第五章 分式與分式方程 學情評估

第五章分式與分式方程學情評估一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的)1．要使分式eq\f(1,x＋2)有意義，則x的取值應(yīng)滿足()A．x≠0 B．x≠－2 C．x≥－2 D．x＞－22．下列各式：①eq\f(k2,2π)；②eq\f(1,m＋n)；③eq\f(m2－n2,4)；④eq\f(2b,3a)；⑤eq\f(（x＋1）2,x－1)；⑥eq\f(1,x)，其中分式有()A．6個 B．5個 C．4個 D．3個3．下列各分式中，是最簡分式的是()A.eq\f(xy,x2) B.eq\f(y2＋y,xy) C.eq\f(x2－y2,x＋y) D.eq\f(x2＋y2,x＋y)4．下列各式從左到右的變形中，正確的是()A.eq\f(x－\f(1,2)y,\f(1,2)xy)＝eq\f(2x－y,xy) B.eq\f(0.2a＋b,a＋2b)＝eq\f(2a＋b,a＋2b)C．－eq\f(x＋1,x－y)＝eq\f(x－1,x－y) D.eq\f(a＋b,a－b)＝eq\f(a－b,a＋b)5．若把分式eq\f(2x＋y,3x＋y)中的x和y都擴大為原來的10倍，那么分式的值()A．擴大為原來的10倍 B．不變C．縮小為原來的eq\f(1,10) D．縮小為原來的eq\f(1,100)6．若關(guān)于x的分式方程eq\f(m－3,x－1)＝1的解為x＝2，則m的值為()A．5 B．4 C．3 D．27．如圖，在數(shù)軸上表示eq\f(x2－2x＋1,x2－1)＋eq\f(2,x＋1)的值的點是()A．P點 B．Q點 C．M點 D．N點8．已知eq\f(3x＋4,（x－2）（x＋1）)＝eq\f(A,x－2)－eq\f(B,x＋1)，其中A，B為常數(shù)，則4A－B的值為()A．7 B．9 C．13 D．59．《千里江山圖》是宋代王希孟的作品(如圖)，它的局部畫面裝裱前是一個長為2.4米，寬為1.4米的矩形，裝裱后，整幅圖畫寬與長的比是8∶13，且四周邊襯的寬度相等，則邊襯的寬度應(yīng)為多少米？設(shè)邊襯的寬度為x米，根據(jù)題意可列方程為()A.eq\f(1.4－x,2.4－x)＝eq\f(8,13) B.eq\f(1.4＋x,2.4＋x)＝eq\f(8,13) C.eq\f(1.4－2x,2.4－2x)＝eq\f(8,13) D.eq\f(1.4＋2x,2.4＋2x)＝eq\f(8,13)10．已知關(guān)于x的分式方程eq\f(3x－a,x－3)＋eq\f(x＋1,3－x)＝1的解為正數(shù)，關(guān)于y的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋9≤2（y＋2），,\f(2y－a,3)≥1))的解集為y≥5，則所有滿足條件的整數(shù)a的個數(shù)為()A．6 B．5 C．4 D．3二、填空題(本題共6小題，每小題3分，共18分)11．分式eq\f(1,6ab2)和eq\f(1,9a2b)的最簡公分母是__________．12．已知分式eq\f(2x＋a,x－b)(a，b為常數(shù))滿足表格中的信息：x的取值20.5c分式的值無意義03則c的值是________．13．已知關(guān)于x的分式方程eq\f(x－3,x－2)＝2－eq\f(m,2－x)會產(chǎn)生增根，則m＝________．14．已知非零實數(shù)x，y滿足y＝eq\f(x,2x＋1)，則eq\f(3x－3y＋xy,4xy)的值等于________．15．某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)50臺機器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺機器所需時間與原計劃生產(chǎn)450臺機器所需時間相同，現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)________臺機器．16．若關(guān)于x的分式方程eq\f(2x＋a,x＋1)＝1的解為負數(shù)，則a的取值范圍為________________．三、解答題(本題共6小題，共52分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(8分)化簡下列各式：(1)eq\f(4a＋4b,5ab)·eq\f(15a2b,a2－b2)； (2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(x－1,x＋1)))÷eq\f(x2＋6x＋9,x2－1).18．(8分)解下列方程：(1)eq\f(x－3,x－2)＋1＝eq\f(3,2－x)； (2)eq\f(3,2)－eq\f(1,3x－1)＝eq\f(5,6x－2).19．(8分)先化簡，再求值：eq\f(a2－2a＋1,a2＋a)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,a＋1)))，其中a＝eq\r(3).20．(8分)下面是小華同學學習了分式混合運算后解答的一道題目，請認真閱讀并完成下面的問題．化簡：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,x－1)－\f(x,x＋1)))·eq\f(x2－1,2x).