2025年粵人版高二數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年粵人版高二數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷745考試試卷考試范圍：全部知識點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共8題，共16分)1、4名同學(xué)到某景點(diǎn)旅游，該景點(diǎn)有4條路線可供游覽，其中恰有1條路線沒有被這4個(gè)同學(xué)中的任何1人游覽的情況有A.36種B.72種C.81種D.144種2、設(shè)直線l過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長的2倍，則C的離心率為()A.B.C.2D.33、已知四棱錐底面四邊形中順次三個(gè)內(nèi)角的大小之比為此棱錐的側(cè)棱與底面所成的角相等，則底面四邊形的最小角是（）．A.B.C.D.無法確定的4、【題文】已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在圓上，則雙曲線的漸近線方程為A.B.C.D.5、【題文】在區(qū)間[－1，1]上隨機(jī)地任取兩個(gè)數(shù)x，y，則滿足的概率是（）A.B.C.D.6、【題文】如圖，非零向量（）A.B.C.D.7、如圖所示，程序框圖輸出的所有實(shí)數(shù)對所對應(yīng)的點(diǎn)都在函數(shù)（）

A.的圖象上B.的圖象上C.的圖象上D.的圖象上8、直三棱柱ABC鈭?A1B1C1

中，隆脧BCA=90鈭?MN

分別是A1B1A1C1

的中點(diǎn)，BC=CA=CC1

則BM

與AN

所成角的余弦值為(

)

A.110

B.25

C.3010

D.22

評卷人得分二、填空題(共6題，共12分)9、若實(shí)數(shù)滿足不等式組則目標(biāo)函數(shù)的最大值為________.10、在東經(jīng)圈上有甲、乙兩地，它們分別在北緯與北緯圈上，地球半徑為則甲、乙兩地的球面距離是.11、【題文】下表是某廠1～4月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)；

。月份

1

2

3

4

用水量

4.5

4

3

2.5

由其散點(diǎn)圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是則=______________。12、【題文】____;13、方程|x|+|y|=1所表示的圖形的面積為______．14、下列四個(gè)命題：

①兩個(gè)相交平面有不在同一直線上的三個(gè)公交點(diǎn)。

②經(jīng)過空間任意三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。

③過兩平行直線有且只有一個(gè)平面。

④在空間兩兩相交的三條直線必共面。

其中正確命題的序號是______．評卷人得分三、作圖題(共7題，共14分)15、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

16、A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）17、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）18、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

19、A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）20、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）21、分別畫一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱臺(tái)．評卷人得分四、解答題(共3題，共9分)22、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若且求數(shù)列的前項(xiàng)和23、【題文】已知函數(shù)f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－x∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)在銳角△ABC中，若f(A)＝1，·＝求△ABC的面積．24、已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx鈭?x+1

．

(

Ⅰ)

若xf隆盲(x)鈮?x2+ax+1

求a

的取值范圍；

(

Ⅱ)

證明：(x鈭?1)f(x)鈮?0

．評卷人得分五、綜合題(共3題，共30分)25、如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過AB，C三點(diǎn)的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當(dāng)AD+CD最小時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）以點(diǎn)A為圓心；以AD為半徑作⊙A．

①證明：當(dāng)AD+CD最小時(shí)；直線BD與⊙A相切；

②寫出直線BD與⊙A相切時(shí)，D點(diǎn)的另一個(gè)坐標(biāo)：____．26、（2009?新洲區(qū)校級模擬）如圖，已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且OA=OB=1．這條曲線是函數(shù)y=的圖象在第一象限的一個(gè)分支，點(diǎn)P是這條曲線上任意一點(diǎn)，它的坐標(biāo)是（a、b），由點(diǎn)P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點(diǎn)E、F．則AF?BE=____．27、如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過AB，C三點(diǎn)的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當(dāng)AD+CD最小時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）以點(diǎn)A為圓心；以AD為半徑作⊙A．

