2024-2025學(xué)年上海實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試卷及答案（2024.12）（含答案）

參考答案一、填空題1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.2；11.；12.；11.定義表示實(shí)數(shù)中的較大者，若是正實(shí)數(shù)，

則的最小值是_______.【答案】【解析】按和分類:記,

當(dāng)時(shí),,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；

當(dāng)時(shí),,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。綜上所述，的最小值是。12.橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為A，若存在直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)的重心為，直線的斜率取值范圍是_______.【答案】【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，由已知設(shè)，因?yàn)橹匦臑椋?，所?又,兩式相減可得:,所以，

所以直線的斜率,

又因?yàn)橄褺C的中點(diǎn)應(yīng)在橢圓內(nèi)，故，解得，即所以在上嚴(yán)格增，故，所以.二、選擇題13.A；14.A；15.B；16.D15.若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),為的中點(diǎn).點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),,中點(diǎn)到圓心的距離為,

由圓的定義可知，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以，半徑1的圓，又點(diǎn)在圓的最小值為:.故選:B.16.已知函數(shù),若有兩個(gè)零點(diǎn)，則（）

A.B.C.D.【答案】D【解析】和差化積公式:,,

AB選項(xiàng):,故AB錯(cuò)誤

D選項(xiàng):,故D正確

C選項(xiàng):,矛盾,故舍去綜上所述：選項(xiàng)D正確三、解答題17.（1）（2）（3）18.（1）證明略（2）19.（1）（2）20.若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是,且離心率為2.

(1)求雙曲線的方程;

(2)設(shè)過焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支相交于兩點(diǎn)（不重合）,

①求直線的傾斜角的取值范圍;

②在軸上是否存在定點(diǎn),使得直線和的斜率之積為常數(shù),若存在,求出的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由?！敬鸢浮浚?）（2）①②見解析【解析】(1)由題意,

又,則,所以,雙曲線的方程為.

（2）①（i）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線,

聯(lián)立，整理得:，由題得:解得或,此時(shí)，直線的傾斜角的范圍為.

（ii）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的傾斜角為。綜上可知，直線的傾斜角的范圍為.

②(i)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線和的斜率之積，

由（2）①得:,又得:

對于任意都成立，所以

解得:或，即當(dāng)坐標(biāo)為時(shí)，；

當(dāng)坐標(biāo)為時(shí)，。

（ii）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)當(dāng)坐標(biāo)為時(shí)，；當(dāng)坐標(biāo)為時(shí)，。綜上所述，存在點(diǎn)，使得直線和的斜率之積為常數(shù)。21.已知函數(shù)。

（1）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若,求證:；

(3)若為正實(shí)數(shù)，且,求證:【答案】（1）（2）見解析（3）見解析【解析】(1)首先,,故,

設(shè),則,由,

可知當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,故,滿足;當(dāng)時(shí),由在區(qū)間上單調(diào)遞增,且,故存在,使得,且時(shí),單調(diào)遞減,此時(shí),,與題設(shè)矛盾.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍.

(2)

由,可知,即

故只要證

設(shè),