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文檔簡介
第12講平行(教師版)一、第12講平行(例題部分)1.如圖,直線a、b、c在同一平面內(nèi),以a∥b,a與c相交于點(diǎn)P,試說明b與c也一定相交.【答案】解:假設(shè)b與c不相交,那么b與c平行.點(diǎn)P在直線a上,a與b平行,
所以P不在直線b上.過直線b外的一點(diǎn)P,有兩條直線a、c都與b平行.這與平行公理矛盾.【解析】【分析】本題采用的方法叫做“反證法”.它是數(shù)學(xué)證明中的常用方法.采用反證法時(shí),首先假設(shè)要證明的結(jié)論不成立,也就是相反的結(jié)論成立.再利用已知條件與假設(shè)導(dǎo)出矛盾,從而說明相反的結(jié)論不成立,原來的結(jié)論成立.在判定兩直線是否平行時(shí),除了一般的判定定理外,我們還經(jīng)常用到下面兩條判定定理:(1)若兩條直線同平行于第三條直線,則這兩條直線平行.(2)若兩條直線同垂直于第三條直線,則這兩條直線平行.2.如圖,AB∥CD,AB∥EF,EG平分∠BED,∠B=45°,∠D=30°.求∠GEF的大?。敬鸢浮拷猓阂?yàn)锳B∥CD,AB∥EF,
所以EF∥CD,所以內(nèi)錯(cuò)角FED=D=30°.又因?yàn)锳B∥EF,
所以內(nèi)錯(cuò)角FEB=B=45°,從而,BED=FED+FEB=75°.因?yàn)镋G平分BED,
所以BEG=BED=37.5°.從而GEF=BEF-BEG=45°-37.5°=7.5°.所以GEF為7.5°.【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠FED=∠D=30°,∠FEB=∠B=45°,從而得∠BED=75°;再由角平分線性質(zhì)得∠BEG=37.5°,由∠GEF=∠BEF-∠BEG即可求得答案.3.如圖,已知AB∥CD,E在AB與CD之間,且∠B=40°,∠D=20°.求∠BED的大小.【答案】解:過E作EF∥AB,則EF∥CD,
所以FEB=B=40°,DEF=D=20°,從而BED=BEF+DEF=40°+20°=60°.【解析】【分析】本題雖然很簡單,但它代表一類典型的題目.如下面幾題.(1)如圖(1),AB∥CD.若E在AB、CD的外面,同樣地,可過E點(diǎn)作EF∥AB,則∠BED=∠FED-∠FEB=∠D-∠B.
(2)如圖(2),AB∥CD.若E點(diǎn)在CD的下方,同理可知,∠BED=∠B-∠D.
(3)如圖(3),AB∥CD.通過作圖中所示的輔助線,不難證明:∠B+∠BEF+∠DFE+∠D=540°.
(4)如圖(4),AB∥CD.可以用同樣的方法證明:∠B+∠EFG+∠D=∠BEF+∠DGF.
解這一類問題的關(guān)鍵是過中間的那些點(diǎn),作AB的平行線,然后利用平行線的性質(zhì)來解決問題.我們知道:如果直線a、b都與c相交,所成的同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等,那么a∥b(平行線的判定定理).如果直線a、b都與c相交,a∥b,那么所成同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角也相等(平行線的性質(zhì)定理).4.如圖,E是DF上一點(diǎn),B是AC上一點(diǎn),∠1=∠2,∠C=∠D.求證,∠A=∠F.【答案】證明:因?yàn)椤?=∠2,∠1=∠3,
所以∠3=∠2,從而BD∥CE,
所以∠C=∠ABD.
又因?yàn)椤螩=∠D,
所以∠ABD=∠D,
從而AB∥DF,
所以∠A=∠F.
【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定:同位角相等,兩直線平行可得BD∥CE,再由兩直線平行,同位角相等;可得∠C=∠ABD;等量代換可得∠ABD=∠D,再由平行線的判定和性質(zhì)即可得證.5.如圖,AB∥CD,AE平分∠BAC,CE平分∠ACD.求證:AE⊥CE.【答案】證明:因?yàn)锳B∥CD,
所以∠BAC+∠ACD=180°.
又因?yàn)锳E平分
∠BAC,CE平分∠ACD,所以∠2=
∠BAC,∠3=∠ACD.從而∠2+∠3=
(∠BAC+∠ACD)=90°,∠E=180°-(∠2+∠3)=90°,即AE⊥CE.【解析】【分析】由平行線性質(zhì)可得∠BAC+∠ACD=180°;再由角平分線性質(zhì)可得∠2=
∠BAC,∠3=∠ACD;可得∠2+∠3=90°,再由三角形內(nèi)角和定理得∠E=90°,即AE⊥CE.6.
7條直線兩兩相交,試證明:在所有的交角中,至少有一個(gè)角小于26°.【答案】證明:在平面上任取一點(diǎn)O.過O點(diǎn)分別作這7條直線的平行線由平行線的性質(zhì)知,之間互成的角與原來的7條直線之間互成的角相等.所以我們可考察與,,,…,與所成的角,由圖,不難發(fā)現(xiàn)這7個(gè)角的和為一個(gè)平角,即180°.假設(shè)這七個(gè)角沒有一個(gè)小于26°,則這7個(gè)角的和至少為:26°×7=182°.這是不可能的.
因此,這七個(gè)角中至
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