高三數(shù)學(xué)1-第五章 平面向量、復(fù)數(shù)

第五章平面向量、復(fù)數(shù)

第一節(jié)平面向量的概念及線性運算

［備考領(lǐng)航］

課程標(biāo)準(zhǔn)解讀關(guān)聯(lián)考點核心素養(yǎng)

1.通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理

1.平面向量的有關(guān)

解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示.

概念.

2.通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何1.數(shù)學(xué)抽象.

2.平面向量的線性

意義.2.直觀想象.

運算.

.數(shù)學(xué)運算

3.掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個3

3.共線向量定理的

向量共線的含義.

應(yīng)用

4,了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義

知識重點準(zhǔn)逐點清結(jié)論要牢記課前自修

［重點準(zhǔn)?逐點清］

重點一向量的有關(guān)概念

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(模).

2.零向量：長度為0的向量，記作0.

3.單位向量：長度等于1個單位長度的向量.

4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：零向量與任一向量

平行.

5.相等向量：長度相等且方向相同的向量.

6.相反向量：長度相等且方向粗反的向量.

［提醒］(1)任意向量a的模都是非負(fù)實數(shù)，即|a|20;

(2)單位向量有無數(shù)個，它們大小相等，但方向不一定相同；與向量a平行的單位向量

有兩個，即向普和喘

［逐點清］

1.（多選）以下說法正確的是（）

A.零向量與任一非零向量平行

B.零向量與單位向量的模不相等

C.平行向量方向相同

D.平行向量一定是共線向量

解析：選ABD對于A,根據(jù)零向量的性質(zhì)，可知A是正確的；

對于B,由零向量的模是0,單位向量的模是1,所以B是正確的；

對于C,平行向量的方向相同或相反，所以C是不正確的；

對于D,由平行向量的性質(zhì)可知，平行向量就是共線向量，所以D是正確的，故選A、

重點二向量的線性運算

向量運算定義法則（或幾何意義）運算律

力交換律：a+b=b+a；

求兩個向量和的a

加法三角形法則結(jié)合律：（a+b）4-c=a+（b+

運算

c）

平行四邊形法則

求a與b的相反

減法向量一b的和的￡a-b=a+(-b)

運算三角形法則

|；.a|=p.||a|,當(dāng)兀＞0時，；.a

與a的方向相同;4〃a)=(辦)a；

求實數(shù)2與向量

數(shù)乘當(dāng)2Vo時，履與a的方向相q+〃)a=2a+〃a；

a的積的運算

反；2(a+b)=^a+zb

當(dāng)2=0時，；.a=0

［提醒］向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法

則要素走“起點重合，指向被減向量的終點”：平行四邊形法則要素是“起點重合”.

［逐點清］

2.（必修■4*86頁例4改編）如圖，口的對角線交于"，若A3=a,AD=bf用

a,b表示“。為(

解析：選DMD=^BD=^(AD—AB)=|(^—?)=—

3.(多選)給出下面四個選項，其中正確的是()

A.AB+BA=0B.~ABYBC^AC

C.~AB+~AC=~BCD.0-~AB='BA

解析：選ABD因為京+市=/萬一9=0,A正確；

~AB+~BC=^Cf由向量加去知B正確；

AB+AC=BC,不滿足加法運算法則，C錯誤；

由7方+前=0,所以京=0-茄，故D正確.故選A、B、D.

4.(必修4第87頁練習(xí)2題改編)化簡：

(1)(AB+MB)VB6VOM=；

(2)福+9+前一標(biāo)=.

解析：(1)原式=兄+力^+不方+詞=前.

(2)原式=而+P7V=0.

答案：(1)腦(2)0

重點三向量共線定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)使得b=)a

［提醒］只有“H0才保證實數(shù)2的存在性和唯一性.

［逐點清］

5.(興修4第77頁習(xí)題A組3題改編)如圖，D,E,尸分別是△ABC各邊的中點，則

下列結(jié)論錯誤的是()

BDC

A.~EF=~CDB.笈與成共線

C.說與B是相反向量D.AE=1|AC|

解析：選D選項D中，AE=|AC,所以D錯誤.

