GARCH模型與波動(dòng)性建模課件

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GARCH模型與波動(dòng)性建模不確定性是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)和金融理論經(jīng)常涉及到的一個(gè)焦點(diǎn)問(wèn)題。圖9.1上證指數(shù)日收益率時(shí)序圖（1990.12.19—2001.07.31）問(wèn)題：如何刻畫(huà)金融市場(chǎng)收益（波動(dòng)聚集特徵）的不確定性？2ARCH模型的概念與性質(zhì)金融時(shí)間序列“波動(dòng)聚集”效應(yīng)，即異方差（時(shí)變方差）。如何刻畫(huà)時(shí)變波動(dòng)率（time-varyingvolatility）？深圳指數(shù)日收益率時(shí)序圖（1991.04.03—2001.07.31）AutoregressiveConditionalHeteroskedasticityWithEstimatesoftheVarianceofUKInflation,

Econometrica,50(1982):987-1008.31、條件預(yù)測(cè)優(yōu)於無(wú)條件預(yù)測(cè)條件異方差問(wèn)題平穩(wěn)的ARMA模型：條件預(yù)測(cè)：條件預(yù)測(cè)誤差的方差：無(wú)條件預(yù)測(cè)是序列的長(zhǎng)期均值無(wú)條件預(yù)測(cè)誤差的方差：4但上述模型事先假定了可變方差是由一特定外生變數(shù)產(chǎn)生的，選擇的理由未必充分??！上述分析假定擾動(dòng)項(xiàng)的方差為常數(shù)，但實(shí)踐表明，許多經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列都存在變異聚集的特點(diǎn)，即具有條件異方差特性。變數(shù)方差變異的途徑之一：引入一個(gè)獨(dú)立變數(shù)變數(shù)方差變異的途徑之二：借用時(shí)間序列建模的思想，對(duì)條件方差的動(dòng)態(tài)變化特徵進(jìn)行建模，即ARCH模型。條件異方差問(wèn)題5其中，X是外生變數(shù)向量，它可以包含被解釋變數(shù)的滯後項(xiàng)，

是回歸參數(shù)向量；為T(mén)時(shí)期以前的資訊集,是一個(gè)元非負(fù)函數(shù)。稱(chēng)服從

階自回歸條件異方差模型。

一般定義：ARCH模型模型：6顯然：特別，對(duì)進(jìn)行一定的假定，設(shè)定其生成過(guò)程為某種特殊形式。即ARCH模型

即：7結(jié)論1、的無(wú)條件均值和方差不會(huì)受的生成過(guò)程的影響?？疾霢RCH(1)模型ARCH模型的性質(zhì)

8結(jié)論3、誤差項(xiàng)的ARCH結(jié)構(gòu)將影響序列的變異特徵。結(jié)論2、的條件均值為0，但條件方差依賴(lài)於上一期的實(shí)現(xiàn)值。ARCH模型的性質(zhì)9

模型：ARCH模型的估計(jì)：MLEARCH模型的估計(jì)與檢驗(yàn)則：其中：10對(duì)應(yīng)於觀測(cè)樣本，樣本對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：將上述似然方程關(guān)於參數(shù)向量極大化，就得到參數(shù)向量的極大似然估計(jì)。在實(shí)際應(yīng)用中，可借助軟體包（EVIEWS、R）進(jìn)行計(jì)算。ARCH模型的估計(jì)11基本思想：檢驗(yàn)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是否服從ARCH過(guò)程，主要是考察隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的條件異方差的係數(shù)。

隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)無(wú)ARCH效應(yīng)

