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知橢圓C：的離心率為，直線恒過(guò)右焦點(diǎn)F，交橢圓于，兩點(diǎn)，且．(1)求橢圓C的方程；(2)求的最小值．【解析】（1）因?yàn)橹本€l：恒過(guò)即為右焦點(diǎn)F，∴，又因?yàn)殡x心率為，所以，所以橢圓C的方程為；（2）聯(lián)立有，則有，易知同理，所以，將帶入有，令，則有，所以在是增函數(shù)，是減函數(shù)，則有，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值.例3．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知拋物線C：過(guò)點(diǎn).(1)求過(guò)點(diǎn)M的拋物線C的切線方程；(2)若A，B是拋物線C上異于M的兩點(diǎn)記直線MA，MB的斜分別為，且，求點(diǎn)M到直線AB距離的最大值.【解析】（1）將M的坐標(biāo)代入拋物線C的方程中，得，故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解法一：由題意知過(guò)點(diǎn)M的拋物線的切線的斜率一定存在且不為0，設(shè)過(guò)點(diǎn)M的拋物線的切線方程為，將其代入，得，由，得，故過(guò)點(diǎn)M的拋物線C的切線方程為.解法二：當(dāng)時(shí)，由得，而，所以過(guò)點(diǎn)M（1，2）的拋物線C的切線的斜率為1，故過(guò)點(diǎn)M的拋物線C的切線方程為，即；（2）設(shè)，，則，同理，故，化簡(jiǎn)得.易知直線AB的斜率不為0，則可設(shè)直線AB的方程為，將其代入，得，所以，，所以，即，直線AB的方程為，直線AB過(guò)定點(diǎn).連接MQ，易知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M到直線AB的距離最大，故點(diǎn)M到直線AB距離的最大值為.例4．（2024·廣西·二模）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P．(1)證明：P在定直線上；(2)若F為拋物線C的焦點(diǎn)，證明：．【解析】（1）證明：設(shè)，，則，直線的方程為，即，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，即，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，解得或，又因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，即，所以直線的方程為，即，同理直線的方程為，由，解得，即，故點(diǎn)P在直線上．（2）證明：∵，，注意到兩角都在內(nèi)，可知要證．即證.而，，所以，又，所以，同理，即有，故．例5．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知傾斜角為（）的直線l與拋物線C：（）只有1個(gè)公共點(diǎn)A，C的焦點(diǎn)為F，直線AF的傾斜角為．(1)求證：；(2)若，直線l與直線交于點(diǎn)P，直線AF與C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，求證：．【解析】（1）設(shè)，則l的方程為，與聯(lián)立得，因?yàn)橹本€l與拋物線C只有1個(gè)公共點(diǎn)，所以，整理得，所以，又，所以，因?yàn)?，，所以，，所以．?）時(shí)，C的方程為，把，代入得l的方程為，把代入得，所以，由（1）知，，設(shè)，設(shè)直線AB方程為，與聯(lián)立得，t，是該方程的兩個(gè)根，所以，所以，所以，所以.例6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知是軸上的動(dòng)點(diǎn)，是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且恰好在軸上，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程(2)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求證：點(diǎn)在曲線上．【解析】（1）解法一

設(shè)，，則．由點(diǎn)在軸上，得，則，，因?yàn)椋?，則，點(diǎn)，重合，不合題意；若，則，即．所以曲線的方程是．解法二

在射線上另取一點(diǎn)，使，連接，又，所以點(diǎn)在直線上，易知≌，所以垂直于直線，連接，則，顯然點(diǎn)不能在軸上，即，故由拋物線的定義知，曲線的方程是．（2）解法一

設(shè)，與聯(lián)立，消去，得，則，得，設(shè)，，則，，設(shè)直線，的方程分別為，，，，則，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，故點(diǎn)在曲線上.解法二

設(shè)，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，由，得．設(shè)，，直線，的方程分別為，，，，則，是上面關(guān)于的方程的兩根，即直線，的斜率，是關(guān)于的方程的兩根，所以，從而，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，故點(diǎn)在曲線上．例7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓上存在C，D兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱．(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線l的方程．【解析】（1）由題意C，D關(guān)于直線l對(duì)稱，所以設(shè)直線的方程為，，，由，消去y得，所以，得，①則，．設(shè)的中點(diǎn)為，則，，故．將代入，得，所以，將代入①得，解得．故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．（2）由（1）得，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，直線l的方程為或．例8．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)，且C與雙曲線有相同的焦點(diǎn).(1)求C的方程；(2)直線：不過(guò)第四象限，且與C交于A，B兩點(diǎn)，P為C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值，并求的最大值.【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)為，所以，即；因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以C的方程為.