6.G*借題)對于非零向量a,b,“a+b=O”是“a〃b”的()

A,充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：選A若a+b=O,則@=一b,所以@〃1).若2〃13,則a+b=O不一定成立.故

前者是后者的充分不必要條件，故選A.

［記結(jié)論?提速度］

［記結(jié)論］

1.若尸為線段的中點，。為平面內(nèi)任一點，則蘇蘇).

2.~OA=fOB^f^OCq,〃為實數(shù))，若點4,B,C三點共線，貝Ij2+"=L

［提速度］

1.在△ABC中，AO為5C邊上的中線，E為AO的中點，則而=()

A.^AB-^ACB.^AB-^AC

C.4-^ACD.^AB+JAC

解析：

ITnc

選A如圖所示，~EB=~ED4-DB=1AD=1x|(^4B+AC)+1(7j?-^4C)=

5A6-,故選A.

2.已知A,BtC是直線/上不同的三個點，點。不在直線/上，則使等式/市+x前

+BC=0成立的實數(shù)x的值為.

2

解析：*：~BC=7)C-7)Bt.,?^萬？+*萬裕+衣一蘇=0,即~充=一3畝一(3一

l)OBtVA,B,C三點共線,

A—x2—(x—1)=1,即爐+》=0,解得x=0或x=-1.當(dāng)x=0時，爐萬才+工加+就

=0,此時B,。兩點重合，不合題意，舍去.故x=-l.

答案：一1

考點破理解透規(guī)律明變化究其本課堂講練

「考點一|一平面向量的有關(guān)概念

［基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)］

［題組練透］

1.設(shè)所為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a=|a卜癡；②若a

與&)平行，則a=|a|ao；③若a與物平行且|a|=L則a=a?,假命題的個數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.3

解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與同刖的模相同，但方向不一定相同，

故①是假命題；若a與刖平行，則a與a。的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向

時a=一|a|a(),故②③也是假命題.

2.設(shè)a,b都是非零向量，下列四個條件中，一定能使2+七=。成立的是()

A.a=2bB.a〃b

C.a=一手)D.a±b

ababb

解析：itC由盲+而=0得而=一而二°，即a=—而,同#0,則a與b共線且方向相

ab

反，因此當(dāng)向量a與向量b共線且方向相反時，能使1+工;=0成立.對照各個選項可知，

網(wǎng)|D|

選項A中a與b的方向相同；選項B中a與b共線，方向相同或相反；選項C中a與b的

方向相反；選項D中a與b互相垂直，因此選C.

［練后悟通］

平面向■有關(guān)概念的四個關(guān)注點

(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性；

(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān)；

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象

的移動混淆;

(4誹零向量a與高的關(guān)系：畝是與a同方向的單位向量.

L5AJ_______________,平面向■的線性運算

［定向精析突破］

考向1向量的線性運算

［例1］(1)(2021?西安五校聯(lián)考)如圖，是圓。的一條直徑，C,D

是半圓弧的兩個三等分點，則笳=()----/

A.'AC-'AD

B.2AC-2AD

C.AD—AC

D.2AD-2AC

(2)如圖所示，在正方形A8CD中，E為8C的中點，產(chǎn)為4E的中點，。只---------ic

則加:()\

A.卡+萍

B.

C.^AB-^AD

D.YAB-^AD

［解析】(1)連接。(圖喀)，因為C,。是半圓弧的兩個三等分點，所以C0〃AB,且

AB=2CDf所以方=2布=2(罰一就)=2罰一2就，故選D.

(2)DF=^4F-4D,"AE^AB^BE.

YE為5C的中點，尸為A￡的中點，

.*.~AF=^AEf~BE=^BCf

：JDF=^AF-~AD=^AE-'AD=\{ABVBE)-~AD

=4焉+4就一罰，

24

又就=防，???加=3至一］方.故選D.

［答案］(DD(2)D

考向2根據(jù)向量線性運算求參數(shù)

［例2］在△ARC中，AB=2fBC=3,Z4BC=600,4&為BC邊上的高，。為AD

的中點，若其中心〃WR,則2+〃等于()

1

A.1B.2

［解析］由題意易得說=就+南=3+)?,

則2而=9+；質(zhì)，即而=高9+］"記.