ARCH效應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)ARCH模型的檢驗(yàn)具體步驟：第一步：在原假設(shè)下用OLS方法估計(jì)約束模型：第二步：計(jì)算殘差序列與殘差平方序列，然後估計(jì)如下模型（輔助回歸）：12第三步：計(jì)算拉格朗日乘數(shù)統(tǒng)計(jì)量LM的值。可以證明，在零假設(shè)成立的條件下，LM漸進(jìn)服從。因此，給定顯著性水準(zhǔn)，若，則說(shuō)明輔助回歸方程顯著，從而就拒絕零假設(shè)，從而拒絕隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)不存在ARCH效應(yīng)的原假設(shè)，說(shuō)明隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)存在ARCH效應(yīng)。反之亦然。ARCH模型的檢驗(yàn)13BOLLERSLEV(1986)借助ARMA模型的建模思想，對(duì)ARCH模型進(jìn)行了拓展，建立了GARCH模型，來(lái)彌補(bǔ)待估參數(shù)過(guò)多所帶來(lái)的缺陷。在實(shí)際應(yīng)用中人們發(fā)現(xiàn)，為了描述變數(shù)的變異聚類(lèi)特性，有時(shí)需要運(yùn)用高階ARCH模型。問(wèn)題：高階ARCH模型對(duì)應(yīng)過(guò)多的參數(shù)，在樣本有限的情況下，參數(shù)估計(jì)的效率就會(huì)降低，有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)估計(jì)參數(shù)為負(fù)的情況。GARCH模型14其中，。顯然，ARCH模型看成是GARCH模型的特殊情形GARCH模型模型：注：如果某序列服從一個(gè)過(guò)程，那麼在一定條件下，它可以用一個(gè)具有合理滯後結(jié)構(gòu)的無(wú)限階ARCH過(guò)程來(lái)代替表示。因此，對(duì)於一個(gè)高階ARCH模型，可以用一個(gè)比較簡(jiǎn)潔的GARCH模型來(lái)表示，以減少估計(jì)參數(shù)，便於模型識(shí)別和估計(jì)。15與ARCH模型一樣，估計(jì)GARCH模型最常見(jiàn)的方法是極大似然方法（MLE）。GARCH模型的估計(jì)上述似然方程的求解可以使用BHHH演算法得到，在實(shí)際應(yīng)用中，可借助軟體包進(jìn)行計(jì)算。16基本思想：與ARCH模型類(lèi)似，GARCH模型的檢驗(yàn)可以用拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)。

下麵給出另一種檢驗(yàn)GARCH效應(yīng)的相關(guān)圖檢驗(yàn)方法。GARCH模型的檢驗(yàn)可以認(rèn)為，遵從。因此，如果擾動(dòng)項(xiàng)具有GARCH效應(yīng)，則殘差平方序列的ACF可以幫助識(shí)別GARCH過(guò)程的階，的相關(guān)圖會(huì)給出這種過(guò)程的提示。17第一步，對(duì)作“最佳擬合”估計(jì)，得到擬合誤差的平方，計(jì)算樣本殘差方差：

操作步驟：第二步，計(jì)算殘差平方的樣本自相關(guān)係數(shù)：GARCH模型的檢驗(yàn)18在原假設(shè)成立的條件下，Q統(tǒng)計(jì)量漸進(jìn)服從自由度為

的分佈。在實(shí)際應(yīng)用中，可以取到。

顯然，給定顯著性水準(zhǔn)，Q統(tǒng)計(jì)量大於臨界值，拒絕零假設(shè)，表明隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)有GARCH效應(yīng)

第三步：GARCH模型的檢驗(yàn)19在實(shí)際應(yīng)用中，條件方差的變化會(huì)影響收益率條件期望的變化。例如，在考慮風(fēng)險(xiǎn)與投資回報(bào)之間的關(guān)係時(shí)，由於投資者是依據(jù)當(dāng)前資訊而持有證券，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)（條件方差）增大時(shí)，投資者要求的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償也就大。

ENGLE、LILLIEN和ROBINS(1987)在ARCH模型的基礎(chǔ)上，將條件方差引入均值方程，建立了能夠刻畫(huà)時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)收益補(bǔ)償?shù)腁RCH—M模型（即ARCH—均值模型）。

