2025年北師大版高二數(shù)學下冊月考試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年北師大版高二數(shù)學下冊月考試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共5題，共10分)1、已知關于x的不等式ax2+x+1＜0的解集不是空集；則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.

B.

C.

D.

2、F1、F2是雙曲線C：x2－＝１的兩個焦點，P是C上一點，且△F1PF2是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為A.1＋B.2＋C.3－D.3＋3、【題文】已知關于函數(shù)有下列命題：

（1）的最大值為2；

（2）是以為最小正周期的周期函數(shù)；

（3）在區(qū)間上單調遞增；

（4）函數(shù)圖象關于直線對稱。

其中正確命題的個數(shù)是（）A.1個B.2個C.3個D.4個4、在中，角所對的邊分別為a,b,c，若a+b=4，且的面積的最大值為則此時的形狀為()A.銳角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.正三角形5、△ABC滿足∠BAC=30°，設M是△ABC內(nèi)的一點（不在邊界上），定義f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分別表示△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（x，y，），則的最小值為（）A.9B.8C.18D.16評卷人得分二、填空題(共9題，共18分)6、已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合,則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于.7、【題文】在等差數(shù)列中，其前n項和為若則的值等于____.8、【題文】在銳角三角形中，角的對邊分別為若則__________.9、【題文】已知是第三象限的角，則________.10、【題文】設對任意的正整數(shù)都有

則實數(shù)=_________.11、某校為了解全校高中學生五一小長假參加實踐活動的情況，抽查了100名學生，統(tǒng)計他們假期參加實踐活動的實踐，繪成的頻率分布直方圖如圖所示，這100名學生中參加實踐活動時間在6-10小時內(nèi)的人數(shù)為______．12、若n是正整數(shù)，則除以9的余數(shù)是______．13、已知z（2-i）=11+7i，若|z1|=1，則|z-z1|的最大值為______．14、在一個袋子中裝有分別標注數(shù)字12345

的五個小球，這些小球除標注的數(shù)字外完全相同.

現(xiàn)從中隨機取出2

個小球，則取出的小球標注的數(shù)字之和為3

或6

的概率是______．評卷人得分三、作圖題(共9題，共18分)15、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

16、A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）17、已知，A，B在直線l的兩側，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）18、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

19、A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）20、已知，A，B在直線l的兩側，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）21、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、解答題(共3題，共9分)22、已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且AB=1，M是PB的中點．

（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC與PB的夾角的余弦值；

（Ⅲ）求面AMC與面BMC夾角的余弦值．

23、某同學向如圖所示的圓形靶投擲飛鏢；飛鏢落在靶外（環(huán)數(shù)記為0）的概率為0.4，飛鏢落在靶內(nèi)的各個點是橢機的且等可能性，．已知圓形靶中四個圓為同心圓，半徑分別為40cm；30cm、20cm、10cm，飛鏢落在不同區(qū)域的環(huán)數(shù)如圖中標示．；

（1）求出這位同學投擲一次中10環(huán)數(shù)概率；

（2）求出這位同學投擲一次不到9環(huán)的概率．

24、如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC；求證：

（1）MN∥AD1；

（2）M是AB的中點．評卷人得分五、綜合題(共1題，共7分)25、如圖，在直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過AB，C三點的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當AD+CD最小時點D的坐標；

（3）以點A為圓心；以AD為半徑作⊙A．

①證明：當AD+CD最小時；直線BD與⊙A相切；

②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標：____．參考答案一、選擇題(共5題，共10分)1、D【分析】

當a=0時，不等式ax2+x+1＜0化為x+1＜0；可解得x＜-1，不是空集，滿足題意；

當a＞0時，對應的二次函數(shù)y=ax2+x+1，開口向上，需一元二次方程ax2+x+1=0有兩個不同的根；

即△=1-4a＞0，解得a＜故0＜a＜

當a＜0時，對應的二次函數(shù)y=ax2+x+1；開口向下，符合題意；

綜上可得實數(shù)a的取值范圍是：a＜

故選D

【解析】【答案】針對a進行分類討論；分別由不等式和方程的關系可得a的范圍，最后取并集即可．

2、A【分析】【解析】

由△PF1F2為等腰直角三角形，又|PF1|≠|PF2|，故必有|F1F2|=|PF2|，即2c=從而得c2-2ac-a2=0，即e2-2e-1=0，解之得e=1±∵e＞1，∴e=1+故選：A．【解析】【答案】A3、A【分析】【解析】第2個命題是正確的，選A?！窘馕觥俊敬鸢浮緼4、C【分析】【解答】因為在中，角所對的邊分別為若結合正弦定理可得即又因為所以又因為所以取等號時當且僅當所以符合條件的三角形為等腰三角形.故選C.5、C【分析】【解答】解：∵∠BAC=30°；