所以久=方〃=&

4」1.12

［答案］D

［規(guī)律探求］

考向1是向量的線性運算，即用幾個已知向量表示某個向量，基本技巧為：

看一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則；求首尾相連向量和

個用三角形法則.

性考向2是考向1的逆運算.解決此類問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的

運算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值

(1)進(jìn)行向量運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)

找的向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解；

共(2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時還需要利用三角形

性中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向

量有直接關(guān)系的向量來求解

［跟蹤訓(xùn)練］

1.設(shè)。是△A3C所在平面內(nèi)一點，~AB=2DCt則()

A.~BD="AC-^ABB.~BD=^AC^AB

C.~BD=^AC-~ABD.BD=AC-|AB

解析：選A~BD=~BCVCD=^BC-~DC=AC-~AB=~AC-^AS.

2.在平行四邊形45co中，E,尸分別為邊6C,C0的中點，若京=xlk+y二存(x,

y￡R),貝！lx-尸?

解析：由題意得笈=笈+兩=9+；下方，

~AF=AD4-DF=~AD+|A1,

因為而=xA￡4-jAF,

所以方=(x+0A?+修+了)防,

“Bl，J42

所以］解得儼=§,產(chǎn)一3，

內(nèi)ko,

所以x-y=2.

答案：2

1號點口共線向■定理的應(yīng)用

［師生共研過關(guān)］

［例3］設(shè)兩個非零向量a與b不共線.

-

(1)若福=a+b,?C=2a4-8b,CD=3(a-b),求證：AfB,。三點共線;

(2)試確定實數(shù)A,使Aa+b和a+Ab共線.

［解］(1)證明：VAB=a+b,就=2a+8b,CD=3(a-b),

：.~BD=~BC+布=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=53,

/.AB,30共線，又它們有公共點3,

：.AfB,&三點共線.

⑵TAa+b與a+Ab共線，

???存在實數(shù)2,使Aa+b=2(a+Ab),即他一久用=(力1-1)1).

又a,b是兩個不共線的非零向量，

［對點變式］

1.(變條件)若將本例⑴中“就=2a+8b”改為“就=a+mb”，則次為何值時，A,

B,&三點共線？

解：BD='?C+CD=(a4-/nb)4-3(a-b)=4a+(m-3)b,

若A,B,。三點共線，則存在實數(shù)九使詬=欠下了，

4=2,

即4a+Q〃-3)b=N(a+b),解得m=l.

zw-3=2,

故當(dāng)m=7時，AfBf。三點共線.

2.(變條件)若將本例⑵中的“共線”改為“反向共線”，則A為何值？

解：因為Aa+b與a+Ab反向共線，

所以存在實數(shù)x,使Aa+b=2(a+Ab)G<0),

k=入,

所以A=±l.又；IvO,k=2,所以A=-L

{A2=l,

故當(dāng)A=—1時，兩向量反向共線.

［解題技法］

利用向■共線定理證明三點共線

若存在實數(shù)九使元？=方運，則A,B,C三點共線.

;存整數(shù)3d向量共線的」——：共線向量B,c\

\使檢=入元：基本定理?AB//AC：有公共點：三點共線:

［提醒］(1)使用向量共線基本定理的大前提是至少有一個向量是非零向量;

(2)證明三點共線時，需說明共線的兩個向量有公共點.

［跟蹤訓(xùn)練］

1.在四邊形A3CD中，入方=a+2b,BC=-4a~b,CD=-5a-3b,則四邊形A3C&

的形狀是()

A.矩形B.平行四邊形

C.梯形D.以上都不對

解析：選C由已知，得力=53+茲+布=-8a-2b=2(—4a-b)=2就，

故而〃血.又因為苗與7方不平行，所以四邊形48C。是梯形.

2.已知產(chǎn)是△ABC所在平面內(nèi)的一點，若苕=2忘+同，其中NCR,則點尸一定

在（）

A.△ABC的內(nèi)部B.AC邊所在直線上

C.A8邊所在直線上D.8C邊所在直線上

解析：選B由,二元八十不演，得百一次，~CP=rPA.^~CPt后為共

線向量，又衣,百有一個公共點P,所以C,P,A三點共線，即點尸在直線AC上.

