熱點(diǎn)08 解直角三角形及其應(yīng)用

熱點(diǎn)08解直角三角形及其應(yīng)用中考數(shù)學(xué)中《銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用》部分主要考向分為三類：一、特殊角的三角函數(shù)值相關(guān)運(yùn)算（每年1道，6~8分）二、解直角三角形（每年1道，3分）三、解直角三角形的應(yīng)用（每年1題，3~8分）中考數(shù)學(xué)中，對(duì)銳角三角函數(shù)的考察主要以特殊角的三角函數(shù)值及其有關(guān)計(jì)算、解直角三角形、解直角三角形的應(yīng)用三個(gè)方面為主。其中，特殊角的三角函數(shù)值主要和實(shí)數(shù)相關(guān)概念放一起考察計(jì)算題，而解直角三角形及其各種應(yīng)用則選擇、填空、簡(jiǎn)答題都有出現(xiàn)，其中應(yīng)用則偏向大題多些，難度一般中等或偏上，分值也比較可觀，但對(duì)應(yīng)考點(diǎn)掌握熟練，計(jì)算和審題上夠小心了，一般不會(huì)失分。

考向一：特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)算【題型1和實(shí)數(shù)概念結(jié)合的特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)算】滿分技巧特殊角的三角函數(shù)值表αsinαcosαtanα30°45°60°特殊角的三角函數(shù)值，可以直接記數(shù)值，也可以記定義，然后現(xiàn)退對(duì)應(yīng)函數(shù)值，但顯然，直接熟記對(duì)應(yīng)數(shù)值會(huì)便捷很多。1．（2023?天津）的值等于（）A．1 B． C． D．22．（2023?黃石）計(jì)算：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝．3．（2023?菏澤）計(jì)算：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝．4．（2023?內(nèi)江）在△ABC中，∠A、∠B，∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a2+|c﹣10|+＝12a﹣36，則sinB的值為．5．（2023?金華）計(jì)算：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|．6．（2023?西藏）計(jì)算：．考向二：解直角三角形【題型2利用已知信息求解對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值】滿分技巧解直角三角形口訣“直乘斜除，對(duì)正臨余”——求直角三角形的直角邊，多用乘法；求斜邊，多用除法。求已知角的對(duì)邊，多用正弦或正切值；求已知角的臨邊，多用余弦值。常見(jiàn)輔助線：做垂線1．（2023?攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，則cos∠A的值為（）A． B． C． D．2．（2023?陜西）如圖，在6×7的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．若點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則sinB的值為（）A． B． C． D．3．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝．【題型3利用三角函數(shù)值求解幾何圖形的線段】滿分技巧此類計(jì)算更多的是注意審題，因?yàn)轭}目中可能會(huì)要求精確位數(shù)，或者保留幾位有效數(shù)字，這時(shí)候要注意，一般計(jì)算到最后一步才帶入?yún)⒖紨?shù)據(jù)計(jì)算，然后四舍五入。1．（2023?西寧）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，∠A＝42°，則BC的長(zhǎng)約為.（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）2．如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)為2cm，若按相同的方式將37°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)是cm（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．3．（2023?丹東）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A（3，0），B（0，4），點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，連接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC為邊作等邊三角形BCD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為；點(diǎn)D的坐標(biāo)為．考向三：解直角三角形的應(yīng)用【題型4坡度坡角問(wèn)題】滿分技巧坡度坡角的意義：坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，坡度越大，坡角越大，坡面越陡1．（2023?深圳）爬坡時(shí)坡面與水平面夾角為α，則每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（）（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414）A．58J B．159J C．1025J D．1732J2．（2023?長(zhǎng)春）學(xué)校開(kāi)放日即將來(lái)臨，負(fù)責(zé)布置的林老師打算從學(xué)校圖書(shū)館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示．已知彩旗繩與地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗繩固定在地面的位置與圖書(shū)館相距32米（即AC＝32米），則彩旗繩AB的長(zhǎng)度為（）A．32sin25°米 B．32cos25°米C．米 D．米3．（2023?濟(jì)南）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，該車的高度AO＝1.7m．如圖2，打開(kāi)后備廂，車后蓋ABC落在AB'C'處，AB'與水平面的夾角∠B'AD＝27°．（1）求打開(kāi)后備廂后，車后蓋最高點(diǎn)B'到地面l的距離；（2）若小琳爸爸的身高為1.8m，他從打開(kāi)的車后蓋C'處經(jīng)過(guò)，有沒(méi)有碰頭的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）【題型5仰角俯角問(wèn)題】滿分技巧仰角俯角的意義：仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫仰角.俯角：視線在水平線下方的叫俯角1．（2023?衢州）如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿，AB＝b，AB的最大仰角為α．當(dāng)∠C＝45°時(shí)，則點(diǎn)A到桌面的最大高度是（）A． B． C．a(chǎn)+bcosα D．a(chǎn)+bsinα2．（2023?日照）日照燈塔是日照海濱港口城市的標(biāo)志性建筑之一，主要為日照近海及進(jìn)出日照港的船舶提供導(dǎo)航服務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)要測(cè)量燈塔的高度，如圖所示，在點(diǎn)B處測(cè)得燈塔最高點(diǎn)A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前進(jìn)至C處測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，則燈塔的高度AD大約是（）（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）A．31m B．36m C．42m D．53m3．（2023?浙江）圖1是某住宅單元樓的人臉識(shí)別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能被識(shí)別），其示意圖如圖2，攝像頭A的仰角、俯角均為15°，攝像頭高度OA＝160cm，識(shí)別的最遠(yuǎn)水平距離OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，頭部高度為26cm，他站在離攝像頭水平距離130cm的點(diǎn)C處，請(qǐng)問(wèn)小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識(shí)別？（2）身高120cm的小若，頭部高度為15cm，踮起腳尖可以增高3cm，但仍無(wú)法被識(shí)別，社區(qū)及時(shí)將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為20°（如圖3），此時(shí)小若能被識(shí)別嗎？請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明．