福建省南平市新光中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

福建省南平市新光中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿足下列三個條件①對任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）．②對于任意的x1，x2∈[0，2]，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．③函數(shù)f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對稱．則下列結(jié)論中，正確的是（）A．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7） B．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5） C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5） D．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）參考答案：B【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)的圖象．【分析】判斷函數(shù)的周期性，單調(diào)性，對稱軸，然后判斷函數(shù)值的大?。窘獯稹拷猓憾x在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿足：①對任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）．函數(shù)是周期函數(shù)，周期為4；②對于任意的x1，x2∈[0，2]，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．說明函數(shù)在x∈[0，2]，函數(shù)是增函數(shù)；③函數(shù)f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對稱．函數(shù)的對稱軸x=2．則函數(shù)在x∈[2，4]，函數(shù)是增函數(shù)；f（7）=f（3）=f（1）；f（6.5）=f（2.5）=f（1.5）；f（4.5）=f（0.5）；f（1.5）＞f（1）＞f（0.5）．可得f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）．故選：B．2.若則“”是“”

A．必要不充分條件

B．充分不必要條件

C．充要條件

D．既不充分與不必要條件參考答案：A略3.已知復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A.－1 B.1 C.－2 D.2參考答案：B【分析】利用復(fù)數(shù)乘法、除法運(yùn)算化簡，由此求得的共軛復(fù)數(shù)，進(jìn)而求得的虛部.【詳解】依題意，故，其虛部為1.故選：B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)乘法、除法的運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)虛部，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的值域是（

）A．(－∞,－1]

B．[3,+∞)C．[－1,3]

D．(－∞,－1]∪[3,+∞)參考答案：D5.如圖所示的程序框圖，其功能是輸入x的值，輸出相應(yīng)的y值．若要使輸入的x值與輸出的y值相等，則這樣的x值有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個參考答案：A【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】由已知的程序框圖，我們可得該程序的功能是計(jì)算并輸出分段函數(shù)y=的值，結(jié)合輸入的x值與輸出的y值相等，我們分類討論后，即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意得該程序的功能是：計(jì)算并輸出分段函數(shù)y=的值，又∵輸入的x值與輸出的y值相等，當(dāng)|x|≤1時(shí)，x=x2，解得x=0，或x=1，當(dāng)|x|＞1時(shí)，x=ln|x|，無解．故滿足條件的x值共有2個．故選：A．6.如圖，

ABCD中，AB⊥BD，沿BD將△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，連結(jié)AC，則在四面體ABCD的四個面中，互相垂直的平面有（

）對

（

）

A．1 B．2

C．3 D．4

參考答案：答案:C7.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由的假設(shè)到證明時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B略8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)A,B的坐標(biāo)為和，則的值為

參考答案：A略9.（5分）（2015?青島一模）函數(shù)y=4cosx﹣e|x|（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象可能是（）A．B．C．D．參考答案：A【考點(diǎn)】：函數(shù)的圖象．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：先驗(yàn)證函數(shù)y=4cosx﹣e|x|是否具備奇偶性，排除一些選項(xiàng)，在取特殊值x=0時(shí)代入函數(shù)驗(yàn)證即可得到答案．解：∵函數(shù)y=4cosx﹣e|x|，∴f（﹣x）=4cos（﹣x）﹣e|﹣x|=4cosx﹣e|x|=f（x），函數(shù)y=4cosx﹣e|x|為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除BD，又f（0）=y=4cos0﹣e|0|=4﹣1=3，只有A適合，故選：A．【點(diǎn)評】：本題主要考查函數(shù)的圖象，關(guān)于函數(shù)圖象的選擇題，通常先驗(yàn)證奇偶性，排除一些選項(xiàng)，再代特殊值驗(yàn)證，屬于中檔題．10.已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，則CU(A∪B)等于A{6,8}

B{5,7}

C{4,6,7}

D{1,3,5,6,8}參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三棱錐，兩兩垂直且長度均為6，

長為2的線段的一個端點(diǎn)在棱上運(yùn)動，另一個端點(diǎn)在內(nèi)運(yùn)動（含邊界），則的中點(diǎn)的軌跡與三棱錐的面圍成的幾何體的體積為

．

參考答案：略12.若是純虛數(shù)（是虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)的值為

．參考答案：

13.已知，則

參考答案：，，，，，故答案為：．

14.