所以由向量的數(shù)量積公式得

∴

∵

由題意得；

x+y=1﹣=．

==2（5+等號在x=y=取到；所以最小值為18．

故選C．

【分析】由向量的數(shù)量積公式得∴由題意得，x+y=1﹣==2（5+即可得答案．二、填空題(共9題，共18分)6、略

【分析】【解析】試題分析：因為拋物線的焦點為(3,0),所以因為雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于虛半軸長,所以應填考點：雙曲線的標準方程及性質，拋物線的標準方程.【解析】【答案】7、略

【分析】【解析】

試題分析：∵∴∴

∴

考點：等差數(shù)列的前n項和公式.

考點：【解析】【答案】-20138、略

【分析】【解析】

試題分析：

考點：解三角形。

點評：在本題的求解過程中用到了正弦定理，余弦定理實現(xiàn)了邊與角的互相轉化，其間還涉及到了同角間的三角函數(shù)關系，如【解析】【答案】49、略

【分析】【解析】

因為是第三象限的角，則【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、略

【分析】解：由頻率分布直方圖知：（0.04+0.12+a+b+0.05）×2=1；

∴a+b=0.29；

∴參加實踐活動時間在6-10小時內(nèi)的頻率為0.29×2=0.58；

∴這100名學生中參加實踐活動時間在6-10小時內(nèi)的人數(shù)為100×0.58=58．

故答案為：58

利用頻率分布直方圖中；頻率等于縱坐標乘以組距，求出在6-10小時外的頻率；利用頻率和為1，求出在6-10小時內(nèi)的頻率；利用頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量，求出這100名同學中學習時間在6-10小時內(nèi)的同學的人數(shù)．

本題考查的知識點是頻率分布直方圖，熟練掌握頻率分布直方圖中頻率=矩形的高×組距，頻數(shù)=頻率×樣本容量，是解答本題的關鍵．【解析】5812、略

【分析】解：=（7+1）n-1=8n-1=（9-1）n-1=）++

①n是正偶數(shù)，則原式=（9-1）n-1=）++

每項都是9的倍數(shù)．

∴這整個式子都可以被9整除；此時余數(shù)為0．

②若n是正奇數(shù)，則原式=）++．

=）++．

∵-2不能整除9

∴余數(shù)就應該是7．

綜上；余數(shù)應該是0或7．

故答案為：0或7．

把原式還原成二項式定理．利用二項式定理展開；對n的奇偶性討論，可得答案．

本題考查了二項式定理的靈活運用和整除問題．屬于中檔題．【解析】0或713、略

【分析】解：由z（2-i）=11+7i得z====3+5i；

則|z-z1|=|z1-z|=|z1-（3+5i）|；

∵|z1|=1；

∴|z1-（3+5i）|的幾何意義為單位圓上的點到點B（3；5）的距離；

作出對應的圖象如圖：

則|z-z1|的最大值為|OB|+1=+1=

故答案為：．

根據(jù)復數(shù)的基本運算以及復數(shù)的模長公式以及復數(shù)的幾何意義進行求解即可．

本題主要考查復數(shù)的基本運算和復數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．【解析】14、略

【分析】解：由題意知；本題是一個古典概型；

試驗發(fā)生包含的事件是從中隨機取出2

個小球；共有C52=10

種結果；

滿足條件的事件是取出的小球標注的數(shù)字之和為3

或6

可以列舉出所有的事件：121524

共有3

種結果；

根據(jù)古典概型概率公式得到P=310

故答案為：310

本題是一個古典概型；試驗發(fā)生包含的事件是從中隨機取出2

個小球，共有C52

種結果，滿足條件的事件是取出的小球標注的數(shù)字之和為3

或6

可以列舉出所有的事件共有3

種結果，根據(jù)古典概型概率公式得到結果．

本題考查古典概型，考查數(shù)字問題，是古典概型中比較典型的問題，可以列舉出所有的事件，本題是一個送分題目．【解析】310

三、作圖題(共9題，共18分)15、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質可知；C點即為所求．