①證明：當(dāng)AD+CD最小時(shí)；直線BD與⊙A相切；

②寫出直線BD與⊙A相切時(shí)，D點(diǎn)的另一個(gè)坐標(biāo)：____．參考答案一、選擇題(共8題，共16分)1、D【分析】【解析】試題分析：由題意可知4人選擇了4條線路中的3條，不同的游覽情況共有種考點(diǎn)：排列組合【解析】【答案】D2、B【分析】【解析】試題分析：由題意可知考點(diǎn)：雙曲線離心率求解【解析】【答案】B3、B【分析】【解析】

因?yàn)樗睦忮F底面四邊形中順次三個(gè)內(nèi)角的大小之比為此棱錐的側(cè)棱與底面所成的角相等，則底面四邊形的最小角是選B【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】

試題分析：用m表示在圓上的焦點(diǎn)坐標(biāo)（0），代入圓的方程，求出m的值，然后即可求出雙曲線的漸近線方程.

考點(diǎn)：（1）雙曲線的幾何性質(zhì).【解析】【答案】B5、A【分析】【解析】在區(qū)間[-1，1]上任取兩個(gè)數(shù)x、y，構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，滿足x2+y2＜的x、y構(gòu)成以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓面；用圓的面積除以正方形的面積即為所求．

解：在區(qū)間[-1；1]上任取兩個(gè)數(shù)x；y，構(gòu)成一個(gè)以原點(diǎn)為中心且4條邊分別與坐標(biāo)軸平行的正方形構(gòu)成的區(qū)域；

滿足x2+y2＜的x、y構(gòu)成以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓面．

故所求事件的概率等于

故選A．【解析】【答案】A6、A【分析】【解析】A即

即可得答案A【解析】【答案】A7、D【分析】【分析】依程序框圖可知輸出的點(diǎn)為（1，1）、（2，2）、（3，4）、（4，8），經(jīng)驗(yàn)證可知四個(gè)點(diǎn)皆滿足故選D。8、C【分析】解：直三棱柱ABC鈭?A1B1C1

中，隆脧BCA=90鈭?MN

分別是A1B1A1C1

的中點(diǎn)，如圖：BC

的中點(diǎn)為O

連結(jié)ON

MN鈭?//12B1C1=OB

則MN0B

是平行四邊形，BM

與AN

所成角就是隆脧ANO

隆脽BC=CA=CC1

設(shè)BC=CA=CC1=2隆脿CO=1AO=5AN=5MB=B1M2+BB12=(2)2+22=6

在鈻?ANO

中，由余弦定理可得：cos隆脧ANO=AN2+NO2鈭?AO22AN鈰?NO=62隆脕5隆脕6=3010

．

故選：C

．

畫出圖形；找出BM

與AN

所成角的平面角，利用解三角形求出BM

與AN

所成角的余弦值．

本題考查異面直線對稱角的求法，作出異面直線所成角的平面角是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查余弦定理的應(yīng)用．【解析】C

二、填空題(共6題，共12分)9、略

【分析】【解析】試題分析：畫出可行域，找出滿足條件的點(diǎn)，即可得的最大值為2.考點(diǎn)：本題考查線性規(guī)劃的有關(guān)知識。【解析】【答案】210、略

【分析】試題分析：在東經(jīng)圈上有甲、乙兩地它們的球面距離就是東經(jīng)圈這樣一個(gè)大圓（實(shí)際是半個(gè)大圓）上甲、乙兩地所對的劣弧長，而這兩地所對的球心角即為它們的緯度之差，即弧度，從而兩地的球面距離是考點(diǎn)：球面距離的計(jì)算.【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】解：∵.x="(1+2+3+4)"/4=2.5

.y="(4.5+4+3+2.5)"/4=3.5

線性回歸方程是?y=-0.7x+a；

∴a="."y+0.7.x=3.5+0.7×2.5=3.5+1.75=5.25【解析】【答案】5.2512、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】解：方程|x|+|y|=1等價(jià)于或