［課時過關(guān)檢測］W

A級---基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.（2021?成都市新三考建應(yīng)性考試）設(shè)a是非零向量，2是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正

確的是（）

A.a與施的方向相反B.a與da的方向相同

C.|-xa|^|a|D.|-za|^|Z|-a

解析：選B對于A,當(dāng)2>0時，a與;la的方向相同，當(dāng)幺<0時，a與石的方向相反，

A不正確，B正確；對于C,|一為|=|一川間，由于|一川的大小不確定，故不冽與網(wǎng)的大小

關(guān)系不確定；對于D,|；」a是向量，而|一瓶|表示長度，兩者不能比較大小.故C、D均不

正確.

2.矩形ABC。的對角線相交于點。，￡為40的中點，若0E=2A8+〃A&（A,〃為

實數(shù)），則乃+〃2=（）

5

C.116

解析：選A~DE=1-ZM+|zX2=|7M+1

=|DA4-1(ZM4-AB)=^AB-%戶,

I35

所以2=不〃=一不所以乃+〃2=*.

3.在等腰梯形AbCD中，~AB=-2CDtM為BC的中點，則蘇=()

1-?1'->3'-.1->

A.”8+]ADB.XAB+5AO

3—>1——>1—>3——>

C^AB+5ADD.5A5+4A0

解析：選B因為罰=-2而,

所以京=2萬己又M是"C的中點,

所以五方+AC）

1---->---->---->

=2（AB+AD+DC）

=%64-1AD.

1->

4.在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點，A,B,C三點滿足女手;+協(xié)，則”?

|AC|

等于（）

A.1B.2

解析：選C因為玄=無一加蘇一加=阻？，AC=OC-OA=1

>

04+J-04=7AB,所以竺斗=3.故選C.

IAC|

5.（多選）已知等邊△ABC內(nèi)接于。O,O為線段04的中點，E為線段8C的中點，則

~BD=（）

A.jfiA+|fiCB.

—>1—>2—>1—>

C.BA+3AED.

6.（多選）在△ABC中，下列命題正確的是（）

A.~AB^AC=~BC

B.AB+-BC+CA=0

C.若（笈+就）?（前一就）=0,則△ABC為等腰三角形

D.若就?焉>0,則△ABC為銳角三角形

解析：選BC由向量的運算法則知，一就=N，~ABVBCVCA=^t故A錯,

B對;

-hAC）（AB-AC）=AB2-AC2=d,

22

：.~AB=~ACf即疝|=|/I,

???△4AC為等腰三角形，故C對；

二角4為銳角，但三角形不一定是銳角三角形.故選B、C.

7.已知向量e“e2是兩個不共線的向量，若a=2ei—02與6=61+幺e?共線，則2=.

解析：因為a與b共線，所以a=xb,所以《'

Zv=-1,

故z=—

答案：T

8.如圖所示，已知N6=30。，ZAOB=90°,點。在AB上,OCLAB,

若用市和蘇來表示向量友，則&=.\

解析：由題意易知質(zhì)=涼+就=市+1'芯=市+/前一萬7）

加.

答案：

9.已知。為△A5C內(nèi)一點，且京方=肉+/，~AD=tAC,若5,O,0三點共

線，貝h的值為.

解析：設(shè)線段3c的中點為則笳+衣=2萬在

因為2前=前+衣，所以前=加5,

則一［=3》看=：（A6+方+：AD）=；“+.）戶.

由〃，O,O三點共線，得:+==1,解得［=；.

答案《

10.（2021?看山模擬）在直角梯形48。中，A=90°,B=30°,43=25，BC=2t點E

在線段co上，若茄=茄+〃南，則〃的取值范圍是.

解析：由已知40=1,CD=\［3f所以下方=2方下.

因為點E在線段CD上，所以萬萬小

因為益=而十笳，

又京=~AD+//AB=~AD4-2//DC='AD+竽樂,

所以半=1,即〃=*

因為0W7W1,所以

答案:[o,1]

1L如圖，在△A5C中，O,E分別為3C,AC邊上的中點，G為BEB

上一點，jaGB=2GE設(shè)％9=a,AC=b,試用a,b表示7方，AG.人

tEC

解：AD=1(AB4-AC)=1a4-1z>.