（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【題型6方向角問(wèn)題】滿分技巧方向角遵循——上北下南，左西右東。因?yàn)檫@類題目常和特殊角結(jié)合，故作輔助線時(shí)，謹(jǐn)記一個(gè)原則：不能破壞已有的特殊角。1．（2023?眉山）一漁船在海上A處測(cè)得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是海里．2．（2023?丹東）一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時(shí)，測(cè)得燈塔B在它北偏東31°方向上，繼續(xù)向東航行10nmile到達(dá)C港，此時(shí)測(cè)得燈塔B在它北偏西61°方向上，求輪船在航行過(guò)程中與燈塔B的最短距離．（結(jié)果精確到0.1nmile）（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）．3．（2023?重慶）人工海產(chǎn)養(yǎng)殖合作社安排甲、乙兩組人員分別前往海面A，B養(yǎng)殖場(chǎng)捕撈海產(chǎn)品．經(jīng)測(cè)量，A在燈塔C的南偏西60°方向，B在燈塔C的南偏東45°方向，且在A的正東方向，AC＝3600米．（1）求B養(yǎng)殖場(chǎng)與燈塔C的距離（結(jié)果精確到個(gè)位）；（2）甲組完成捕撈后，乙組還未完成捕撈，甲組決定前往B處協(xié)助捕撈，若甲組航行的平均速度為600米每分鐘，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明甲組能否在9分鐘內(nèi)到達(dá)B處？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）重難通關(guān)練（建議用時(shí)：30分鐘）1．（2023?無(wú)錫）cos60°的值為（）A． B． C． D．2．（2023?南充）如圖，小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走x米到達(dá)B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC＝α，則A，C兩處相距（）A．米 B．米 C．x?sinα米 D．x?cosα米3．（2023?十堰）如圖所示，有一天橋高AB為5米，BC是通向天橋的斜坡，∠ACB＝45°，市政部門(mén)啟動(dòng)“陡改緩”工程，決定將斜坡的底端C延伸到D處，使∠D＝30°，則CD的長(zhǎng)度約為（）（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米4．第二十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是1700多年前中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個(gè)全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中間一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，連接BE．設(shè)∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1：n，tanα＝tan2β，則n＝（）A．5 B．4 C．3 D．25．（2023?淄博）勾股定理的證明方法豐富多樣，其中我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“弦圖”的證明簡(jiǎn)明、直觀，是世界公認(rèn)最巧妙的方法．“趙爽弦圖”已成為我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的一個(gè)重要標(biāo)志，千百年來(lái)倍受人們的喜愛(ài)．小亮在如圖所示的“趙爽弦圖”中，連接EG，DG．若正方形ABCD與EFGH的邊長(zhǎng)之比為：1，則sin∠DGE等于（）A． B． C． D．6．（2023?南通）如圖，從航拍無(wú)人機(jī)A看一棟樓頂部B的仰角α為30°，看這棟樓底部C的俯角β為60°，無(wú)人機(jī)與樓的水平距離為120m，則這棟樓的高度為（）A． B． C． D．7．（2023?益陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三點(diǎn)A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（）A． B． C． D．8．（2023?自貢）如圖，分別經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A（4，0）的動(dòng)直線a，b夾角∠OBA＝30°，點(diǎn)M是OB中點(diǎn)，連接AM，則sin∠OAM的最大值是（）A． B． C． D．9．（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC＝．10．如圖，焊接一個(gè)鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約m（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）11．綜合實(shí)踐課上，航模小組用航拍無(wú)人機(jī)進(jìn)行測(cè)高實(shí)踐．如圖，無(wú)人機(jī)從地面CD的中點(diǎn)A處豎直上升30米到達(dá)B處，測(cè)得博雅樓頂部E的俯角為45°，尚美樓頂部F的俯角為30°，已知博雅樓高度CE為15米，則尚美樓高度DF為米．（結(jié)果保留根號(hào)）12．為發(fā)展城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某鄉(xiāng)對(duì)A地和B地之間的一處垃圾填埋場(chǎng)進(jìn)行改造，把原來(lái)A地去往B地需要繞行到C地的路線，改造成可以直線通行的公路AB．如圖，經(jīng)勘測(cè)，AC＝6千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，則改造后公路AB的長(zhǎng)是千米（精確到0.1千米；參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）．13．某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測(cè)量一建筑物的高度，如圖，他們?cè)诮ㄖ锴暗钠降厣线x擇一點(diǎn)A，在點(diǎn)A和建筑物之間選擇一點(diǎn)B，測(cè)得AB＝30m，用高1m（AC＝1m）的測(cè)角儀在A處測(cè)得建筑物頂部E的仰角為30°，在B處測(cè)得仰角為60°，則該建筑物的高是．14．（2023?泰安）在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)一電視發(fā)射塔的高度進(jìn)行了測(cè)量．如圖，在塔前C處，測(cè)得該塔頂端B的仰角為50°，后退60m（CD＝60m）到D處有一平臺(tái)，在高2m（DE＝2m）的平臺(tái)上的E處，測(cè)得B的仰角為26.6°．則該電視發(fā)射塔的高度AB為m．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5）15．（2023?北京）計(jì)算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．16．（2023?內(nèi)蒙古）計(jì)算：|﹣2|+（π﹣2023）0+（﹣）﹣2﹣2cos60°．17．（2023?綏化）如圖，直線MN和EF為河的兩岸，且MN∥EF，為了測(cè)量河兩岸之間的距離，某同學(xué)在河岸FE的B點(diǎn)測(cè)得∠CBE＝30°，從B點(diǎn)沿河岸FE的方向走40米到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)得∠CDE＝45°．（1）求河兩岸之間的距離是多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）（2）若從D點(diǎn)繼續(xù)沿DE的方向走（12+12）米到達(dá)P點(diǎn)．求tan∠CPE的值．18．（2023?紹興）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱OA垂直地面OB，支架CD與OA交于點(diǎn)A，支架CG⊥CD交OA于點(diǎn)G，支架DE平行地面OB，籃筐EF與支架DE在同一直線上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．（1）求∠GAC的度數(shù)；（2）某運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在凳子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面3米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）19．（2023?甘孜州）“科技改變生活”，小王是一名攝影愛(ài)好者，新入手一臺(tái)無(wú)人機(jī)用于航拍．在一次航拍時(shí)，數(shù)據(jù)顯示，從無(wú)人機(jī)A看建筑物頂部B的仰角為45°，看底部C的俯角為60°，無(wú)人機(jī)A到該建筑物BC的水平距離AD為10米，求該建筑物BC的高度．（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：，）20．（2023?蘇州）四邊形不具有穩(wěn)定性，工程上可利用這一性質(zhì)解決問(wèn)題．