ARCH-M模型ARCH模型的其他推廣20ARCH-M模型的一般形式：ARCH-M模型注：（1）上述模型常用均值方程為：（2）當(dāng)取GARCH結(jié)構(gòu)，模型即為GARCH-M模型。21在一個(gè)有效的市場(chǎng)上，相同程度的正負(fù)外部衝擊對(duì)市場(chǎng)波動(dòng)性的影響是相同的，但在現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)特別是股票市場(chǎng)上，往往出現(xiàn)這種情況，相同強(qiáng)度的利壞衝擊對(duì)波動(dòng)的影響常常要比利好衝擊來(lái)得大，即壞消息對(duì)波動(dòng)性的影響要比好消息的影響大，這種外部衝擊對(duì)金融市場(chǎng)波動(dòng)的非對(duì)稱(chēng)性影響常稱(chēng)為“杠桿效應(yīng)”。指數(shù)GARCH模型ARCH和GARCH模型不足：一是模型對(duì)係數(shù)參數(shù)的非負(fù)約束；二是外部衝擊對(duì)條件方差的影響程度只取決於外部衝擊的絕對(duì)值大小，而與衝擊的符號(hào)無(wú)關(guān)。指數(shù)GARCH模型22Nelson（1991）引入指數(shù)GARCH模型（EGARCH），來(lái)處理正負(fù)衝擊反應(yīng)的非對(duì)稱(chēng)性，與ARCH模型的區(qū)別主要體現(xiàn)在條件方差的結(jié)構(gòu)上。指數(shù)GARCH模型其中，注：參數(shù)刻畫(huà)了過(guò)去衝擊不同幅度對(duì)當(dāng)前條件方差的影響參數(shù)刻畫(huà)了過(guò)去衝擊不同符號(hào)對(duì)當(dāng)前條件方差的影響。23其中，，可根據(jù)取值符號(hào)的不同，可以刻畫(huà)出正負(fù)衝擊的非對(duì)稱(chēng)影響，揭示“杠桿效應(yīng)”。如果

則體現(xiàn)負(fù)的外部衝擊會(huì)比正的外部衝擊導(dǎo)致更大的條件方差。

Engle和Ng（1993）提出了非對(duì)稱(chēng)（Asymmetric）GARCH模型來(lái)刻畫(huà)衝擊的非對(duì)稱(chēng)性影響。模型的條件方差結(jié)構(gòu)形如：非對(duì)稱(chēng)GARCH模型（AGARCH）24在分析非對(duì)稱(chēng)波動(dòng)效應(yīng)的各種ARCH模型中，Zakoian、Glosten、Jaganathan、andRunkle提出的門(mén)限ARCH（ThresholdARCH）模型是結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔並能直接反映股價(jià)波動(dòng)受正負(fù)衝擊影響差異程度的一類(lèi)模型。門(mén)限ARCH模型當(dāng)，條件方差對(duì)衝擊的反應(yīng)是非對(duì)稱(chēng)的，反映了正負(fù)衝擊對(duì)波動(dòng)影響的差異及其程度，從而刻畫(huà)了杠桿效應(yīng)。25在經(jīng)典的時(shí)間序列建模型中，對(duì)於平穩(wěn)可逆的時(shí)間序列，我們可以用ARMA模型來(lái)擬合序列的規(guī)律；如果序列非平穩(wěn)，可以差分後在用ARMA模型進(jìn)行擬合，得到ARIMA模型。在波動(dòng)性建模中，針對(duì)變數(shù)的條件方差序列（而不是水準(zhǔn)序列）。如果條件方差序列平穩(wěn)可逆，即外部衝擊對(duì)波動(dòng)性的影響以比較快的速度衰減，用GARCH模型進(jìn)行建模。但是現(xiàn)實(shí)中有時(shí)存在這樣一種情況，外部衝擊帶來(lái)的影響衰減緩慢，即條件方差序列存在衝擊影響的“持續(xù)記憶”特性，條件方差序列呈現(xiàn)非平穩(wěn)性。對(duì)於非平穩(wěn)的條件方差序列，我們可以借鑒ARIMA模型的建模思想進(jìn)行分析。IARCH模型26即序列形如一個(gè)ARMA（M，P）模型的形式，若IARCH模型則序列非平穩(wěn)。模型：27於是：將滯後算子多項(xiàng)式分解：IARCH模型因此，當(dāng)GARCH模型的參數(shù)滿(mǎn)足：這樣的GARCH模型稱(chēng)為單整GARCH模型，記為IGARCH。IGARCH模型刻畫(huà)了波動(dòng)受外部衝擊影響的“持續(xù)記憶”特性。281.ARCH模型的主要功能在於解釋序列中比較明顯的變化是否具有規(guī)律性，並且說(shuō)明了這種變化前後依存的內(nèi)在傳導(dǎo)是來(lái)自某一特定類(lèi)型的非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)，而不是方差的外生結(jié)構(gòu)變化。從預(yù)測(cè)的角度來(lái)看，當(dāng)存在ARCH效應(yīng)時(shí)，使用ARCH模型較之假定方差為常數(shù)來(lái)講，可以提高預(yù)測(cè)值的精度。

