第12章《二次根式》（解析）

2022-2023學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)易錯(cuò)題真題匯編（提高版）第12章《二次根式》考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?嶧城區(qū)期末）已知x＝﹣1，y＝+1，則分式的值是（）A．2 B． C．4 D．2解：＝＝x+y，當(dāng)x＝﹣1，y＝+1時(shí)，原式＝﹣1++1＝2．故選：D．2．（2分）（2022春?欽州期末）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．解：A．（﹣）2＝3，故A符合題意；B.＝3，故B不符合題意；C.＝，故C不符合題意；D.3＝3×，故D不符合題意；故選：A．3．（2分）（2021秋?邵東市期末）若二次根式有意義，且關(guān)于x的分式方程+2＝有正數(shù)解，則符合條件的整數(shù)m的和是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝，∵關(guān)于x的分式方程+2＝有正數(shù)解，∴＞0，∴m＞﹣5，又∵x＝1是增根，當(dāng)x＝1時(shí)，＝1，即m＝﹣3∴m≠﹣3，∵有意義，∴2﹣m≥0，∴m≤2，因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，∵m為整數(shù)，：∴整數(shù)m為﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和為﹣4，故選：D．4．（2分）（2022春?諸城市校級(jí)期中）如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為、k、，則化簡(jiǎn)﹣|2k﹣5|的結(jié)果是（）A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k解：∵一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為、k、，∴﹣＜k＜+，∴3＜k＜4，﹣|2k﹣5|，＝﹣|2k﹣5|，＝6﹣k﹣（2k﹣5），＝﹣3k+11，＝11﹣3k，故選：D．5．（2分）（2021春?花山區(qū)校級(jí)月考）已知a滿足|2020﹣a|+＝a，則a﹣20202＝（）A．0 B．1 C．2021 D．2020解：由題意得：a﹣2021≥0，∴a≥2021，∴|2020﹣a|＝a﹣2020，∵|2020﹣a|+＝a，∴a﹣2020+＝a，∴＝2020，∴a﹣2021＝20202，∴a﹣20202＝2021，故選：C．6．（2分）（2021春?越城區(qū)校級(jí)期中）有理數(shù)a和b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則﹣|a﹣b|等于（）A．a(chǎn) B．﹣a C．2b+a D．2b﹣a解：觀察數(shù)軸可知：，當(dāng)b＜0時(shí)，，所以原式＝﹣b﹣（a﹣b）＝﹣b﹣a+b＝﹣a．故選：B．7．（2分）（2022春?長(zhǎng)沙期中）已知：a＝，b＝，則a與b的關(guān)系是（）A．a(chǎn)﹣b＝0 B．a(chǎn)+b＝0 C．a(chǎn)b＝1 D．a(chǎn)2＝b2解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2﹣，∴a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1，故C選項(xiàng)正確；∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+3＝7﹣4，∴a2≠b2，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．8．（2分）（2021春?寧津縣期末）在△ABC中，a、b、c為三角形的三邊，化簡(jiǎn)﹣2|c﹣a﹣b|的結(jié)果為（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a(chǎn)+3b﹣c D．2a解：∵a、b、c為三角形的三邊，∴a+c＞b，a+b＞c，即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．故選：B．9．（2分）（2023春?武穴市月考）已知1＜a＜3，那么化簡(jiǎn)代數(shù)式﹣的結(jié)果是（）A．5﹣2a B．2a﹣5 C．﹣3 D．3解：∵1＜a＜3，∴a﹣1＞0，a﹣3＜0，∴﹣＝|a﹣1|﹣|a﹣4|＝a﹣1+a﹣4＝2a﹣5，故選：B．10．（2分）（2023春?定遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）我們知道形如，的數(shù)可以化簡(jiǎn)，其化簡(jiǎn)的目的主要是把原數(shù)分母中的無(wú)理數(shù)化為有理數(shù)．如：，．這樣的化簡(jiǎn)過(guò)程叫做分母有理化．我們把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下結(jié)論：①；②設(shè)有理數(shù)a，b滿足，則a+b＝6；③；④已知，則；⑤．以上結(jié)論正確的有（）A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．②③④解：①，故正確；②，∴a+b＝﹣6，b﹣a＝4，故錯(cuò)誤；③，，∵，∴，故正確；④∵＝（43﹣x）﹣（11﹣x）＝32，而，∴，故錯(cuò)誤；⑤＝＝＝＝，故正確；正確的有①③⑤．