2024-2025學(xué)年青海省西寧十四中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年青海省西寧十四中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知直線過直線x?y+2=0和2x+y+1=0的交點，且與直線x?3y+2=0垂直，則直線的方程為(

)A.3x+y+2=0 B.3x?y+2=0 C.x+3y+2=0 D.x?3y+2=02.在等比數(shù)列{an}中，若a5aA.6 B.9 C.±6 D.±93.以橢圓x28+yA.x24?y24=1 B.4.如圖1所示，ABCD?A1B1C1D1為正方體，給出以下四個結(jié)論：

①AC1⊥平面CB1D1；

②直線B1C與BD所成的角為60°；

③二面角A.①②③ B.②③ C.①②④ D.①②5.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=1+A.2 B.3 C.?12 6.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且A.33 B.43 C.2+7.已知直線x?3y+8=0和圓x2+y2=r2(r>0)相交于A.3 B.3 C.5 D.8.已知橢圓C：x26+y2m=1(m>0且m≠6)，直線x+3y?4=0與橢圓C相交于A，B兩點，若A.2 B.4 C.22 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S8>0A.a5>0 B.a4>0

C.{an}中絕對值最小的項為a5 D.10.已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，O為坐標原點，點M(x0,y0)A.F的坐標為(1,0) B.y0=4 C.|OM|=211.已知圓C：(x+2)2+y2=4，直線lA.當(dāng)m=0時，圓C上恰有三個點到直線l的距離等于1

B.對于任意實數(shù)m，直線l恒過定點(?1,1)

C.若圓C與圓x2+y2?2x+8y+a=0恰有三條公切線，則a=8

D.若動點D在圓C上，點E(2,4)，則線段三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若5是a與b的等差中項，3是a與b的等比中項，則a2+b213.已知P為圓(x+1)2+y2=1上任意一點，A，B為直線3x+4y?7=0上的兩個動點，且|AB|=214.如圖，在正四面體OABC中，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點，則OE與BF的夾角的余弦值為______．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，點M、N分別為AP、BC的中點．

(1)證明：直線MN//平面PCD；

(2)求點B到平面MND的距離．16.(本小題12分)

已知圓M：x2+y2?ax?2ay?40=0的圓心在直線x?y+1=0上，直線l：y=x+6．

(1)求a的值；

(2)求圓M關(guān)于直線l對稱的圓M′的標準方程；

(3)過(2)中的點M′作圓M的切線17.(本小題12分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，O為坐標原點，P為橢圓上任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，且b2=a，其離心率為22，過點M(0,1)的動直線l與橢圓相交于A，B18.(本小題12分)

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

19.(本小題12分)

如圖，ABCD為圓柱OO′的軸截面，EF是圓柱上異于AD，BC的母線．

(1)證明：BE⊥平面DEF；

(2)若AB=BC=6，當(dāng)三棱錐B?DEF的體積最大時，求二面角B?DF?E的正弦值．

參考答案1.A

2.B

3.A

4.D

5.A

6.D

7.C

8.B

9.BCD

10.BD

11.BCD

12.82

13.[1,3]

14.?215.解：(1)證明：取PD中點Q，連接MQ、CQ，

∵△PAD中，點M、Q分別為PA、PD的中點，∴MQ//AD且MQ=12AD=1，

∵在正方形ABCD中，N為BC中點，∴NC//AD，NC=1，可得MQ//NC，MQ=NC，

∴四邊形MQCN為平行四邊形，可得MN//CQ，

又∵MN?平面PCD，CQ?平面PCD，∴直線MN/?/平面PCD；

(2)∵平面ABCD為正方形，且PA⊥底面ABCD，∴AB、AD、AP兩兩互相垂直，

分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，

可得M(0,0,1)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，N(2,1,0)，

MD=(0,2,?1),DN=(2,?1,0),BN=(0,1,0)，

設(shè)平面MND的法向量為n=(x,y,z)，

則n?MD=0n?DN=0，即2y?z=02x?y=0，取16.解：(1)由已知圓M：x2+y2?ax?2ay?40=0，則圓M(a2,a)，

又圓心M在直線x?y+1=0上，即a2?a+1=0，解得a=2；

(2)由(1)得圓M：x2+y2?2x?4y?40=0，即(x?1)2+(y?2)2=45，即M(1,2)，半徑r=35，

設(shè)M′(x0,y0)，則MM′中點為(x0+12,y0+22)且kMM′=y0?2x0?1，

所以由對稱可知y0+217.解：(1)由題意可得a=b2ca=22a2=b2+c2，解得a2=4，b2=2，

所以橢圓的幫助方程為x24+y22=1；

(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，把M代入橢圓方程可得x=±2，

所以|AB|=22，不符合題意，

所以直線l的斜率存在，則可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，代入橢圓方程可得：

(2k2+1)x2+4kx?2=0，

其判別式△=16k18.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d．

由S4=4S2，a2n=2an+1，得

4a1+6d=8a1+4da1+(2n?1)d=2a1+2(n?1)d+1,

解得：a1=1，d=2．

因此an=2n?1；

(2)由已知b1a1+b2a2+…+bnan=1?12n，n∈N?，

當(dāng)n=119.解：(1)證明：如圖，連接AE，由題意知AB為⊙O的直徑，

所以AE⊥BE.因為AD，EF是圓柱的母線，

所以AD/?/EF且AD=EF，所以四邊形AEFD是平行四邊形．

所以AE/?/DF，所以BE⊥DF．

因為EF是圓柱的母線，所以EF⊥平面ABE，

又因為BE?平面ABE，所以EF⊥BE．

又因為DF∩EF=F，DF、EF?平面DEF，所以BE⊥平面DEF．

(2)由(1)知BE是三棱錐B?DEF底面DEF上的高，

由(1)知EF⊥AE，AE/?/DF，所以EF⊥DF，

即底面三角形DEF是直角三角形．

設(shè)DF=AE=x，BE=y，

則在Rt△ABE中有：x2+y2=6，

所以VB?DEF=13S△DEF?BE=13?(12x?6)?y=66xy≤66?x2+y22=62，

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時等號成立，即點E，F(xiàn)分別是AEB，CFD的中點時，三棱錐B?DEF的體積最大，

下面求二面角B?DF?E的正弦值：

法一：由(1)得BE⊥平面DEF，因為DF?平面DEF，所以BE⊥DF．

又因為EF⊥DF，EF∩BE=E，所以DF⊥平面BEF．

因為BF