2.在一定條件下，GARCH模型可以轉(zhuǎn)化為無(wú)限階的ARCH模型，與無(wú)限階（或高階）的ARCH模型相比，GARCH模型的結(jié)構(gòu)更為簡(jiǎn)潔，因此可以替代描述高階ARCH過(guò)程，從而使得模型具有更大的適用性。對(duì)ARCH模型的簡(jiǎn)要評(píng)價(jià)293.ARCH、GARCH模型不足：假定條件方差是過(guò)去波動(dòng)衝擊的對(duì)稱(chēng)函數(shù)，即條件方差僅取決於過(guò)去波動(dòng)衝擊的幅度而與其符號(hào)無(wú)關(guān)，這意味著正的波動(dòng)衝擊和負(fù)的波動(dòng)衝擊對(duì)股價(jià)的影響效應(yīng)是對(duì)等的。實(shí)際上，現(xiàn)實(shí)中常常會(huì)出現(xiàn)這樣兩種情況，一是杠桿效應(yīng)(leverageeffect)，即壞消息比好消息更會(huì)引起波動(dòng)程度的增加；二是回饋效應(yīng)，即消息進(jìn)入市場(chǎng)後，引起的波動(dòng)會(huì)回饋到股市價(jià)格上，從而使消息對(duì)股市的影響進(jìn)一步擴(kuò)大。

ARCH的推廣形式（EGARCH、TARCH）對(duì)ARCH模型的簡(jiǎn)要評(píng)價(jià)30問(wèn)題：中國(guó)股票市場(chǎng)是一個(gè)新興市場(chǎng)，與成熟資本市場(chǎng)相比，制度對(duì)市場(chǎng)波動(dòng)的影響比較明顯，因此研究我國(guó)股票市場(chǎng)在不同時(shí)期波動(dòng)變異性的特徵，深入認(rèn)識(shí)市場(chǎng)的制度缺陷以及市場(chǎng)對(duì)外部衝擊的反映，對(duì)於完善市場(chǎng)制度、提高市場(chǎng)效率具有明顯的現(xiàn)實(shí)意義。