故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022春?沂源縣期末）若最簡(jiǎn)二次根式與﹣是同類二次根式，則x＝±1．解：由題意可得：5x2+1＝7x2﹣1，解得x＝±1，當(dāng)x＝±1時(shí)，與﹣都是最簡(jiǎn)二次根式．因此x＝±1．故答案為±1．12．（2分）（2021?鶴峰縣模擬）已知m＝1+，n＝1﹣，則代數(shù)式的值為3．解：∵m＝1+，n＝1﹣，∴（m+n）2＝＝22＝4，mn＝（1+）×（1﹣）＝1﹣2＝﹣1，∴m2+n2﹣3mn＝（m+n）2﹣2mn﹣3mn＝（m+n）2﹣5mn＝4﹣5×（﹣1）＝9，∴＝＝3．故答案為：3．13．（2分）（2023春?蚌埠月考）觀察下列各式：①2＝；②3＝；③4＝；…；根據(jù)這些等式反映的規(guī)律，若x＝，則x2﹣y＝1．解：由題意得：若x＝，則x＝2023，y＝20232﹣1，∴x2﹣y＝20232﹣（20232﹣1）＝1．故答案為：1．14．（2分）（2022秋?射洪市期末）已知x＝+2，代數(shù)式x2﹣4x+11的值為12．解：x2﹣4x+11，＝（x﹣2）2+7．把x＝+2代入，原式＝（+2﹣2）2+7，＝（）2+7，＝5+7，＝12．故答案是：12．15．（2分）（2023春?德城區(qū)校級(jí)月考）已知a＝，b＝，則a與b的關(guān)系是互為相反數(shù)．解：∵a＝＝2﹣，∴b+a＝0，故a與b互為相反數(shù)，故答案是互為相反數(shù)．16．（2分）（2022春?新洲區(qū)校級(jí)月考）觀察下列各式的規(guī)律：①；②；③若，則a+b＝55．解：由題意可得：22﹣1＝3，32﹣1＝8，42﹣1＝15，則a＝7，b＝72﹣1＝48，故a+b＝7+48＝55．故答案為：55．17．（2分）（2022春?龍亭區(qū)校級(jí)期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，如圖所示，化簡(jiǎn)＝﹣b．解：∵a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴原式＝|a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝﹣a﹣c+a+c﹣b＝﹣b．故答案為：﹣b．18．（2分）（2022春?泰州期末）關(guān)于x的代數(shù)式有意義，滿足條件的所有整數(shù)x的和是9，則a的取值范圍為﹣1＜a≤0或﹣4＜a≤﹣3．解：∵4﹣x≥0，x﹣a﹣2≥0，∴a+2≤x≤4，∵滿足條件的所有整數(shù)x的和是9，∴x＝4，3，2或4，3，2，1，0，﹣1，∴1＜a+2≤2或﹣2＜a+2≤﹣1，∴﹣1＜a≤0或﹣4＜a≤﹣3．故答案為：﹣1＜a≤0或﹣4＜a≤﹣3．19．（2分）（2022春?辛集市期末）已知xy＜0，化簡(jiǎn)：x＝．解：∵二次根式，∴y＜0，∵xy＜0，∴x＞0，∴＝，故答案為：．20．（2分）（2021春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級(jí)月考）觀察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此規(guī)律，第8個(gè)等式的是＝3﹣2．解：通過(guò)觀察等式的中被開(kāi)方數(shù)與等式的序號(hào)的關(guān)系找到規(guī)律為：第n個(gè)式子為：，∴第8個(gè)等式的是：＝，即：＝3﹣2．故答案為：＝3﹣2．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（8分）（2023春?廣安區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算（1）；（2）．解：（1）＝＝；（2）＝＝．22．（8分）（2022秋?羅湖區(qū)校級(jí)期末）小明在解決問(wèn)題：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是這樣分析與解答的：∵a＝．∴a﹣2＝﹣．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）計(jì)算：＝﹣1；（2）計(jì)算：+…+；（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．解：（1）＝＝﹣1，故答案為：；（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1＝；（3）∵a＝+2，∴a﹣2＝．∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．∴a2﹣4a＝1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（1）+1＝3．答：2a2﹣8a+1的值為3．23．（6分）（2022春?邗江區(qū)期末）閱讀下列材料，并回答問(wèn)題：把形如a+b與a﹣b、b為有理數(shù)且b＞0，m為正整數(shù)且開(kāi)方開(kāi)不盡）的兩個(gè)實(shí)數(shù)稱為共軛實(shí)數(shù)．（1）請(qǐng)你舉出一對(duì)共軛實(shí)數(shù)：3+和3﹣；（2）﹣2和2是共軛實(shí)數(shù)嗎？若是請(qǐng)指出a、b的值；（3）若兩個(gè)共軛實(shí)數(shù)的和是10，差的絕對(duì)值是4，請(qǐng)求出這兩個(gè)共軛實(shí)數(shù)．