如圖是某籃球架的側(cè)面示意圖，BE，CD，GF為長(zhǎng)度固定的支架，支架在A，D，G處與立柱AH連接（AH垂直于MN，垂足為H），在B，C處與籃板連接（BC所在直線垂直于MN），EF是可以調(diào)節(jié)長(zhǎng)度的伸縮臂（旋轉(zhuǎn)點(diǎn)F處的螺栓改變EF的長(zhǎng)度，使得支架BE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，從而改變四邊形ABCD的形狀，以此調(diào)節(jié)籃板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，測(cè)得∠GAE＝60°時(shí)，點(diǎn)C離地面的高度為288cm．調(diào)節(jié)伸縮臂EF，將∠GAE由60°調(diào)節(jié)為54°，判斷點(diǎn)C離地面的高度升高還是降低了？升高（或降低）了多少？（參考數(shù)據(jù)：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）培優(yōu)爭(zhēng)分練（建議用時(shí)：30分鐘）1．（2024?秦都區(qū)校級(jí)一模）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，則cosA的值等于（）A． B． C．或 D．或2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度數(shù)是（）A．15° B．45° C．30° D．60°3．（2024?界首市校級(jí)一模）如圖，滑雪場(chǎng)有一坡角為18°的滑雪道，滑雪道AC長(zhǎng)為150米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長(zhǎng)為（）A．150tan18°米 B．150sin18°米C．米 D．米4．（2024?道里區(qū)模擬）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹(shù)CD的高度，在點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為45°，在點(diǎn)B處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為60°，且A、B、D三點(diǎn)在同一直線上，若AB＝（8+8）米，則這棵樹(shù)CD的高度是（）A．米 B．米 C．米 D．米5．如圖，在Rt△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，若AD＝CD，AB＝BD，則tan∠C的值為（）A． B．2 C． D．6．（2024?平城區(qū)一模）如圖是橢圓機(jī)在使用過(guò)程中某時(shí)刻的側(cè)面示意圖，已知手柄AD⊥滾輪連桿AB，且AD＝20cm，AB＝160cm，連桿AB與底座BC的夾角為60°，則該橢圓機(jī)的機(jī)身高度（點(diǎn)D到地面的距離）為（）A． B．C． D．7．如圖，O為蹺蹺板AB的中點(diǎn)，支柱OC與地面MN垂直，垂足為點(diǎn)C，當(dāng)蹺蹺板的一端B著地時(shí)，蹺蹺板AB與地面MN的夾角為20°，測(cè)得AB＝1.6m，則OC的長(zhǎng)為（）A． B． C．0.8sin20° D．0.8cos20°8．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，則∠C的度數(shù)是．9．（2024?平城區(qū)一模）數(shù)學(xué)實(shí)踐小組要測(cè)量某路段上一處無(wú)標(biāo)識(shí)的車輛限高桿MN的高度AB，如圖，他們先用測(cè)傾器在C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角∠AEG＝30°，然后在距離C處2米的D處測(cè)得點(diǎn)A的仰角∠AFG＝45°，已知測(cè)傾器的高度為1.6米，C、D、B在一條直線上，則車輛限高桿AB的高度為米．（結(jié)果保留根號(hào)）10．（2024?秦都區(qū)校級(jí)一模）計(jì)算：（1）sin230°+2sin60°+tan45°+cos230°；（2）﹣2sin45°+2cos60°+|1﹣|+（）﹣1．11．（2024?秦都區(qū)校級(jí)一模）如圖，某中學(xué)依山而建，校門(mén)A處有一坡度i＝5：12的斜坡AB，長(zhǎng)度為13米，在坡頂B處看教學(xué)樓CF的樓頂C的仰角∠CBF＝45°，離B點(diǎn)4米遠(yuǎn)的E處有一個(gè)花臺(tái)，在E處仰望C的仰角是∠CEF＝60°，CF的延長(zhǎng)線交校門(mén)處的水平面于點(diǎn)D．（1）求坡頂B的高度；（2）求樓頂C的高度CD．12．（2024?河南一模）我國(guó)的無(wú)人機(jī)水平位居世界前列，“大疆”無(wú)人機(jī)更是風(fēng)靡海外．小華在一條東西走向的筆直寬闊的沿江大道上玩無(wú)人機(jī)航拍．已知小華身高AB為1.8m，無(wú)人機(jī)勻速飛行的速度是2m/s，當(dāng)小華在B處時(shí)，測(cè)得無(wú)人機(jī)在C處的仰角為45°；3s后，小華沿正東方向前進(jìn)3m到達(dá)E處，無(wú)人機(jī)沿正西方向勻速飛行到達(dá)F處，此時(shí)測(cè)得無(wú)人機(jī)在F處的仰角為72.6°，已知無(wú)人機(jī)的飛行路線CF平行于地面（直線l）．求無(wú)人機(jī)在C處時(shí)距離地面的高度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin72.6°≈0.95，cos72.6°≈0.30，tan72.6°≈3.20）13．（2024?沈丘縣一模）第31屆世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年7月28日在成都舉行，主火炬塔位于東安湖體育公園，亮燈之夜，塔身通體透亮，10余道象征太陽(yáng)光芒的螺旋線全部點(diǎn)亮，璀璨絢麗，流光溢彩（如圖1）．小杰同學(xué)想要通過(guò)測(cè)量及計(jì)算了解火炬塔CD的大致高度，當(dāng)他步行至點(diǎn)A處，測(cè)得此時(shí)塔頂C的仰角為42°，再步行20米至點(diǎn)B處，測(cè)得此時(shí)塔頂C的仰角為65°（如圖2所示，點(diǎn)A，B，D在同一條直線上），請(qǐng)幫小杰計(jì)算火炬塔CD的高．（sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，結(jié)果保留整數(shù)）14．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的成員在觀察點(diǎn)A測(cè)得觀察點(diǎn)B在A的正北方向，古樹(shù)C在A的東北方向，AC＝50m；在B處測(cè)得C在B的南偏東63.5°的方向上，已知D在C正北方向上，即CD∥AB，求古樹(shù)C，D之間的距離．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）15．（2024?遂平縣一模）寶巖寺塔始建于北宋時(shí)期，已有近千年的歷史，為仿木結(jié)構(gòu)樓閣式七級(jí)磚塔，整體呈奶黃色，平面呈六角形，塔角雕飾龍首，塔身浮雕壁畫(huà)，如今已經(jīng)成為駐馬店西平縣的地標(biāo)性建筑．某實(shí)踐探究小組想測(cè)得寶巖寺塔的高度，數(shù)據(jù)勘測(cè)組通過(guò)勘測(cè)，得到了如下記錄表．實(shí)踐探究活動(dòng)記錄表活動(dòng)內(nèi)容：寶巖寺塔的高度活動(dòng)日期：2024年3月12日成員組長(zhǎng)：xx組員：xxxxxxxxxxxx工具：測(cè)角儀，皮尺等測(cè)量示意圖說(shuō)明：塔高無(wú)法直接測(cè)量，數(shù)據(jù)勘測(cè)組在A，B兩處通過(guò)測(cè)角儀可測(cè)得∠DAC，∠DBC的度數(shù)，以及使用皮尺測(cè)得AB的長(zhǎng)度．測(cè)量數(shù)據(jù)角的度數(shù)∠DBC＝53°∠DAC＝30°∠BCD＝90°邊的長(zhǎng)度AB＝28.8米計(jì)算數(shù)據(jù)求塔高（CD）（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin，cos53°≈，）特殊說(shuō)明（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，且點(diǎn)A，B，C在同一水平線上）16．（2024?鹿城區(qū)校級(jí)一模）【問(wèn)題背景】一旗桿直立（與水平線垂直）在不平坦的地面上（如圖1）．兩個(gè)學(xué)習(xí)小組為了測(cè)量旗桿的高度，準(zhǔn)備利用附近的小山坡進(jìn)行測(cè)量估算．【問(wèn)題探究】如圖2，在坡角點(diǎn)C處測(cè)得旗桿頂點(diǎn)A的仰角∠ACE的正切值為2，山坡上點(diǎn)D處測(cè)得頂點(diǎn)A的仰角∠ADG的正切值為．斜坡CD的坡比為，兩觀測(cè)點(diǎn)CD的距離為15m．學(xué)習(xí)小組成員對(duì)問(wèn)題進(jìn)行如下分解，請(qǐng)?zhí)剿鞑⑼瓿扇蝿?wù)．任務(wù)1：計(jì)算C，D兩點(diǎn)的垂直高度差．任務(wù)2：求頂點(diǎn)A到水平地面的垂直高度．【問(wèn)題解決】為了計(jì)算得到旗桿AB的高度，兩個(gè)小組在共同解決任務(wù)1和2后，采取了不同的方案：小組一：在坡角點(diǎn)C處測(cè)得旗桿底部點(diǎn)B的仰角∠BCE的正切值為；小組二：在山坡上點(diǎn)D處測(cè)得旗桿底部點(diǎn)B的俯角∠GDB的正切值為．任務(wù)3請(qǐng)選擇其中一個(gè)小組的方案計(jì)算旗桿AB的高度．