（2）設(shè)，，可得，，因?yàn)橹本€：不過(guò)第四象限，所以.，，設(shè)直線與橢圓相切，則，得，由得，因?yàn)橹本€：不過(guò)第四象限，則三角形面積最大時(shí)??；由題意，點(diǎn)為直線與橢圓的切點(diǎn)時(shí)，的面積最大，此時(shí)的高為，的面積為，即，，令，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，最大值為，所以的最大值為9.【過(guò)關(guān)測(cè)試】1．（2024·河南開(kāi)封·二模）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，且．(1)求的離心率；(2)射線與交于點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng)．【解析】（1）依題意可得上頂點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為，，所以，，又，所以，即，即，所以，所以離心率；（2）由（1）可得，，則橢圓方程為，射線的方程為，聯(lián)立，整理可得，解得或，則，即，所以，解得，則，所以的周長(zhǎng)．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）依題意得：，即，解得，解得橢圓的方程為（2）設(shè)的中點(diǎn)為，即，如圖所示：設(shè)，又中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以則又兩點(diǎn)在橢圓上，可得，兩式相減可得，整理得，①.過(guò)點(diǎn)斜率為的直線為.因?yàn)樵谥本€上，故，②聯(lián)立①②，解得所以中點(diǎn)坐標(biāo)為.3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)，從，上分別取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：(1)求和的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若和交于不同的兩點(diǎn)，求的值.【解析】（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，結(jié)合表格數(shù)據(jù)，因?yàn)椋渣c(diǎn)在拋物線上，且，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.將點(diǎn)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）根據(jù)對(duì)稱性，可設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，聯(lián)立方程組，消得，解得，，因?yàn)?，所?所以.4．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左頂點(diǎn)是，一條漸近線的方程為．(1)求雙曲線E的離心率；(2)設(shè)直線與雙曲線E交于點(diǎn)P，Q，求線段PQ的長(zhǎng)．【解析】（1）由題意知，且，

，所以雙曲線的離心率．（2）由（1）知雙曲線方程為，將即代入，得，

不妨設(shè)，所以．5．（2024·高二·山東濟(jì)寧·期末）已知拋物線C：上一點(diǎn)M到其焦點(diǎn)的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2．(1)求拋物線C的方程；(2)若不過(guò)原點(diǎn)O的直線l：與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)m的值．【解析】（1）由題意知，點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為3，所以，解得．故C的方程為；（2）設(shè)，，由得，所以，，，．因?yàn)椋?，即，解得?．又直線l不過(guò)原點(diǎn)O，所以．又滿足要求，所以．6．（2024·高三·上海靜安·期末）已知雙曲線：，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，斜率為，它與雙曲線交于、兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；(2)設(shè)點(diǎn)在雙曲線上，是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)．記，求的取值范圍．【解析】（1）直線的方程為．由方程組得．設(shè),則，．（2）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，．因?yàn)?，所以?．（2024·高三·天津南開(kāi)·期末）設(shè)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且其左焦點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)求橢圓的方程；(2)對(duì)角線互相垂直的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在上，且兩條對(duì)角線均過(guò)的右焦點(diǎn)，求的最小值.【解析】（1）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為.又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以.所以橢圓的方程為.（2）①當(dāng)直線中有一條直線的斜率不存在時(shí)，.②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程，由，得，則，.設(shè)直線的方程為，同理得，所以，設(shè)，則，則，所以時(shí)，有最小值.綜上，的最小值是.8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知F是拋物線E：的焦點(diǎn)，是拋物線E上一點(diǎn)，與點(diǎn)F不重合，點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為P，且．(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，求的最大值．【解析】（1）∵，點(diǎn)N與點(diǎn)F不重合，∴，∴．∵點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為P，∴，（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）．∴，得，∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知，易知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，代入，整理得，，，設(shè)，則．∵，∴，當(dāng)時(shí)，取得最大值，為．