方法和目標(biāo)：用AR-GARCH模型來(lái)分析我國(guó)滬深股票市場(chǎng)在不同時(shí)期的波動(dòng)聚集特徵，並考察漲跌停板交易制度對(duì)兩個(gè)市場(chǎng)波動(dòng)的影響。GARCH模型在研究股市波動(dòng)中應(yīng)用31樣本數(shù)據(jù)及其特徵實(shí)證思路：首先對(duì)收益率序列的自相關(guān)結(jié)構(gòu)進(jìn)行識(shí)別，確定收益率序列服從的ARMA模型；然後對(duì)模型殘差是否具有ARCH效應(yīng)做診斷性檢驗(yàn)，估計(jì)出ARMA—GARCH模型；最後通過(guò)對(duì)條件方差的比較，分析滬深股票市場(chǎng)在各時(shí)期的波動(dòng)特徵有何差異以及風(fēng)險(xiǎn)變異情況。GARCH模型在研究股市波動(dòng)中應(yīng)用(續(xù))樣本範(fàn)圍：1993年1月4日至2001年7月31日，並以1996年12月16日滬深兩市（上證指數(shù)、深圳綜合指數(shù)）實(shí)行漲跌幅限制為分界點(diǎn)，將樣本分為前後兩個(gè)時(shí)段進(jìn)行實(shí)證分析。32GARCH模型在研究股市波動(dòng)中應(yīng)用(續(xù))33（一）ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

首先對(duì)收益率序列的自相關(guān)結(jié)構(gòu)進(jìn)行初步識(shí)別，用最小二乘法確定收益率序列服從的ARMA模型，然後用拉格朗日乘子檢驗(yàn)法或LJUNG-BOXQ—統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)法對(duì)模型殘差做診斷性檢驗(yàn)。波動(dòng)的ARCH效應(yīng)GARCH模型在研究股市波動(dòng)中應(yīng)用(續(xù))34說(shuō)明：AR模型殘差序列無(wú)自相關(guān)，說(shuō)明擬合的AR模型恰當(dāng)。說(shuō)明：模型殘差序列無(wú)具有明顯的ARCH效應(yīng)。GARCH模型在研究股市波動(dòng)中應(yīng)用(續(xù))35AR-GARCH（1,1）模型ARCH模型的估計(jì)GARCH模型在研究股市波動(dòng)中應(yīng)用(續(xù))

36可以看出，殘差平方序列不再存在序列自相關(guān)性，說(shuō)明AR-GARCH（1，1）模型擬合度較好。GARCH模型在研究股市波動(dòng)中應(yīng)用(續(xù))37圖：上證指數(shù)收益率及條件方差時(shí)序圖（時(shí)段1、2）GARCH模型在研究股市波動(dòng)中應(yīng)用(續(xù))38圖：深證綜合指數(shù)收益率及條件方差時(shí)序圖（時(shí)段1、2）GARCH模型在研究股市波動(dòng)中應(yīng)用(續(xù))39利用GARCH模型預(yù)測(cè)上海市場(chǎng)日收益率波動(dòng)（93.01.04-96.12.15）GARCH模型在研究股市波動(dòng)中應(yīng)用(續(xù))圖中，位於中間的實(shí)線(xiàn)為收益率波動(dòng)情況（已扣除均值），虛線(xiàn)為根據(jù)GARCH模型所做的2倍標(biāo)準(zhǔn)誤預(yù)測(cè)區(qū)間，水平線(xiàn)為同方差假定下的2倍標(biāo)準(zhǔn)誤預(yù)測(cè)區(qū)間。顯然，根據(jù)GARCH模型所做的波動(dòng)預(yù)測(cè)精度比較高。40從上表看出，在樣本期的第一時(shí)段，兩市日收益率條件方差的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、極差都比較大，而在樣本期的第二時(shí)段，這些指標(biāo)值明顯降低，反映了漲跌幅限制對(duì)市場(chǎng)波動(dòng)有較大影響。在第一時(shí)段，兩市日收益率條件方差的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、極差存在比較大的差異，而在第二時(shí)段，這些指標(biāo)的估計(jì)值比較接近，說(shuō)明最近幾年滬深兩市日收益率的波動(dòng)程度已逐步趨同，並從一個(gè)方面反映了兩個(gè)市場(chǎng)具有聯(lián)動(dòng)效應(yīng)。GARCH模型在