熱點(diǎn)08解直角三角形及其應(yīng)用考向一：特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)算【題型1和實(shí)數(shù)概念結(jié)合的特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)算】滿分技巧特殊角的三角函數(shù)值表αsinαcosαtanα30°45°60°特殊角的三角函數(shù)值，可以直接記數(shù)值，也可以記定義，然后現(xiàn)退對(duì)應(yīng)函數(shù)值，但顯然，直接熟記對(duì)應(yīng)數(shù)值會(huì)便捷很多。1．（2023?天津）的值等于（）A．1 B． C． D．2【分析】根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值及二次根式的加法法則計(jì)算即可．【解答】解：原式＝+＝，故選：B．2．（2023?黃石）計(jì)算：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝9．【分析】先計(jì)算零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減．【解答】解：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝9+1﹣2×＝9+1﹣1＝9，故答案為：9．3．（2023?菏澤）計(jì)算：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝．【分析】首先計(jì)算零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和絕對(duì)值，然后計(jì)算乘法，最后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可．【解答】解：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝2﹣+2×﹣1＝2﹣+﹣1＝1．故答案為：1．4．（2023?內(nèi)江）在△ABC中，∠A、∠B，∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a2+|c﹣10|+＝12a﹣36，則sinB的值為．【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a，b，c的值，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．【解答】解：∵a2+|c﹣10|+＝12a﹣36，∴（a﹣6）2+|c﹣10|+＝0，∴a﹣6＝0，c﹣10＝0，b﹣8＝0，∴a＝6，c＝10，b＝8，∵62+82＝102，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∵△ABC中，∠A、∠B，∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，∴sinB＝＝＝．故答案為：．5．（2023?金華）計(jì)算：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|．【分析】先計(jì)算零次冪、化簡(jiǎn)二次根式，再代入特殊值的函數(shù)值算乘法并化簡(jiǎn)絕對(duì)值，最后算加減得結(jié)論．【解答】解：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|＝1+2﹣2×+5＝1+2﹣1+5＝7．6．（2023?西藏）計(jì)算：．【分析】利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊銳角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，立方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式＝4+2×﹣1﹣3＝4+﹣1﹣3＝．考向二：解直角三角形【題型2利用已知信息求解對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值】滿分技巧解直角三角形口訣“直乘斜除，對(duì)正臨余”——求直角三角形的直角邊，多用乘法；求斜邊，多用除法。求已知角的對(duì)邊，多用正弦或正切值；求已知角的臨邊，多用余弦值。常見(jiàn)輔助線：做垂線1．（2023?攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，則cos∠A的值為（）A． B． C． D．【分析】先利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，再利用三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論．【解答】解：在△ABC中，∵a＝6，b＝8，c＝10，a2+b2＝62+82＝36+64＝100，c2＝100．∴a2+b2＝c2．∴△ABC是直角三角形．∴cosA＝＝＝．故選：C．2．（2023?陜西）如圖，在6×7的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．若點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則sinB的值為（）A． B． C． D．【分析】連接AD，得到∠ADB＝90°，由勾股定理求出AD＝2，AB＝，即可求出sinB＝＝．【解答】解：連接AD，則∠ADB＝90°，∵AD＝＝2，AB＝＝，∴sinB＝＝＝，故選：A．3．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝．【分析】設(shè)AD＝t，根據(jù)已知表示出AC＝2t，AB＝AD+BD＝4t，即可得tanB＝＝＝．【解答】解：設(shè)AD＝t，∵BD＝CD，＝，∴BD＝CD＝3t，∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，∴tanB＝＝＝，故答案為：．【題型3利用三角函數(shù)值求解幾何圖形的線段】滿分技巧此類計(jì)算更多的是注意審題，因?yàn)轭}目中可能會(huì)要求精確位數(shù)，或者保留幾位有效數(shù)字，這時(shí)候要注意，一般計(jì)算到最后一步才帶入?yún)⒖紨?shù)據(jù)計(jì)算，然后四舍五入。1．（2023?西寧）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，∠A＝42°，則BC的長(zhǎng)約為8.0.（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【分析】根據(jù)正弦定義求解即可．【解答】解：如圖，∵∠ACB＝90°，∴sinA＝，∵AB＝12，∠A＝42°，sin42°≈0.67，∴BC＝12×0.67≈8.0，故答案為：8.0．2．如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)為2cm，若按相同的方式將37°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)是cm（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA于D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CE＝2，再通過(guò)解直角三角形可求得OE的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA于D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于E，在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，∴CE＝BD＝2cm，在△OCE中，∠COE＝37°，∠CEO＝90°，∴tan37°＝，∴OE＝2.7cm，即OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)是2.7cm．故答案為：2.7．3．（2023?