畫出可行域。

方程|x|+|y|=1所表示的圖形是一個(gè)正方形，其邊長為

故區(qū)域的面積為2

故答案為：2

利用絕對值的意義；通過分段討論，將絕對值符號去掉，將方程轉(zhuǎn)化為幾個(gè)不等式組，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，判斷出區(qū)域的形狀，求出面積．

本題考查絕對值的意義：常利用它去絕對值符號、考查畫不等式組表示的平面區(qū)域：直線定邊界，特殊點(diǎn)定區(qū)域．【解析】214、略

【分析】解：①兩個(gè)相交平面的公交點(diǎn)一定在平面的交線上；故錯(cuò)誤；

②經(jīng)過空間不共線三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；故錯(cuò)誤；

③過兩平行直線有且只有一個(gè)平面；正確；

④在空間兩兩相交交點(diǎn)不重合的三條直線必共面；三線共點(diǎn)時(shí)，三線可能不共面，故錯(cuò)誤；

故正確命題的序號是③；

故答案為：③

由公理3可判斷①；由公理2及其推論，可判斷②③，根據(jù)空間線線關(guān)系，可判斷④

本題考查的知識點(diǎn)是平面的基本性質(zhì)及推論，空間線線關(guān)系，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．【解析】③三、作圖題(共7題，共14分)15、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，AB′與河面的交點(diǎn)C即為所求．【解析】【解答】解：作B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可知；C點(diǎn)即為所求．

16、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'，關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，連接A'A''，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'；關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．【解析】【解答】解：連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點(diǎn)之間，線段最短．18、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，AB′與河面的交點(diǎn)C即為所求．【解析】【解答】解：作B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可知；C點(diǎn)即為所求．

19、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'，關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，連接A'A''，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'；關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．【解析】【解答】解：連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P；

這樣PA+PB最小；

理由是兩點(diǎn)之間，線段最短．21、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個(gè)三角形；

第二步：確定頂點(diǎn)﹣﹣在底面外任一點(diǎn)；

第三步：畫側(cè)棱﹣﹣連接頂點(diǎn)與底面三角形各頂點(diǎn)．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個(gè)四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側(cè)棱上取一點(diǎn)；從這點(diǎn)開始，順次在各個(gè)面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺(tái)都是需要先畫底面，再確定平面外一點(diǎn)連接這點(diǎn)與底面上的頂點(diǎn)，得到錐體，在畫四棱臺(tái)時(shí)，在四棱錐一條側(cè)棱上取一點(diǎn)，從這點(diǎn)開始，順次在各個(gè)面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共3題，共9分)22、略

【分析】【解析】試題分析：（Ⅰ）證：因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，整理得由令得解得所以是首項(xiàng)為公比是的等比數(shù)列.（Ⅱ）【解析】

由得所以從而考點(diǎn)：本題主要考查等比數(shù)列的證明，前n項(xiàng)和公式，“累加法”。【解析】【答案】（Ⅰ）由及相減得即驗(yàn)證適合，得到結(jié)論，是首項(xiàng)為公比是的等比數(shù)列.（Ⅱ）23、略

【分析】【解析】(1)f(x)＝2sinxcosx＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin

故函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝＝π.

(2)在銳角△ABC中，有f(A)＝2sin＝1；

∵0＜A＜＜2A＋＜

∴2A＋＝∴A＝

又·＝||·||cosA＝

∴||·||＝2.

∴△ABC的面積S＝||·||sinA＝×2×＝【解析】【答案】（1）π.（2）24、略

【分析】

(

Ⅰ)

函數(shù)的定義域?yàn)?0,+隆脼)

求導(dǎo)函數(shù)，可得f隆盲(x)=x+1x+lnx鈭?1=lnx+1x

從而xf隆盲(x)鈮?x2+ax+1

可轉(zhuǎn)化為lnx鈭?x鈮?a

令g(x)=lnx鈭?x

求出函數(shù)的最值，即可求得a

的取值范圍；

(

Ⅱ)

由(

Ⅰ)