??.?—》—?2.?■?I.A―.

AG=AB^BG=AB+^BE=AB+、(BA+BC)

2—>1—>—>1—>1—>

=§46+§(AC—AB)=^AB+§AC

=$+/?

12.己知a,b不共線，OA=at05=b,OC=c,OD=dfOE-?=e,設(shè)，GR,

如果3a=c,2b=d,e=r(a+b),是否存在實數(shù)，使C,D,E三點在一條直線上？若存在，

求出實數(shù)f的值；若不存在，請說明理由.

解：由題設(shè)知，CD=d-c=2b—3a,CE=e-c=(/-3)a+/b,C,DtE三點在一條

直線上的充要條件是存在實數(shù)A,使得/=A而，即《-3)a+/b=-3Aa+2Ab,

整理得。-3+3A)a=(2無一。b.

L3+3A=0,6

因為a,b不共線，所以有解得，=￡.

J-2A=0,5

故存在實數(shù)f=/使C,D,E三點在一條直線上.

B級——綜合應(yīng)用

13.(多選)設(shè)點M是△48C所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是()

A.若俞=界方+11落則點"是邊SC的中點

B.若啟=279—就，則點M在邊8c的延長線上

C.若湍=一面一五?，則點M是△AbC的重心

D.若加=x7》+j，1己且x+y=；,則△MBC的面積是△ABC面積的;

解析：選ACD若蘇=［二而+；一啟，則點〃是邊5C的中點，故A正確；

若說5=27方一就，即有筋一筋=笈一就，即碇=,，A\

則點〃在邊C3的延長線上，故B錯誤；/

---?-?-?-?-?-?---1-

若AM=-5M-CM,即AM+3M+CM=0,N

則點M是△ABC的重心，故C正確；

如圖，AM=xAB4-jAC,且x+y=；,

可得2AM=2x~AB±2y~ACt

設(shè)K=2元宓，則M為AN的中點，

則△MBC的面積是△48C面積的;，故D正確.故選A、C、D.

14.（2021?山西太原模擬）若點M是△ASC所在平面內(nèi)一點，且滿足|3俞一至一女

1=0,則△4RM與〃。的面積的比值為.

------>>■>A

解析：如圖，設(shè)G為5C邊的中點.由13AM—/15—AC|=0,得八、

3AM-~AB-~AC=Qf.,?點M為△ABC的重心，???點M在4G上.連/

接MG.

aAAM\2.S^ABM2」

*：~ABVAC=2AG,：.3AM=2AGf則==3

\AG\3448GJ/

121

.?.△ABM與△ABC的面積之比為5乂；=不

乙33

答案《

15.經(jīng)過△04〃重心G的直線與。4,分別交于點P,Q,設(shè)市=加方才，~OQ=

而…WR,求:+>的值.

解：設(shè)=a,OB=bt則方方=：(a+b),

?J

PQ=OQ-OP=nb-mat

PG=0G—OP=；m+/O_/〃a=g-〃z}+；/>.

由P,G,。共線得，存在實數(shù)2使得PQ=2PG,

即nb—ma=).\

〃嶺，消去九得］+5=3?

C級——遷移創(chuàng)新

16.(2021?泰安肥城市方三道應(yīng)性訓(xùn)球)定義一種向量運算“?"：a?b=

｛。山,當(dāng)〃，b不共線時，\a-b\f當(dāng)0,力共線時(a,b是任意的兩個向量).對于同一平面

內(nèi)的向量a,b,c,e,給出下列結(jié)論：

(l)a?b=b?a：

②;l(a?b)=(2a)?b(2eR)；

③(a+b)?c=a?c+b?c；

④若e是單位向量，貝lJ|a?e|W|a|+L

以上結(jié)論一定正確的是.(填寫所有正確結(jié)論的序號)

解析：當(dāng)a,b共線時，a?b=|a—b|=|b—a|=b?a,當(dāng)a,b不共線時，a?b=a*b=b'a

=b?a,故①是正確的；

當(dāng)7=0,bHO時，&a?b)=O,(xa)?b=|O-b|^O,故②是錯誤的；

當(dāng)a+b與c共線時，則存在a,b與c不共線，(a+b)?c=|a4-b-c|,a?c+b?c=a-c

+b?c,顯然|a+b—c|Ka?c+b?c,故③是錯誤的；

當(dāng)e與a不關(guān)線時，|a?e|=a?ev|aHe|=|a|〈bl+l,當(dāng)e與a共線時，|a?e|=|a—e|W|a|

+1,故④是正確的.