丹東）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A（3，0），B（0，4），點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，連接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC為邊作等邊三角形BCD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為；點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，先求處AB＝5，再設(shè)BE＝t，由tan∠ABC＝2得CE＝2t，進(jìn)而得BC＝，由三角形的面積公式得S△ABC＝AC?OB＝AB?CE，即5×2t＝4×（3+OC），則OC＝﹣3，然后在Rt△BOC中由勾股定理得，由此解出t1＝2，t2＝10（不合題意，舍去），此時(shí)OC＝﹣3＝2，故此可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），由兩點(diǎn)間的距離公式得：BC2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，由△BCD為等邊三角形得，整理：，②﹣①整理得m＝3﹣2n，將m＝3﹣2n代入①整理得n2﹣4n+1＝0，解得n＝，進(jìn)而再求出m即可得點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，如圖：∵點(diǎn)A（3，0），B（0，4），由兩點(diǎn)間的距離公式得：AB＝＝5，設(shè)BE＝t，∵tan∠ABC＝2，在Rt△BCE中，tan∠ABC＝，∴＝2，∴CE＝2t，由勾股定理得：BC＝＝t，∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC＝OC+OA＝3+OC，∴S△ABC＝AC?OB＝AB?CE，即：5×2t＝4×（3+OC），∴OC＝﹣3，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2﹣OB2＝OC2，即，整理得：t2﹣12t+20＝0，解得：t1＝2，t2＝10（不合題意，舍去），∴t＝2，此時(shí)OC＝﹣3＝2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），由兩點(diǎn)間的距離公式得：BC2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，∵△BCD為等邊三角形，∵BD＝CD＝BC，∴，整理得：，②﹣①得：4m+8n＝12，∴m＝3﹣2n，將m＝3﹣2n代入①得：（3﹣2n）2+n2﹣8n＝4，整理得：n2﹣4n+1＝0，解得：n＝，當(dāng)n＝時(shí)，m＝3﹣2n＝，當(dāng)n＝時(shí)，m＝3﹣2n＝，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為或．故答案為：（﹣2，0）；或．考向三：解直角三角形的應(yīng)用【題型4坡度坡角問(wèn)題】滿分技巧坡度坡角的意義：坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，坡度越大，坡角越大，坡面越陡1．（2023?深圳）爬坡時(shí)坡面與水平面夾角為α，則每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（）（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414）A．58J B．159J C．1025J D．1732J【分析】根據(jù)題意可得：他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°），進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°）＝1000×（1.025﹣）≈159（J），故選：B．2．（2023?長(zhǎng)春）學(xué)校開(kāi)放日即將來(lái)臨，負(fù)責(zé)布置的林老師打算從學(xué)校圖書(shū)館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示．已知彩旗繩與地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗繩固定在地面的位置與圖書(shū)館相距32米（即AC＝32米），則彩旗繩AB的長(zhǎng)度為（）A．32sin25°米 B．32cos25°米C．米 D．米【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行解答即可．【解答】解：如圖，由題意得，AC＝32m，∠A＝25°，在Rt△ABC中，∵cosA＝，∴AB＝＝（m），故選：D．3．（2023?濟(jì)南）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，該車的高度AO＝1.7m．如圖2，打開(kāi)后備廂，車后蓋ABC落在AB'C'處，AB'與水平面的夾角∠B'AD＝27°．（1）求打開(kāi)后備廂后，車后蓋最高點(diǎn)B'到地面l的距離；（2）若小琳爸爸的身高為1.8m，他從打開(kāi)的車后蓋C'處經(jīng)過(guò)，有沒(méi)有碰頭的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）【分析】（1）作B′E⊥AD，垂足為點(diǎn)E，先求出B′E的長(zhǎng)，再求出B′E+AO的長(zhǎng)即可；（2）過(guò)C′作C′F⊥B′E，垂足為點(diǎn)F，先求得∠AB′E＝63°，再得到∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，再求得B′F＝B′C′?cos60°＝0.3m，從而得出C′到地面的距離為2.15﹣0.3＝1.85（m），最后比較即可．【解答】解：（1）如圖，作B′E⊥AD，垂足為點(diǎn)E，在Rt△AB′E中，∵∠B′AD＝27°，AB′＝AB＝1m，∴sin27°＝，∴B′E＝AB′sin27°≈1×0.454＝0.454m，∵平行線間的距離處處相等，∴B′E+AO＝0.454+1.7＝2.154≈2.15m，答：車后蓋最高點(diǎn)B′到地面的距離為2.15m．（2）沒(méi)有危險(xiǎn)，理由如下：如圖，過(guò)C′作C′F⊥B′E，垂足為點(diǎn)F，∵∠B′AD＝27°，∠B′EA＝90°，∴∠AB′E＝63°，∵∠AB′C′＝∠ABC＝123°，∴∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，在Rt△B′FC′中，B′C′＝BC＝0.6m，∴B′F＝B′C′?cos60°＝0.3m．∵平行線間的距離處處相等，∴C′到地面的距離為2.15﹣0.3＝1.85m．∵1.85＞1.8，∴沒(méi)有危險(xiǎn)．【題型5仰角俯角問(wèn)題】滿分技巧仰角俯角的意義：仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫仰角.俯角：視線在水平線下方的叫俯角1．（2023?衢州）如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿，AB＝b，AB的最大仰角為α．當(dāng)∠C＝45°時(shí)，則點(diǎn)A到桌面的最大高度是（）A． B． C．a(chǎn)+bcosα D．a(chǎn)+bsinα【分析】過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于F，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CD于G，利用解直角三角形可得AF＝bsinα，BG＝a，根據(jù)點(diǎn)A到桌面的最大高度＝BG+AF，即可求得答案【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于F，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CD于G，在Rt△ABF中，AF＝AB?sinα＝bsinα，在Rt△BCG中，BG＝BC?sin45°＝a×＝a，∴點(diǎn)A到桌面的最大高度＝BG+AF＝a+bsinα，故選：D．2．（2023?日照）日照燈塔是日照海濱港口城市的標(biāo)志性建筑之一，主要為日照近海及進(jìn)出日照港的船舶提供導(dǎo)航服務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)要測(cè)量燈塔的高度，如圖所示，在點(diǎn)B處測(cè)得燈塔最高點(diǎn)A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前進(jìn)至C處測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，則燈塔的高度AD大約是（）（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）A．31m B．36m C．42m D．53m【分析】根據(jù)題意可得：AD⊥BD，然后設(shè)CD＝xm，則BD＝（x+15.3）m，在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：AD⊥BD，設(shè)CD＝xm，∵BC＝15.3m，∴BD＝BC+CD＝（x+15.3）m，在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝BD?tan45°＝（x+15.3）m，在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，∴AD＝CD?tan60°＝x（m），∴x＝（x+15.3），解得：x≈21.0，∴AD＝x+15.3≈36（m），∴燈塔的高度AD大約是36m，故選：B．3．（2023?浙江）圖1是某住宅單元樓的人臉識(shí)別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能被識(shí)別），其示意圖如圖2，攝像頭A的仰角、俯角均為15°，攝像頭高度OA＝160cm，識(shí)別的最遠(yuǎn)水平距離OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，頭部高度為26cm，他站在離攝像頭水平距離130cm的點(diǎn)C處，請(qǐng)問(wèn)小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識(shí)別？（2）身高120cm的小若，頭部高度為15cm，踮起腳尖可以增高3cm，但仍無(wú)法被識(shí)別，社區(qū)及時(shí)將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為20°（如圖3），此時(shí)小若能被識(shí)別嗎？請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明．