9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與交于兩點(diǎn)，且當(dāng)，時(shí)，．(1)求拋物線的方程；(2)若，求面積的最小值．【解析】（1）當(dāng)，時(shí)，直線的解析式為．設(shè)，，聯(lián)立消去并整理得，，，，解得．，，整理得，解得（舍負(fù)），拋物線的方程為．（2）由（1）知，，設(shè)，，聯(lián)立消去并整理得，，，，．，，即，整理得．將，，代入上式得．又，，且，解得或．點(diǎn)到直線的距離，，的面積．又或，當(dāng)時(shí)，的面積最小，且最小面積為．10．（2024·陜西漢中·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求直線的方程．【解析】（1）點(diǎn)在拋物線上，由拋物線定義可得，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，如下圖所示：則，兩式相減可得，即，又線段的中點(diǎn)為，可得；則，故直線的斜率為4，所以直線的方程為，即直線的方程為．11．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，，原點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的離心率；(2)平面上點(diǎn)B滿足，過(guò)與平行的直線交于兩點(diǎn)，若，求橢圓的方程.【解析】（1）由題設(shè)及，不妨設(shè)，所以，，解得或（舍去），從而，直線的方程為，整理得，原點(diǎn)到直線的距離為，將代入整理得，即，所以離心率.（2）由（1）問(wèn)可設(shè)橢圓方程為，則，因?yàn)?，所以為平行四邊形，所以直線過(guò)點(diǎn)，則斜率為，則設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程得，顯然，則，則，解得（負(fù)值舍去），所以，所以橢圓方程為.12．（2024·河南·三模）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn).(1)求的方程；(2)若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，求面積的最小值.【解析】（1）由題意，設(shè)的方程為，因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以，解得，所以的方程為.（2）如圖所示，設(shè)，則，聯(lián)立方程組整理得，所以，且，所以.由，可得，則，所以拋物線的過(guò)點(diǎn)A的切線方程是，將代入上式整理得，同理可得拋物線的過(guò)點(diǎn)的切線方程為由解得，所以，所以到直線的距離，所以的面積，當(dāng)時(shí)，，所以面積的最小值為.13．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為為的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與軸不重合的直線，交于兩點(diǎn)，當(dāng)與軸平行時(shí)，.(1)求的方程；(2)為的左頂點(diǎn)，直線分別交直線于兩點(diǎn)，求的值.【解析】（1）設(shè)，當(dāng)與軸平行時(shí)，直線的方程為，則在橢圓上，代入橢圓方程得，又因?yàn)殡x心率，解得.所以的方程為.（2）設(shè)，由橢圓的方程得，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，直線的方程為，令得，同理.若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立得，即，，直線的方程為，令得，同理，則.綜上，得的值為14．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，，且點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且與以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，證明：為定值．【解析】（1）由，可得，解得，又因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：當(dāng)與軸重合時(shí)，，所以當(dāng)不與軸重合時(shí)，設(shè)，直線的方程為，由整理得，則，故圓心到直線的距離為，則，所以，即為定值．15．（2024·河北唐山·二模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，，(1)求的方程；(2)，，是上的三點(diǎn)，若，求點(diǎn)到直線距離的最大值．【解析】（1）如圖所示：由題意可知，因?yàn)?，，由，，可得，由拋物線的定義可知，，解得．則的方程為.（2）如圖所示：在拋物線上，所以，設(shè)直線的方程為，，，將代入，得則，，同理整理得，，直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，且最大距離為，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.16．（2024·陜西西安·二模）如圖，已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為.設(shè)為原點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn).當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，求的值.【解析】（1）由題意得橢圓的半焦距，又，則，，橢圓的方程為.（2）由（1）得橢圓的方程為，由題意得直線的方程為，即，聯(lián)立消去得，設(shè)，則.四邊形是平行四邊形，設(shè)，則，即，，又，即，解得17．（2024·江西·二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，，若的周長(zhǎng)為6，面積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)，試判斷是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為6，面積為，所以，由①得：，將此式代入②得：，所以，所以或當(dāng)時(shí)，，，所以不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，，所以滿足題意．所以橢圓C的方程為.（2）由題可得直線斜率存在，由（1）知，設(shè)直線的方程為，則聯(lián)立，消去，整理得：，設(shè)，則，，又，則，由可得，所以，同理可得，所以所以為定值．18．（2024·陜西西安·三模）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且右焦點(diǎn)為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．