設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(α)＝4，則實(shí)數(shù)α為________．參考答案：－4或215.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為_____.參考答案：由題意得，因?yàn)閿?shù)列{}的前6項(xiàng)和為.16.如右上圖，如果執(zhí)行它的程序框圖，輸入正整數(shù)，那么輸出的等于

．參考答案：168017.設(shè),集合則的值是

參考答案：-1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，.求和的通項(xiàng)公式；設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：，當(dāng)時(shí)，，，，.又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，，，又，.由得：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，綜上，.19.已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ，，其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．（Ⅰ）對任意實(shí)數(shù)λ，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；（Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）設(shè)0＜a＜b，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個實(shí)數(shù)λ，使{an}是等比數(shù)列，則有a22=a1a3，即，矛盾．所以{an}不是等比數(shù)列．（Ⅱ）解：因?yàn)閎n+1=（﹣1）n+1[an+1﹣3（n+1）+21]=（﹣1）n+1（an﹣2n+14）=（﹣1）n?（an﹣3n+21）=﹣bn又b1=﹣（λ+18），所以當(dāng)λ=﹣18，bn=0（n∈N+），此時(shí){bn}不是等比數(shù)列：當(dāng)λ≠﹣18時(shí)，b1=（λ+18）≠0，由上可知bn≠0，∴（n∈N+）．故當(dāng)λ≠﹣18時(shí)，數(shù)列{bn}是以﹣（λ+18）為首項(xiàng)，﹣為公比的等比數(shù)列．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)λ=﹣18，bn=0，Sn=0，不滿足題目要求．∴λ≠﹣18，故知bn=﹣（λ+18）?（﹣）n﹣1，于是可得Sn=﹣，要使a＜Sn＜b對任意正整數(shù)n成立，即a＜﹣（λ+18）?[1﹣（﹣）n]＜b（n∈N+）得①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1＜f（n）≤；當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，，∴f（n）的最大值為f（1）=，f（n）的最小值為f（2）=，．于是，由①式得a＜﹣（λ+18）＜．當(dāng)a＜b≤3a時(shí)，由﹣b﹣18≥=﹣3a﹣18，不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求；當(dāng)b＞3a存在實(shí)數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜Sn＜b，且λ的取值范圍是（﹣b﹣18，﹣3a﹣18）略20.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函數(shù)g（x）的極值．參考答案：【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），求出切線方程即可；（2）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可．【解答】解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx+x，則f（1）=1，所以切點(diǎn)為（1，1），又f′（x）=+1，則切線斜率k=f′（1）=2，故切線方程為：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0；（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)閤＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是遞增函數(shù)，無極值；當(dāng)a＞0時(shí)，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，所以當(dāng)x∈（0，）時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，因此函數(shù)g（x）在x∈（0，）是增函數(shù)，在（，+∞）是減函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間是（0，），遞減區(qū)間是（，+∞），∴x=時(shí)，g（x）有極大值g（）=﹣lna，綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）無極值；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)g（x）有極大值﹣lna，無極小值．【點(diǎn)評】本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．21.某保險(xiǎn)公司針對一個擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為A、B、C三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000、6000、2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計(jì)賠付概率）：工種類別ABC賠付頻率

已知A、B、C三類工種職工每人每年保費(fèi)分別為25元、25元、40元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險(xiǎn)公司在開展此業(yè)務(wù)的過程中固定支出每年10萬元.（1）求保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤的期望值；（2）現(xiàn)有如下兩個方案供企業(yè)選擇：方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠償付給出意外的職工，企業(yè)開展這項(xiàng)工作的固定支出為每年12萬元；方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的70%，職工個人負(fù)責(zé)30%，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，企業(yè)無額外專項(xiàng)開支.根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.參考答案：(1)詳見解析；(2)方案2．試題分析：（1）設(shè)工種職工的每份保單保險(xiǎn)公司的收益為隨機(jī)變量，可得其分布列，分別求解數(shù)學(xué)期望，即可得到該工資的期望值；（2）分別求出方案1和方案2中企業(yè)每年安全支出與固定開支，即可作出比較得到結(jié)論．試題解析：（1）設(shè)工種A、B、C職工的每份保單保險(xiǎn)公司的收益為隨機(jī)變量X、Y、Z，則X、Y、Z的分布列為X25PY25PZ40

P

保險(xiǎn)公司的期望收益為；；；保險(xiǎn)公司的利潤的期望值為，保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤的期望值為9萬元．（2）方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，則企業(yè)每年安全支出與固定開支共為：，方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，則企業(yè)支出保險(xiǎn)金額為：，，故建議企業(yè)選擇方案2．22.如圖，在四棱錐A﹣BCDE中，側(cè)面ABC為正三角形，DC=BC=2BE，BE∥CD，DC⊥BC，且側(cè)面ABC⊥底面BCDE，P為AD的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：PE∥平面ABC；（Ⅱ）證明：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求二面角P﹣CE﹣B的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中點(diǎn)O，推導(dǎo)出四邊形OPEB是平行四邊形，從而PE∥OB，由此能證明PE∥平面ABC．（Ⅱ）推導(dǎo)出DC⊥OB，OB⊥AC，從而OB⊥面ACD，進(jìn)而PE⊥面ACD，由此能證明平面ADE⊥平面ACD．（Ⅲ）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P﹣CE﹣B的正弦值．【解答】證明：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)O，OP∥CD，OP=，∵OP∥BE，OP=BE，∴四邊形OPEB是平行四邊形，∴PE∥OB，∵PE?平面平面ABC，OB?平面ABC，∴PE∥平面ABC．（Ⅱ）∵DC⊥BC，且面ABC⊥面BCDE，∴DC⊥面ABC，∵BO?面ABC，∴DC⊥OB，∵OB⊥AC，又AC∩DC=C，∴OB⊥面