（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【分析】（1）過(guò)C作OB的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)E，D，交水平線于點(diǎn)F，在Rt△AEF中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到EF＝AF?tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）如圖2，過(guò)B作OB的垂線分別交仰角、俯角線于M．N．交水平線于P，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到MP＝AP?tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN＝MP＝54.0cm，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）過(guò)C作OB的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)E，D，交水平線于點(diǎn)F，在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，∴EF＝AF?tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，∴△ADF≌△AEF（ASA），∴EF＝DF＝35.1cm，∴CE＝160+35.1＝195.1（cm），∴小杜最少需要下蹲208﹣195.1＝12.9厘米才能被識(shí)別；（2）如圖2，過(guò)B作OB的垂線分別交仰角、俯角線于M．N．交水平線于P，在Rt△APM中，tan∠MAP＝，∴MP＝AP?tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，∴△AMP≌△ANP（ASA），∴PN＝MP＝54.0cm，∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm），∴小若踮起腳尖后頭頂?shù)母叨葹?20+3＝123（cm），∴小若頭頂超出點(diǎn)N的高度為：123﹣106.0＝17.0（cm）＞15cm，∴踮起腳尖小若能被識(shí)別．【題型6方向角問(wèn)題】滿分技巧方向角遵循——上北下南，左西右東。因?yàn)檫@類題目常和特殊角結(jié)合，故作輔助線時(shí)，謹(jǐn)記一個(gè)原則：不能破壞已有的特殊角。1．（2023?眉山）一漁船在海上A處測(cè)得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是海里．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H．證得BH＝CH，在Rt△ACH中，解直角三角形求出CH的值即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°，∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH，∴BH＝CH，在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝，∴CH＝（12+CH），解得CH＝6（+1）．答：漁船與燈塔C的最短距離是6（+1）海里．故答案為：6+6．2．（2023?丹東）一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時(shí)，測(cè)得燈塔B在它北偏東31°方向上，繼續(xù)向東航行10nmile到達(dá)C港，此時(shí)測(cè)得燈塔B在它北偏西61°方向上，求輪船在航行過(guò)程中與燈塔B的最短距離．（結(jié)果精確到0.1nmile）（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）．【分析】過(guò)B作BD⊥AC于D，則∠ADC＝∠ADB＝90°，設(shè)BD＝xnmile，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：過(guò)B作BD⊥AC于D，則∠BDC＝∠ADB＝90°，∵∠ABD＝31°，∠CBD＝61°，設(shè)BD＝xnmile，∴AD＝BD?tan31°，CD＝BD?tan61°，∵AC＝10nmile，∴x?tan31°+x?tan61°＝x（0.60+1.80）＝10，∴x＝BD≈4.2nmile，答：輪船在航行過(guò)程中與燈塔B的最短距離約為4.2nmile．3．（2023?重慶）人工海產(chǎn)養(yǎng)殖合作社安排甲、乙兩組人員分別前往海面A，B養(yǎng)殖場(chǎng)捕撈海產(chǎn)品．經(jīng)測(cè)量，A在燈塔C的南偏西60°方向，B在燈塔C的南偏東45°方向，且在A的正東方向，AC＝3600米．（1）求B養(yǎng)殖場(chǎng)與燈塔C的距離（結(jié)果精確到個(gè)位）；（2）甲組完成捕撈后，乙組還未完成捕撈，甲組決定前往B處協(xié)助捕撈，若甲組航行的平均速度為600米每分鐘，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明甲組能否在9分鐘內(nèi)到達(dá)B處？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△ACD中，解直角三角形求出AD，CD．在Rt△BCD中，解直角三角形即可求出BC；（2）求出AD，BD，進(jìn)而求出AB，根據(jù)速度公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝3600米，cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝3600×＝1800（米），CD＝×3600＝1800（米）．在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴∠B＝45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝1800（米），∴BC＝＝1800≈1800×1.414≈2545（米）．答：B養(yǎng)殖場(chǎng)與燈塔C的距離約為2545米；（2）AB＝AD+BD＝1800+1800≈1800×1.732+1800≈4917.6（米），600×9＝5400（米），∵5400米＞4917.6米，∴能在9分鐘內(nèi)到達(dá)B處．重難通關(guān)練（建議用時(shí)：30分鐘）1．（2023?無(wú)錫）cos60°的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解．【解答】解：cos60°＝．故選：B．2．（2023?南充）如圖，小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走x米到達(dá)B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC＝α，則A，C兩處相距（）A．米 B．米 C．x?sinα米 D．x?cosα米【分析】根據(jù)題意可得：BC⊥AB，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長(zhǎng)，即可解答．【解答】解：由題意得：BC⊥AB，在Rt△ABC中，∠CAB＝α，AB＝x米，∴AC＝＝（米），∴A，C兩處相距米，故選：B．3．（2023?十堰）如圖所示，有一天橋高AB為5米，BC是通向天橋的斜坡，∠ACB＝45°，市政部門(mén)啟動(dòng)“陡改緩”工程，決定將斜坡的底端C延伸到D處，使∠D＝30°，則CD的長(zhǎng)度約為（）（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米【分析】由∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，得∠ABC＝∠ACB＝45°，則AC＝AB＝5米，由∠BAD＝90°，∠D＝30°，得∠ABD＝60°，則＝tan60°＝，所以AD＝AB，則CD＝AD﹣AC＝AB﹣AC≈3.66米，于是得到問(wèn)題的答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AC＝AB＝5米，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠D＝30°，∴∠ABD＝60°，∴＝tan∠ABD＝tan60°＝，∴AD＝AB，∴CD＝AD﹣AC＝AB﹣AC≈1.732×5﹣5≈3.66（米），∴CD的長(zhǎng)度約為3.66米，故選：D．4．第二十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是1700多年前中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個(gè)全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中間一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，連接BE．設(shè)∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1：n，tanα＝tan2β，則n＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】設(shè)AE＝a，DE＝b，則BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化簡(jiǎn)可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，結(jié)合勾股定理及正方形的面積公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，進(jìn)而可求解n的值．