福建省南平市下沙中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

福建省南平市下沙中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，地在地的正東方向處，地在地的北偏東30°方向處，河流的沒(méi)岸（曲線）上任意一點(diǎn)到的距離比到的距離遠(yuǎn)現(xiàn)要在曲線上選一處建一座碼頭，向、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物.經(jīng)測(cè)算，從到、到修建公路的費(fèi)用分別是萬(wàn)元/km、萬(wàn)元/km，那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是（

） A．(2－2)a萬(wàn)

B．5a萬(wàn)元 C．(2+1)a萬(wàn)元 D.(2+3)a萬(wàn)元參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)

H6Ｂ依題意知曲線是以、為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的一支（以為焦點(diǎn)），此雙曲線的離心率為2，以直線為軸、的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則該雙曲線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則修建這條公路的總費(fèi)用設(shè)點(diǎn)、在右準(zhǔn)線上射影分別為點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)取等號(hào)，故的最小值是.故選擇Ｂ.【思路點(diǎn)撥】依題意知曲線是雙曲線的方程為的一支，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則修建這條公路的總費(fèi)用根據(jù)雙曲線的定義有，所以.2.設(shè)f（x）﹣x2=g（x），x∈R，若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則g（x）的解析式可以為（）A．x3 B．cosx C．1+x D．xex參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)偶函數(shù)與偶函數(shù)的和為偶函數(shù)，只要g（x）為偶函數(shù)即可．【解答】解：由題意，只要g（x）為偶函數(shù)即可，由選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)B的函數(shù)為偶函數(shù)；故選：B．3.已知f（x）在R上是奇函數(shù)，且滿足f（x+4）=f（x），當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=2x2，則f（7）=（）A．2 B．﹣2 C．﹣98 D．98參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】利用函數(shù)的周期性、奇偶性求解．【解答】解：∵f（x）在R上是奇函數(shù)，且滿足f（x+4）=f（x），當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=2x2，∴f（7）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故選：B．4.已知α、β均為銳角，且的值為（）A．﹣1 B．1 C． D．不存在參考答案：B【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正切函數(shù)；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【分析】由條件化簡(jiǎn)可得tanβ=tan（﹣α），再由α、β均為銳角，可得β=﹣α，即α+β=，故可求tan（α+β）的值．【解答】解：∵tanβ===tan（﹣α），又∵α、β均為銳角，∴β=﹣α，即α+β=，∴tan（α+β）=tan=1，故選B．5.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則m=A.

0

B.

3

C.

0或3

D.

4參考答案：B

.故選B.6.定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù).若的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，，則的值為A.

B.

C.

D.參考答案：答案:C7.△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，.且，則△ABC的面積為（

）A.2 B.3 C.4 D.參考答案：A【分析】根據(jù)余弦定理構(gòu)造方程可求得，從而得到，根據(jù)同角三角函數(shù)求得，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得：，即解得：

本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理解三角形、同角三角函數(shù)值求解、三角形面積公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用余弦定理解得邊長(zhǎng)和角度.

8.設(shè)集合，則集合（

）

參考答案：B略9.已知函數(shù)y=f（x）是R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x≠0時(shí)，有，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)函數(shù)的圖象求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：由，可得F（x）=xf（x）﹣=0，得xf（x）=，設(shè)g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），∵x≠0時(shí)，有，即當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）=f（x）+xf'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，此時(shí)g（x）＞g（0）=0，當(dāng)x＜0時(shí)，g'（x）=f（x）+xf'（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，此時(shí)g（x）＞g（0）=0，作出函數(shù)g（x）和函數(shù)y=的圖象，（直線只代表單調(diào)性和取值范圍），由圖象可知函數(shù)F（x）=xf（x）﹣的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的圖象的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10.一個(gè)機(jī)器零件的三視圖如圖所示，其中俯視圖是一個(gè)半圓內(nèi)切于邊長(zhǎng)為2的正方形，則該機(jī)器零件的體積為A．8+

B．8+C．8+

D．8+參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=BC=AB-DC=2,點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，BC的三等分點(diǎn)，0為DC的中點(diǎn)，則=

.