知，g(x)鈮?g(1)=鈭?1

即lnx鈭?x+1鈮?0

可證0<x<1

時(shí)；f(x)鈮?0x鈮?1

時(shí)，f(x)鈮?0

從而可得結(jié)論．

本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍，考查不等式的證明，屬于中檔題．【解析】解：(

Ⅰ)

函數(shù)的定義域?yàn)?0,+隆脼)

求導(dǎo)函數(shù)，可得f隆盲(x)=x+1x+lnx鈭?1=lnx+1x(2

分)

隆脿xf隆盲(x)=xlnx+1

題設(shè)xf隆盲(x)鈮?x2+ax+1

等價(jià)于lnx鈭?x鈮?a

令g(x)=lnx鈭?x

則g隆盲(x)=1x鈭?1.(4

分)

當(dāng)0<x<1

時(shí)，g隆盲(x)>0

當(dāng)x鈮?1

時(shí)；g隆盲(x)鈮?0

隆脿x=1

是g(x)

的最大值點(diǎn)；

隆脿g(x)鈮?g(1)=鈭?1.(6

分)

綜上；a

的取值范圍是[鈭?1,+隆脼).(7

分)

(

Ⅱ)

由(

Ⅰ)

知；g(x)鈮?g(1)=鈭?1

即lnx鈭?x+1鈮?0

當(dāng)0<x<1

時(shí)；f(x)=(x+1)lnx鈭?x+1=xlnx+(lnx鈭?x+1)鈮?0(10

分)

當(dāng)x鈮?1

時(shí)，f(x)=lnx+(xlnx鈭?x+1)=lnx+x(lnx+1x鈭?1)鈮?0

所以(x鈭?1)f(x)鈮?0(13

分)

五、綜合題(共3題，共30分)25、略

【分析】【分析】（1）由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式．

（2）連接BC；交直線l于點(diǎn)D，根據(jù)拋物線對稱軸的性質(zhì)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線l對稱，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“兩點(diǎn)之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點(diǎn)；

設(shè)出直線BC的解析式為y=kx+b；可用待定系數(shù)法求得BC直線的解析式，故可求得BC與直線l的交點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）由（2）可知，當(dāng)AD+CD最短時(shí)，D在直線BC上，由于已知A，B，C，D四點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線段之間的長度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC與圓相切．由于AB⊥l，故由垂徑定理知及切線長定理知，另一點(diǎn)D與現(xiàn)在的點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，所以另一點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．（1分）

將（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）連接BC；交直線l于點(diǎn)D．

∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線l對稱；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“兩點(diǎn)之間；線段最短”的原理可知：

此時(shí)AD+CD最小；點(diǎn)D的位置即為所求．（5分）

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b；

由直線BC過點(diǎn)（3；0），（0，3）；

得

解這個(gè)方程組，得

∴直線BC的解析式為y=-x+3．（6分）

由（1）知：對稱軸l為；即x=1．

將x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1；2）．（7分）

說明：用相似三角形或三角函數(shù)求點(diǎn)D的坐標(biāo)也可；答案正確給（2分）．

（3）①連接AD．設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)E．

由（2）知：當(dāng)AD+CD最小時(shí)；點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD與⊙A相切．（9分）

②∵另一點(diǎn)D與D（1；2）關(guān)于x軸對稱；

∴D（1，-2）．（11分）26、略

【分析】【分析】根據(jù)OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，則△NBF也是等腰直角三角形，由于P的縱坐標(biāo)是b，因而F點(diǎn)的縱坐標(biāo)是b，即FM=b，則得到AF=b，同理BE=a，根據(jù)（a，b）是函數(shù)y=的圖象上的點(diǎn)，因而b=，ab=，則即可求出AF?BE．【解析】【解答】解：∵P的坐標(biāo)為（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐標(biāo)為（0，）；M點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF?BE=1．

故答案為：1．27、略

【分析】【分析】（1）由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式．

（2）連接BC；交直線l于點(diǎn)D，根據(jù)拋物線對稱軸的性質(zhì)