【解答】解：設(shè)AE＝a，DE＝b，則BF＝a，AF＝b，∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，∴，∴（b﹣a）2＝ab，∴a2+b2＝3ab，∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，∴n＝3．故選：C．5．（2023?淄博）勾股定理的證明方法豐富多樣，其中我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“弦圖”的證明簡(jiǎn)明、直觀，是世界公認(rèn)最巧妙的方法．“趙爽弦圖”已成為我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的一個(gè)重要標(biāo)志，千百年來(lái)倍受人們的喜愛(ài)．小亮在如圖所示的“趙爽弦圖”中，連接EG，DG．若正方形ABCD與EFGH的邊長(zhǎng)之比為：1，則sin∠DGE等于（）A． B． C． D．【分析】由題意得：，解得：，進(jìn)而求解．【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作ND⊥GE交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，由題意知，兩個(gè)正方形之間是4個(gè)相等的三角形，設(shè)△ABG的長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b，大正方形的邊長(zhǎng)為x，小正方形的邊長(zhǎng)為x，即ED＝BG＝HC＝AF＝b，AG＝BH＝CE＝DF＝a，EG＝b，由題意得：，解得：，在△GDE中，EG＝GH＝b，則NE＝ND＝ED＝b＝x，EG＝GH＝（a﹣b）＝x，則tan∠DGE＝＝，則sin∠DGE＝，故選：A．6．（2023?南通）如圖，從航拍無(wú)人機(jī)A看一棟樓頂部B的仰角α為30°，看這棟樓底部C的俯角β為60°，無(wú)人機(jī)與樓的水平距離為120m，則這棟樓的高度為（）A． B． C． D．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，根據(jù)題意可得：AD＝120m，然后分別在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD和CD的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，由題意得：AD＝120m，在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴BD＝AD?tan30°＝120×＝40（m），在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴CD＝AD?tan60°＝120（m），∴BC＝BD+CD＝160（m），∴這棟樓的高度為160m，故選：B．7．（2023?益陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三點(diǎn)A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（）A． B． C． D．【分析】過(guò)C作CD⊥AB交AB延長(zhǎng)線于D，計(jì)算出CD、AC的長(zhǎng)，根據(jù)正弦計(jì)算方法計(jì)算即可．【解答】解：過(guò)C作CD⊥AB交AB延長(zhǎng)線于D，∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），∴D（5，1），∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，∴AC＝5，∴sin∠BAC＝＝，故選：C．8．（2023?自貢）如圖，分別經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A（4，0）的動(dòng)直線a，b夾角∠OBA＝30°，點(diǎn)M是OB中點(diǎn)，連接AM，則sin∠OAM的最大值是（）A． B． C． D．【分析】作△AOB的外接圓⊙T，連接OT，TA，TB，取OT的中點(diǎn)K，連接KM．證明KM＝TB＝2，推出點(diǎn)M在以K為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AM與⊙K相切時(shí)，∠OAM的值最大，此時(shí)sin∠OAM的值最大．【解答】解：如圖，作△AOB的外接圓⊙T，連接OT，TA，TB，取OT的中點(diǎn)K，連接KM．∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA，∴△OAT是等邊三角形，∵A（4，0），∴TO＝TA＝TB＝4，∵OK＝KT，OM＝MB，∴KM＝TB＝2，∴點(diǎn)M在以K為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AM與⊙K相切時(shí)，∠OAM的值最大，此時(shí)sin∠OAM的值最大，∵△OTA是等邊三角形，OK＝KT，∴AK⊥OT，∴AK＝＝＝2，∵AM是切線，KM是半徑，∴AM⊥KM，∴AM＝＝＝2，過(guò)點(diǎn)M作ML⊥OA于點(diǎn)L，KR⊥OA于點(diǎn)R，MP⊥RK于點(diǎn)P．∵∠PML＝∠AMK＝90°，∴∠PMK＝∠LMA，∵∠P＝∠MLA＝90°，∴△MPK∽△MLA，∴＝＝＝＝，設(shè)PK＝x，PM＝y(tǒng)，則有ML＝y(tǒng)，AL＝x，∴y＝+x①，y＝3﹣x，解得，x＝，y＝，∴ML＝y(tǒng)＝，∴sin∠OAM＝＝＝．故選：A．9．（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC＝．【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)正弦的定義計(jì)算，得到答案．【解答】解：如圖，連接AC，由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，則BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案為：．10．如圖，焊接一個(gè)鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約m（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得AD＝BD＝AB，然后在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC，AD的長(zhǎng)，從而求出AB的長(zhǎng)，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB，在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，∴AC＝≈＝5（m），AD＝≈＝4（m），∴CA＝CB＝5m，AB＝2AD＝8（m），∴共需鋼材約＝AC+CB+AB+CD＝5+5+8+3＝21（m），故答案為：21．11．綜合實(shí)踐課上，航模小組用航拍無(wú)人機(jī)進(jìn)行測(cè)高實(shí)踐．如圖，無(wú)人機(jī)從地面CD的中點(diǎn)A處豎直上升30米到達(dá)B處，測(cè)得博雅樓頂部E的俯角為45°，尚美樓頂部F的俯角為30°，已知博雅樓高度CE為15米，則尚美樓高度DF為米．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】過(guò)點(diǎn)E作EM⊥過(guò)點(diǎn)B的水平線于M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥過(guò)點(diǎn)B的水平線于N，先求出EM的長(zhǎng)，在Rt△EBM中求出BM的長(zhǎng)，然后求出BN的長(zhǎng)，在Rt△FBN中求出FN的長(zhǎng)，即可求出DF的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥過(guò)點(diǎn)B的水平線于M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥過(guò)點(diǎn)B的水平線于N，由題意可知CM＝DN＝AB＝30米，又∵CE＝15米，∴EM＝15米，在Rt△EBM中，∠EBM＝45°，∴BM＝EM＝15米，又∵A是CD的中點(diǎn)，∴BN＝AD＝AC＝BM＝15米，在Rt△BFN中，tan∠FBN＝，∵∠FBN＝30°，BN＝15米，∴，∴FN＝米，∴DF＝（30﹣）米．故答案為：（30﹣）．12．為發(fā)展城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某鄉(xiāng)對(duì)A地和B地之間的一處垃圾填埋場(chǎng)進(jìn)行改造，把原來(lái)A地去往B地需要繞行到C地的路線，改造成可以直線通行的公路AB．如圖，經(jīng)勘測(cè)，AC＝6千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，則改造后公路AB的長(zhǎng)是千米（精確到0.1千米；參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△ADC中利用∠CAB的余弦函數(shù)求出AD，利用∠CAB的正弦函數(shù)求出CD，然后再Rt△BCD中利用∠CBA正切函數(shù)求出DB，進(jìn)而可得出答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，如圖：在Rt△ADC中，AC＝6，∠CAB＝60°，，，∴AD＝AC?cos∠CAB＝6cos60°＝3（千米），（千米），在Rt△CDB中，∠CBA＝37°，，，∴（千米），∴（千米）．