解：原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x（x＋1）,（x－1）（x＋1）)－\f(x（x－1）,（x－1）（x＋1）)))·eq\f(x2－1,2x)……第一步＝eq\f(3x2＋3x－x2＋x,（x－1）（x＋1）)·eq\f(（x＋1）（x－1）,2x)……第二步＝eq\f(2x2＋4x,（x－1）（x＋1）)·eq\f(（x＋1）（x－1）,2x)……第三步＝eq\f(2x（x＋2）,（x－1）（x＋1）)·eq\f(（x＋1）（x－1）,2x)……第四步＝x＋2.……第五步(1)以上解題過程中，第__________步是通分，其變形依據(jù)是______________________；(2)若小明第一步用乘法的分配律進行解答，請你根據(jù)小明的思路完成化簡．21．(10分)福平鐵路的建成，使平潭、長樂與福州老城區(qū)形成了“半小時生活圈”．已知該鐵路全長約90千米，經(jīng)過鐵路技術(shù)改造，列車實現(xiàn)第一次提速，已知提速后比提速前速度增加了20%，行駛?cè)趟钑r間減少了9分鐘．(1)求列車提速前的速度；(2)若將鐵路全長延伸至108千米，且要繼續(xù)縮短行駛?cè)趟璧臅r間，則列車需再次提速，設(shè)提速百分比為m，已知列車在現(xiàn)有條件下安全行駛的速度不應(yīng)超過180千米/每小時，求m的取值范圍．22．(10分)如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：eq\f(x＋1,x－1)＝eq\f(（x－1）＋2,x－1)＝1＋eq\f(2,x－1)，所以eq\f(x＋1,x－1)是“和諧分式”．請運用這個知識完成下面各題：(1)已知eq\f(3x－2,x＋1)＝3＋eq\f(m,x＋1)，則m＝________；(2)將“和諧分式”eq\f(4a＋1,2a－1)化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式；(3)當x為整數(shù)時，若eq\f(2x2＋3x－3,x－1)也為整數(shù)，求滿足條件的所有x值的和．第五章分式與分式方程學情評估答案一、1.B2.C3.D4.A5.B6.B7.C8.C9.D10.C點撥：解分式方程得x＝a－2，∵x＞0且x≠3，∴a－2＞0且a－2≠3，∴a＞2且a≠5.解不等式組得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥5，,y≥\f(a＋3,2)，))∵不等式組的解集為y≥5，∴eq\f(a＋3,2)≤5，∴a≤7，∴2＜a≤7且a≠5，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值有3，4，6，7，共4個．二、11.18a2b212.513.－114.eq\f(7,4)15.20016.a＞1且a≠2點撥：解分式方程得x＝1－a，∵該分式方程的解為負數(shù)，∴1－a＜0，且1－a＋1≠0，∴a＞1且a≠2.三、17.解：(1)原式＝eq\f(4（a＋b）,5ab)·eq\f(15a2b,（a＋b）（a－b）)＝eq\f(12a,a－b).(2)原式＝eq\f(2（x＋1）－（x－1）,x＋1)÷eq\f(（x＋3）2,（x＋1）（x－1）)＝eq\f(x＋3,x＋1)·eq\f(（x＋1）（x－1）,（x＋3）2)＝eq\f(x－1,x＋3).18.解：(1)方程兩邊同時乘x－2，得x－3＋x－2＝－3，解得x＝1.檢驗：當x＝1時，x－2≠0，∴x＝1是原方程的解．(2)方程兩邊同時乘2(3x－1)，得3(3x－1)－2＝5，解得x＝eq\f(10,9).檢驗：當x＝eq\f(10,9)時，2(3x－1)≠0，∴x＝eq\f(10,9)是原方程的解．19.解：原式＝eq\f(（a－1）2,a（a＋1）)÷eq\f(a＋1－2,a＋1)＝eq\f(（a－1）2,a（a＋1）)·eq\f(a＋1,a－1)＝eq\f(a－1,a).當a＝eq\r(3)時，原式＝eq\f(\r(3)－1,\r(3))＝eq\f(3－\r(3),3).20.解：(1)一；分式的基本性質(zhì)(2)原式＝eq\f(3x,x－1)·eq\f(（x＋1）（x－1）,2x)－eq\f(x,x＋1)·eq\f(（x＋1）（x－1）,2x)＝eq\f(3x＋3,2)－eq\f(x－1,2)＝eq\f(2x＋4,2)＝x＋2.21.解：(1)設(shè)列車提速前的速度為x千米/小時，則提速后的速度為(1＋20%)x千米/小時，依題意得eq\f(90,x)－eq\f(90,（1＋20%）x)＝eq\f(9,60)，解得x＝100，經(jīng)檢驗，x＝100是原方程的解，且符合題意．答：列車提速前的速度為100千米/小時．(2)第一次提速后的速度為100×(1＋20%)＝120(千米/小時)，第一次提速后行駛?cè)趟钑r間為90÷120＝0.75(小時)．依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(120（1＋m）≤180，,120（1＋m）×0.75＞108，))解得0.2＜m≤0.5，即20%＜m≤50%.22.解：(1)－5(2)eq\f(4a＋1,2a－1)＝eq\f(2（2a－1）＋3,2a－1)＝2＋eq\f(3,2a－1).(3)令A＝eq\f(2x2＋3x－3,x