參考答案：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，連BO，可得為等邊三角形，所以，則。所以，，故。

12.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示（單位：），則該幾何體的體積為__________。參考答案：略13.展開式中，形如的項(xiàng)稱為同序項(xiàng)，形如

的項(xiàng)稱為次序項(xiàng)，如q是一個(gè)同序項(xiàng)，是一個(gè)次序項(xiàng)。從展開式中任取兩項(xiàng)，恰有一個(gè)同序項(xiàng)和一個(gè)次序項(xiàng)的概率為

。參考答案：14.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)雙曲線（）的右頂點(diǎn)P作射線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于第一象限的點(diǎn)M和第二象限的點(diǎn)N，且，的面積為，則a=________．參考答案：由等軸雙曲線可設(shè)，，，，由，得，整理得，解得，，，解得，即．15.已知實(shí)數(shù)、滿足不等式組，則的最大值是________。參考答案：略16..“克拉茨猜想”又稱“猜想”，是德國(guó)數(shù)學(xué)家洛薩?克拉茨在1950年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上公布的一個(gè)猜想：任給一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半；如果n為奇數(shù)就將它乘3加1,不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，最終都能夠得到1.己知正整數(shù)m經(jīng)過(guò)6次運(yùn)算后得到1，則m的值為__________．參考答案：10或64.【分析】從第六項(xiàng)為1出發(fā)，按照規(guī)則逐步進(jìn)行逆向分析，可求出m的所有可能的取值．【詳解】如果正整數(shù)m按照上述規(guī)則經(jīng)過(guò)6次運(yùn)算得到1，則經(jīng)過(guò)5次運(yùn)算后得到的一定是2；經(jīng)過(guò)4次運(yùn)算后得到的一定是4；經(jīng)過(guò)3次運(yùn)算后得到的為8或1（不合題意）；經(jīng)過(guò)2次運(yùn)算后得到的是16；經(jīng)過(guò)1次運(yùn)算后得到的是5或32；所以開始時(shí)的數(shù)為10或64．所以正整數(shù)m的值為10或64．故答案為：10或64．【點(diǎn)睛】本題考查推理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是按照逆向思維的方式進(jìn)行求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.若函數(shù)(其中為常數(shù)且)，滿足，則的解集是

.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）

在數(shù)列中，已知.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（Ⅲ)設(shè)數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.參考答案：解：（Ⅰ）∵∴數(shù)列｛｝是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴.………………3分（Ⅱ）∵…………………4分∴.……

5分∴，公差d=3∴數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.……7分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，（n）∴.………8分∴，

①于是

②……9分兩式①-②相減得=.………11分

∴.………12分.略19.設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax2+blnx，曲線y=f（x）過(guò)P（1，0），且在P點(diǎn)處的切線斜率為2．（1）求a，b的值；（2）當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，求f（x）的最值；（3）證明：f（x）≤2x﹣2．參考答案：解：（1）函數(shù)f（x）=x+ax2+blnx的導(dǎo)數(shù)為．由已知條件得，解得a=﹣1，b=3．（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），由（1）知f（x）=x﹣x2+3lnx．令f′（x）=0解得．xf′（x）+0﹣f（x）增

減當(dāng)x=時(shí)，取得最大值；當(dāng)x=e時(shí)，取得最小值f（e）=e﹣e2+3．（3）設(shè)g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，則g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減．即有x=1處取得極大值，且為最大值0故當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≤0，即f（x）≤2x﹣2．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：方程思想；構(gòu)造法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．分析：（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b的值；（2）求得導(dǎo)數(shù)，求得極值點(diǎn)，求出端點(diǎn)處的函數(shù)值，可得最值；（3）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極值和最值，即可證得不等式．解答：解：（1）函數(shù)f（x）=x+ax2+blnx的導(dǎo)數(shù)為．由已知條件得，解得a=﹣1，b=3．（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），由（1）知f（x）=x﹣x2+3lnx．令f′（x）=0解得．xf′（x）+0﹣f（x）增

減當(dāng)x=時(shí)，取得最大值；當(dāng)x=e時(shí)，取得最小值f（e）=e﹣e2+3．（3）設(shè)g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，則g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減．即有x=1處取得極大值，且為最大值0故當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≤0，即f（x）≤2x﹣2．點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查構(gòu)造函數(shù)的思想方法證明不等式，屬于中檔題20.(12分)已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足f＝f(x1)－f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．參考答案：解(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，則>1，由于當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)．(3)∵f(x)在[0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)，∴f(x)在[2,9]上的最小值為f(9)．由f＝f(x1)－f(x2)得f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.∴f(x)在[2,9]上的最小值為－2.

略21.（本小題滿分12分）記函數(shù)的定義域?yàn)榧?，函?shù)的定義域?yàn)榧?(1)求和；(2)若,求