解：（1）由題意可得，3+與3﹣是共軛實(shí)數(shù)，故答案為：3+，3﹣；（2）﹣2和2是共軛實(shí)數(shù)，a＝0，b＝2；（3）設(shè)這兩個(gè)共軛實(shí)數(shù)為a+b與a﹣b，∵兩個(gè)共軛實(shí)數(shù)的和是10，差的絕對(duì)值是4，∴（a+b）+（a﹣b）＝10，|（a+b）﹣（a﹣b）|＝4，∴2a＝10，|2b|＝4，∴a＝5，b＝2或b＝﹣2（舍去），m＝3，∴這兩個(gè)共軛實(shí)數(shù)是5+2，5﹣2．24．（6分）（2022春?高安市期中）＝|a|是二次根式的一條重要性質(zhì)．請(qǐng)利用該性質(zhì)解答以下問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)：＝2，＝π﹣3；（2）若＝﹣1﹣x，則x的取值范圍為x≤﹣1；（3）已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)﹣|c﹣a|+．解：（1）＝|﹣2|＝2，＝|3﹣π|＝π﹣3．∴答案為：2，π﹣3．（2）∵＝|1+x|＝﹣1﹣x．∴1+x≤0，∴x≤﹣1．故答案為：x≤﹣1．（3）由數(shù)軸得：a＜b＜0＜c．∴c﹣a＞0，b﹣c＜0．∴原式＝|a|﹣（c﹣a）+|b﹣c|＝﹣a﹣c+a﹣b+c＝﹣b．25．（8分）（2021春?漢陽(yáng)區(qū)月考）[問(wèn)題提出]在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，發(fā)現(xiàn)一些含有根號(hào)的式子可以化成另一式子的平方，例如：；．[嘗試應(yīng)用]（1）請(qǐng)你按照上述方法將化成一個(gè)式子的平方；（2）請(qǐng)你參考上述方法，計(jì)算；[拓展創(chuàng)新]若，且a、m、n均為正整數(shù)，則a＝8或16．解：（1）＝（3+7）+2＝（）2+（）2+2×＝（+）2；（2）＝＝2＝2＝2＝2＝2（﹣）＝2﹣2；（3）∵，∴a+2＝m+2+n，∴m+n＝a，mn＝15，∵a、m、n均為正整數(shù)，∴m，n的值為3和5或1和15，∴a的值為8或16，故答案為：8或16．26．（8分）（2022春?余杭區(qū)期中）如圖是一張等腰直角三角形彩色紙，AC＝BC＝20cm．要裁出幾張寬度相等的長(zhǎng)方形紙條，寬度都為5cm，用這些紙條為一幅正方形照片EFGH鑲邊（紙條不重疊）．圖1和圖2是兩種不同裁法的示意圖．（1）求兩種裁法最多能得到的長(zhǎng)方形紙條的條數(shù)；（2）分別計(jì)算兩種裁法得到長(zhǎng)方形紙條的總長(zhǎng)度；（3）這兩種裁法中，被鑲邊的正方形照片EFGH的最大面積為多少？解：（1）如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∵AC＝BC＝20，∠ACB＝90°，∴AB＝AC＝×20＝40cm，∴CD＝AB＝20cm，＝＝2，且2＜2＜3，∴如圖1裁法最多能得到2條長(zhǎng)方形紙條；20÷5＝4，∴如圖2裁法最多能得到3條長(zhǎng)方形紙條；（2）如圖1，∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF＝AF＝5cm，∴EQ＝40﹣5﹣5＝（40﹣10）cm，同理得：DP＝40﹣10﹣10＝（40﹣20）cm，∴如圖1裁法得到長(zhǎng)方形紙條的總長(zhǎng)度＝EQ+DP＝40﹣10+40﹣20＝（80﹣30）cm；如圖2，同理可知△PEB是等腰直角三角形，且BE＝5cm，∴PD＝20﹣5＝15cm，QG＝15﹣5＝10cm，???，∴如圖2裁法得到長(zhǎng)方形紙條的總長(zhǎng)度＝15+10+5＝30（cm）；（3）如圖4，如圖1裁法：PG＝＝（20﹣）cm，F(xiàn)G＝PG﹣PF＝20﹣﹣5＝（20﹣）cm，如圖2裁法：PG＝＝cm，F(xiàn)G＝PG﹣PF＝﹣5＝cm，∵20﹣＜，∴這兩種裁法中，被鑲邊的正方形照片EFGH的最大面積為（）2＝12.5（cm2）．27．（8分）（2022秋?豐澤區(qū)校級(jí)期末）一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+2＝（1+）2．設(shè)a+b（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣可以把部分a+b的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照上述的方法探索并解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn．（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：21+4＝（1+2）2；（3）化簡(jiǎn)解：（1）∵，＝m2+2mn+3n2∴a＝m2+3n2，b＝2mn故答案為：m2+3n2，2mn．（2）設(shè)a+b＝則＝m2+2mn+5n2∴a＝m2+5n2，b＝2mn若令m＝1，n＝2，則a＝21，b＝4故答案為：21，4，1，2．（3）＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝++﹣＝+28．（8分）（2022春?新羅區(qū)校級(jí)月考）小明在解決問(wèn)題：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是這樣分析與解的：∵，∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