答案：①?

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

［備考領(lǐng)航］

課程標(biāo)準(zhǔn)解讀關(guān)聯(lián)考點核心素養(yǎng)

L了解平面向量的基本定理及其意義.1.平面向量基本定理及其應(yīng)1.數(shù)學(xué)運算.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.用.2.邏輯推理

3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘2.平面向量的坐標(biāo)運算.

、一fr￡r

后算.3.平面向量共線的坐標(biāo)表示

4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件

知識重點準(zhǔn)逐點清結(jié)論要牢記課前自修

［重點準(zhǔn)?逐點清］

重點一平面向量基本定理

1.定理：如果明，e?是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向

量a,有且只有一對實數(shù)制，小，a=^iei4-^262.

2.基底：不共線的向量由，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

［提醒］(1)基底的，62必須是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，零向量不能作為基底；

(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一.

［逐點清］

1.(多選)下列各組向量中，不能作為基底的是()

A.ei=(O,O),e2=(l,l)

B.ei=(l,2),e2=(—2,1)

C.ei=(—3,4),e2=(1,一號

D.ei=(2,6),e2=(l,3)

解析：選ACDA,C,D中向量仇與C2共線，不能作為基底；B中e］，e?不共線，

所以可作為一組基底.

2.(必修4第92頁12題1改編)在平行四邊形A8CD中，AB=a,~AD=bt~AN=3NCf

M為5C的中點，則就=(用a,b表示).

解析：因為就=3后，所以肅=］下=孤+力,

又因為AA?=a+$,所以M*=Afi—A/=；(a+b)—(a+：b)=—；a+；b.

答案：一%+和

重點二平面向量的坐標(biāo)表示

1.平面向量的坐標(biāo)運算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模

設(shè)a=(xi,ji),b=(X2,j2),貝!Ja+b=(x］+xz，3+b),a-b=(坐-x?,也一也),za

=(Zvi,zvi),|a|=^/x?+jl；

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；

②設(shè)A(XI，J1),3(X2，L)，則48=(?—XI，力―Vi)，\AB|=*\/(X2—Xi)2+(y2-^02?

2.平面向■共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi，ji),b=(M,)2),則8〃1)臺勺也一刀”=0.

［提醒］(l)a〃b的充要條件不能表示為乎=巳因為必，也有可能為0；

,*2J2

(2)當(dāng)且僅當(dāng)qyzWO時，a〃。與，?=?等價.即兩個不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對應(yīng)

“2yz

坐標(biāo)成比例.

［逐點清］

3.(興修4第96頁例2改G)若向量a=(2,l),b=(—1,2),c=(0,習(xí)，則c可用向量a,

b表示為()

A.^a+bB.一；a-b

C.^a+lbD.^a-

解析：選A=(2x-j,x+2y),

'2x-y=0,f=1

所以＜.5解得＜2，則c=w〃+b.

3+2k5，b=L

4.(多選)在平面上的點A(2,l),B(0,2),C(-2,l),0(0,0),下面結(jié)論正確的是()

A.~AB-~CA=~BCB.~OAVOC=^OB

C.~AC=~OB-2OAD.O44-20B=0C

解析：ABC點4(2,1),3(0,2),C(-2,l),0(0,0),

選項A中，AB=(-2,1),"CA=(4,0),~BC=(-2f-1),所以而一Rw左，故

錯誤；

選項B中，OA=(2,1),~OC=(-2yl)f而=(0,2),所以5J+/:二笳成立，故正

確；

選項C中，AC=(-4,0),加=(0,2),04=(2,1),所以就=笳一2為t成立，故正

確；

選項D中，04=(2,1),肉=(0,2),0C=(-2,l),所以市+2而二/，故錯誤.

故選B、C.

