第12講 平行（教師版）

第12講平行（教師版）一、第12講平行（例題部分）1.如圖，直線a、b、c在同一平面內(nèi)，以a∥b，a與c相交于點P，試說明b與c也一定相交．【答案】解：假設(shè)b與c不相交，那么b與c平行．點P在直線a上，a與b平行，

所以P不在直線b上．過直線b外的一點P，有兩條直線a、c都與b平行．這與平行公理矛盾．【解析】【分析】本題采用的方法叫做“反證法”．它是數(shù)學(xué)證明中的常用方法．采用反證法時，首先假設(shè)要證明的結(jié)論不成立，也就是相反的結(jié)論成立．再利用已知條件與假設(shè)導(dǎo)出矛盾，從而說明相反的結(jié)論不成立，原來的結(jié)論成立．在判定兩直線是否平行時，除了一般的判定定理外，我們還經(jīng)常用到下面兩條判定定理：(1)若兩條直線同平行于第三條直線，則這兩條直線平行．(2)若兩條直線同垂直于第三條直線，則這兩條直線平行．2.如圖，AB∥CD，AB∥EF，EG平分∠BED，∠B=45°，∠D=30°．求∠GEF的大小．【答案】解：因為AB∥CD，AB∥EF，

所以EF∥CD，所以內(nèi)錯角FED=D=30°．又因為AB∥EF，

所以內(nèi)錯角FEB=B=45°，從而,BED=FED+FEB=75°．因為EG平分BED，

所以BEG=BED=37.5°．從而GEF=BEF-BEG=45°-37.5°=7.5°．所以GEF為7.5°．【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠FED=∠D=30°，∠FEB=∠B=45°，從而得∠BED=75°；再由角平分線性質(zhì)得∠BEG=37.5°，由∠GEF=∠BEF-∠BEG即可求得答案.3.如圖，已知AB∥CD，E在AB與CD之間，且∠B=40°，∠D=20°．求∠BED的大?。敬鸢浮拷猓哼^E作EF∥AB，則EF∥CD，

所以FEB=B=40°，DEF=D=20°，從而BED=BEF+DEF=40°+20°=60°．【解析】【分析】本題雖然很簡單，但它代表一類典型的題目．如下面幾題.(1)如圖(1)，AB∥CD．若E在AB、CD的外面，同樣地，可過E點作EF∥AB，則∠BED=∠FED-∠FEB=∠D-∠B．

(2)如圖(2)，AB∥CD．若E點在CD的下方，同理可知，∠BED=∠B-∠D．

(3)如圖(3)，AB∥CD.通過作圖中所示的輔助線，不難證明：∠B+∠BEF+∠DFE+∠D=540°．

(4)如圖(4)，AB∥CD．可以用同樣的方法證明：∠B+∠EFG+∠D=∠BEF+∠DGF．

解這一類問題的關(guān)鍵是過中間的那些點，作AB的平行線，然后利用平行線的性質(zhì)來解決問題．我們知道：如果直線a、b都與c相交，所成的同位角或內(nèi)錯角相等，那么a∥b(平行線的判定定理)．如果直線a、b都與c相交，a∥b，那么所成同位角相等，內(nèi)錯角也相等(平行線的性質(zhì)定理)．4.如圖，E是DF上一點，B是AC上一點，∠1=∠2，∠C=∠D．求證，∠A=∠F．【答案】證明：因為∠1=∠2，∠1=∠3，

所以∠3=∠2，從而BD∥CE，

所以∠C=∠ABD．

又因為∠C=∠D，

所以∠ABD=∠D，

從而AB∥DF，

所以∠A=∠F．

【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定：同位角相等，兩直線平行可得BD∥CE，再由兩直線平行，同位角相等；可得∠C=∠ABD；等量代換可得∠ABD=∠D，再由平行線的判定和性質(zhì)即可得證.5.如圖，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD．求證：AE⊥CE．【答案】證明：因為AB∥CD，

所以∠BAC+∠ACD=180°．

又因為AE平分

∠BAC，CE平分∠ACD，所以∠2=

∠BAC，∠3=∠ACD．從而∠2+∠3=

(∠BAC+∠ACD)=90°，∠E=180°-(∠2+∠3)=90°，即AE⊥CE．【解析】【分析】由平行線性質(zhì)可得∠BAC+∠ACD=180°；再由角平分線性質(zhì)可得∠2=

∠BAC，∠3=∠ACD；可得∠2+∠3=90°，再由三角形內(nèi)角和定理得∠E=90°，即AE⊥CE．6.

7條直線兩兩相交，試證明：在所有的交角中，至少有一個角小于26°．【答案】證明：在平面上任取一點O．過O點分別作這7條直線的平行線由平行線的性質(zhì)知，之間互成的角與原來的7條直線之間互成的角相等．所以我們可考察與，，，…,與所成的角，由圖，不難發(fā)現(xiàn)這7個角的和為一個平角，即180°．假設(shè)這七個角沒有一個小于26°，則這7個角的和至少為：26°×7=182°．這是不可能的．

因此，這七個角中至