16、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．18、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質可知；C點即為所求．

19、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最?。?/p>

理由是兩點之間，線段最短．21、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點﹣﹣在底面外任一點；

第三步：畫側棱﹣﹣連接頂點與底面三角形各頂點．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側棱上取一點；從這點開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點連接這點與底面上的頂點，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側棱上取一點，從這點開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共3題，共9分)22、略

【分析】

以A為坐標原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為．

（Ⅰ）證明：因

所以所以AP⊥DC．

由題設知AD⊥DC；且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線；

由此得DC⊥面PAD．

又DC在面PCD上；故面PAD⊥面PCD．

（Ⅱ）【解析】

因

故

所以cos==．

（Ⅲ）【解析】

在MC上取一點N（x，y，z），則存在使

=（1-x，1-y，y-z），=（1，0，-）；

∴x=1-λ，y=1，z=

要使AN⊥MC，只需即x-z=0，解得．

可知當時，N點的坐標（），能使

此時有．

由得AN⊥MC；BN⊥MC；

所以∠ANM為所求二面角的平面角．

∵

∴cos==

所以所求面AMC與面BMC夾角的余弦值為．

【解析】【答案】建立空間直角坐標系；求出A；B、C、D、P、M，的坐標。

（Ⅰ）通過證明AP⊥DC．利用AD⊥DC；證明DC⊥面PAD．然后證明面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求出與公式y(tǒng)g6d向量，即可利用cos=求AC與PB的夾角的余弦值；

（Ⅲ）在MC上取一點N（x，y，z），則存在使求出．說明∠ANM為所求二面角的平面角．利用cos==即可求面AMC與面BMC夾角的余弦值．

23、略

【分析】

（1）記事件A={投擲一次中10環(huán)數(shù)}

事件A發(fā)生；飛鏢落在半徑為10的圓內(nèi)，因此由幾何概型的求概率公式得。

P（A）=

所以這位同學投擲一次中10環(huán)數(shù)概率為

（2）記事件B={投擲一次不到9環(huán)}

事件B發(fā)生；飛鏢落在7；8環(huán)或靶外，因此由幾何概型的求概率公式得。

P（B）=

所以這位同學投擲一次不到9環(huán)的概率為

【解析】【答案】（1）本題是幾何概型問題；欲求出這位同學投擲一次中10環(huán)數(shù)概率，只須求出滿足：10環(huán)的圓的面積，再將求得的面積值與整個圓形靶求比值，最后再乘以（1-0.4）即得．

（2）欲求出這位同學投擲一次不到9環(huán)的概率；只須求出滿足：這位同學投擲一次不到9環(huán)的區(qū)域的面積，再將求得的面積值與整個圓形靶求比值，最后再乘以（1-0.4）即得．

24、略

【分析】

（1）連接AC，BD，設交點為O，連接ON，OM，由MN⊥CD，NO⊥CD，可證CD⊥平面MNO，可證AB⊥OM，OM∥AD，又N在BD1上且為中點，從而可證MN∥AD1；

（2）由（1）可知，N是BD1的中點，MN∥AD1；即可得證M是AB的中點．

本題主要考查了直線與平面垂直的性質，考查了空間想象能力和推理論證能力，作出恰當?shù)妮o助線是解題的關鍵，屬于中檔題．【解析】證明：（1）連接AC；BD，設交點為O，連接ON，OM；

∵MN⊥平面A1DC，CD?平面A1DC；

∴MN⊥CD；

∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，N是A1C的中點；O是AC的中點；

∴NO⊥CD；

∵MN∩NO=N；

∴CD⊥平面MNO；

∴CD⊥OM；CD∥AB

∴AB⊥OM；

∴OM∥AD；

又∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，N是A1C的中點；

∴N在BD1上；且為中點；

∴△AD1B中，MN∥AD1；

（2）∵由（1）可知，N是BD1的中點，MN∥AD1；

∴M是AB的中點．五、綜合題(共1題，共7分)25、略

【分析】【分析】（1）由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式．

（2）連接BC；交直線l于點D，根據(jù)拋物線對稱軸的性質，點B與點A關于直線l對稱，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“兩點之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點；