5.(必修4第107頁練習(xí)1題改編)已知向量a=(l,2),b=(-l,2),貝！||3a-b|=.

解析：因為向量。=(1,2),5=(-1,2),

???3”一力=3(1,2)一(一1,2)=(4,4);

:.|3。一切=聲不不=舶

答案：4^2

6.(男錯題)已知4(一5,8),以7,3),則與向量不聲反向的單位向量為.

解析：由已知得”=(12,—5),所以|焉|=13,因此與3反向的單位向量為一

=(-SS-

答案；(一備S

［記結(jié)論?提速度］

［記結(jié)論］

1.向量共線的充要條件的兩種形式

(l)a〃bOb=2a(aWO,2GR)；

(2)a〃b臺xiy2-x?i=0(其中a=(xi,yi),b=(x2,工)).

2.已知P為線段AS的中點，若A(x”四)，5(X2,力)，則尸點坐標(biāo)為1中超，X乎)

3.已知△4BC的頂點4(處，ji),3(X2,力)，C(x3,j3),則△ABC的重心G的坐標(biāo)為

3+4+4yi+jz+j*

I~~3-，3y

［提速度］

1.己知向量a=(2,3),b=(—1,2),若//ia+〃b與a—2b共線，則々=()

1n1

A.—zB.3

C.-2D.2

解析：選A由向量。=(2,3),6=(-1,2),得/?〃+〃力=(2m—〃,3〃z+2〃)，a-2b=(4,

-1).由〃m+帥與共線，得一(2〃L〃)=4(3〃I+2〃)，所以，=一；.故選A.

2.已知△A5C的三個頂點4(-2,4),以3,-1),。(一3,-4).則線段中點的坐

標(biāo)為,重心G的坐標(biāo)為.

解析：設(shè)人不，州)是線段4月的中點，重心G的坐標(biāo)為(必，力),

22

【分送突皴

考點理解透規(guī)律明變化究其本課堂講練

1號點1平面向量基本定理及其應(yīng)用

［師生共研過關(guān)］

［例1］(1)設(shè)△45C中8c邊上的中線為AD,點。滿足裕=2萬方，則員=()

A.—+|ACB.—|AC

c.D.一1篇+；就

(2)梯形43C0中，AB//CD,AB=2CDtMtN分別為CD,3c的中點.若方'=2布?

+/1ANt貝以+〃等于.

［解析］(1)如圖所示，為BC的中點，則而=,+而=1不+/卜

^BC=AB+!(AC—A?)=界7+1AC,B

■>—>—>2—?1~>1">

VAO=2OD,AO=T。AD=T。AB+T，AC,

.?.^C=^4C-^W=^4C-(JA^+|AC)=-1AB4-1^4C,故選A.

(2)因為苗=京+同=前+前=就+(/+就)=2就+a+加=2就

——AMt所以力r=g4N—《4看,所以久=一去〃=g,所以).+〃=§?

［答案］(1)A(2)1

［解題技法］

平面向量基本定理解決問題的一般思路

(1)先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運

算來解決;

(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便.另外，要熟練運用平

面幾何的一些性質(zhì)定理.

［跟蹤訓(xùn)練］

1.(2021?長沙模擬)如圖，在正方形A8C7)中，E是OC的中點，點尸滿_9彳

足百=2銘，那么/=()

A."-”AB

1>1---->

B.xAZ?

1—>1—>

D.T/IZ^+ZAD

qL

解析：選C因為E為。。的中點，所以衣=；萬方.因為K=2而，所以我方.

'_A'―A■一■■>1■—■>2'A11->2---->11~2'—>.

所以￡F=￡C+C產(chǎn)故選C.

/s/s/s

2.已知在△ABC中，點O滿足市+萬聲+方聲=0,點尸是OC上異于端點的任意一

點，且無=小萬T+〃萬濟(jì)，則加+〃的取值范圍是.

解析：依題意，設(shè)蘇=2&(0</<1),

由市+萬咨+員=0,知友：=一(萬才+南)，

所以萬方=一一大蘇"，由平面向量基本定理可知，

/%+〃=一船，所以利+〃W(—2,0).

答案：(一2,0)

平面向置的坐標(biāo)運算

［基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)］