求直線的方程．【解析】（1）由橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，可得．所以．又，所以，解得．所以．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，由，得．則，．因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以．解得，即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．所以直線l的方程為．19．（2024·高三·陜西榆林·階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)，若直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）由題知，，，，由的面積為，得，又，代入可得，，∴橢圓的方程為.（2）聯(lián)立得，設(shè)，，可得，，由題知，即，即，解得，∴直線的方程為，故直線恒過(guò)定點(diǎn).20．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓E：的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓E的方程；(2)若直線m過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)且與直線m平行.設(shè)直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)度.【解析】（1）由題意知，，所以，，設(shè)橢圓E的方程為.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，，所以橢圓E的方程為.（2）由（1）知，橢圓E的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，所以直線m斜率為，由因?yàn)橹本€l與直線m平行，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即，聯(lián)立，可得，，，，所以.21．（2024·高二·江西撫州·階段練習(xí)）若橢圓過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與雙曲線有相同的焦點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)不過(guò)原點(diǎn)O的直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，求面積的最大值以及此時(shí)直線l的方程．【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，所以，因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以則，所以橢圓E的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立可得，因?yàn)橹本€與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，所以解得，由韋達(dá)定理可得，由弦長(zhǎng)公式可得，點(diǎn)到直線的距離為，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)，所以面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.22．（2024·高三·山西·階段練習(xí)）已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，且直線的斜率之和為，證明：點(diǎn)在一條定拋物線上．【解析】（1）依題意設(shè)的方程為，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，，所以，解得，故的方程為．（2）證明：設(shè)直線的斜率分別為，，，．將代入，得．由題設(shè)可知，，，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以，故點(diǎn)在拋物線上，即點(diǎn)在一條定拋物線上．23．（2024·陜西漢中·一模）已知橢圓的焦距為，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)分別為，且是頂角為的等腰三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是橢圓上的兩點(diǎn)，以橢圓中心為圓心的圓的半徑為，且直線與此圓相切.證明：以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）由題意可知，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，不妨設(shè)此時(shí)，，故以直徑的圓過(guò)定點(diǎn)；②當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以到直線的距離，即，由可得，所以，，所以，即.故以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，綜上所述：以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).24．（2024·陜西漢中·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線:與拋物線交于兩點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求拋物線的方程;(2)求證:直線恒過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）解:由題知拋物線的焦點(diǎn)為,,即,拋物線的方程為:;（2）證明:由(1)知拋物線的方程為:,聯(lián)立,整理可得,,,,,即,解得,符合，直線的方程為:,故直線恒過(guò)定點(diǎn).25．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)到直線的距離為，的最小值為5．(1)求拋物線的方程；(2)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，當(dāng)直線，的斜率存在，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，根據(jù)拋物線的定義得，，由于，解得，則拋物線的方程為（2）設(shè)，將代入拋物線的方程，整理得所以，同理，則,所以，26．（2024·高二·北京東城·期中）已知拋物線（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)不過(guò)原點(diǎn)的直線：與拋物線交于不同兩點(diǎn)，，若，求的值.【解析】（1）由拋物線過(guò)點(diǎn)，且，得所以拋物