答：改造后公路AB的長(zhǎng)是9.9千米．故答案為：9.9．13．某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測(cè)量一建筑物的高度，如圖，他們?cè)诮ㄖ锴暗钠降厣线x擇一點(diǎn)A，在點(diǎn)A和建筑物之間選擇一點(diǎn)B，測(cè)得AB＝30m，用高1m（AC＝1m）的測(cè)角儀在A處測(cè)得建筑物頂部E的仰角為30°，在B處測(cè)得仰角為60°，則該建筑物的高是．【分析】延長(zhǎng)CD交EF于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：DB＝AC＝FG＝1m，CG⊥EF，DC＝AB＝30m，∠EDG＝60°，∠ECG＝30°，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得∠DEC＝∠ECD＝30°，從而可得ED＝CD＝30m，最后在Rt△EGD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EG的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：如圖：延長(zhǎng)CD交EF于點(diǎn)G，由題意得：DB＝AC＝FG＝1m，CG⊥EF，DC＝AB＝30m，∠EDG＝60°，∠ECG＝30°，∵∠EDG是△EDC的一個(gè)外角，∴∠DEC＝∠EDG﹣∠ECG＝30°，∴∠DEC＝∠ECD＝30°，∴ED＝CD＝30m，在Rt△EGD中，EG＝ED?sin60°＝30×＝15（m），∴EF＝EG+FG＝（15+1）m，∴該建筑物的高是（15+1）m，故答案為：（15+1）m．14．（2023?泰安）在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)一電視發(fā)射塔的高度進(jìn)行了測(cè)量．如圖，在塔前C處，測(cè)得該塔頂端B的仰角為50°，后退60m（CD＝60m）到D處有一平臺(tái)，在高2m（DE＝2m）的平臺(tái)上的E處，測(cè)得B的仰角為26.6°．則該電視發(fā)射塔的高度AB為m．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5）【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，根據(jù)題意可得：AF＝DE＝2m，EF＝AD，BA⊥DA，然后設(shè)AC＝xm，則EF＝AD＝（x+60）m，在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長(zhǎng)，再在Rt△FBE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BF的長(zhǎng)，從而求出AB的長(zhǎng)，最后列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，由題意得：AF＝DE＝2m，EF＝AD，BA⊥DA，設(shè)AC＝xm，∵CD＝60m，∴EF＝AD＝AC+CD＝（x+60）m，在Rt△ABC中，∠BCA＝50°，∴AB＝AC?tan50°≈1.2x（m），在Rt△FBE中，∠BEF＝26.6°，∴BF＝EF?tan26.6°≈0.5（x+60）m，∴AB＝BF+AF＝[2+0.5（x+60）]m，∴1.2x＝2+0.5（x+60），解得：x＝，∴AB＝1.2x≈55（m），∴該電視發(fā)射塔的高度AB約為55m，故答案為：55．15．（2023?北京）計(jì)算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則、絕對(duì)值的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)計(jì)算．【解答】解：原式＝4×+3+2﹣2＝2+3+2﹣2＝5．16．（2023?內(nèi)蒙古）計(jì)算：|﹣2|+（π﹣2023）0+（﹣）﹣2﹣2cos60°．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．【解答】解：原式＝2﹣2+1+4﹣2×＝2﹣2+1+4﹣1＝2+2．17．（2023?綏化）如圖，直線MN和EF為河的兩岸，且MN∥EF，為了測(cè)量河兩岸之間的距離，某同學(xué)在河岸FE的B點(diǎn)測(cè)得∠CBE＝30°，從B點(diǎn)沿河岸FE的方向走40米到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)得∠CDE＝45°．（1）求河兩岸之間的距離是多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）（2）若從D點(diǎn)繼續(xù)沿DE的方向走（12+12）米到達(dá)P點(diǎn)．求tan∠CPE的值．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得出CH﹣CH＝40，進(jìn)而求出答案；（2）求出HP，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥EF于點(diǎn)H，在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝，∴HB＝CH，在Rt△CHD中，∠CDH＝45°，∴CH＝DH，又∵BH﹣DH＝BD＝40，∴CH﹣CH＝40，解得CH＝20+20，即河兩岸之間的距離是（20+20）米；（2）在Rt△CHP中，HP＝HD＝PD＝20+20﹣（12+12）＝8+8，∴tan∠CPE＝＝＝＝．18．（2023?紹興）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱OA垂直地面OB，支架CD與OA交于點(diǎn)A，支架CG⊥CD交OA于點(diǎn)G，支架DE平行地面OB，籃筐EF與支架DE在同一直線上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．（1）求∠GAC的度數(shù)；（2）某運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在凳子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面3米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠ACG＝90°，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）延長(zhǎng)OA，ED交于點(diǎn)M，根據(jù)垂直定義可得∠AOB＝90°，從而利用平行線的性質(zhì)可得∠DMA＝∠AOB＝90°，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠DAM＝∠GAC＝58°，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠ADM＝32°，然后在Rt△ADM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AM的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系求出MO的長(zhǎng)，比較即可解答．【解答】解：（1）∵CG⊥CD，∴∠ACG＝90°，∵∠AGC＝32°，∴∠GAC＝90°﹣∠AGC＝90°﹣32°＝58°，∴∠GAC的度數(shù)為58°；（2）該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)，理由如下：延長(zhǎng)OA，ED交于點(diǎn)M，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵DE∥OB，∴∠DMA＝∠AOB＝90°，∵∠GAC＝58°，∴∠DAM＝∠GAC＝58°，∴∠ADM＝90°﹣∠DAM＝32°，在Rt△ADM中，AD＝0.8米，∴AM＝AD?sin32°≈0.8×0.53＝0.42（米），∴OM＝OA+AM＝2.5+0.424＝2.924（米），∵2.924米＜3米，∴該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)．19．（2023?甘孜州）“科技改變生活”，小王是一名攝影愛(ài)好者，新入手一臺(tái)無(wú)人機(jī)用于航拍．在一次航拍時(shí)，數(shù)據(jù)顯示，從無(wú)人機(jī)A看建筑物頂部B的仰角為45°，看底部C的俯角為60°，無(wú)人機(jī)A到該建筑物BC的水平距離AD為10米，求該建筑物BC的高度．（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：，）【分析】先說(shuō)明三角形ABD是等腰直角三角形，用等腰三角形的性質(zhì)求出BD，再在Rt△ACD中用直角三角形的邊角間關(guān)系求出CD，最后利用線段的和差關(guān)系求出建筑物的高度．【解答】解：由題意知，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，AD⊥BC．∵AD⊥BC，∴∠BDA＝∠ADC＝90°．∴∠BAD＝∠ABD＝45°．∴BD＝AD＝10（米）．在Rt△ACD中，CD＝AD?tan∠CAD＝AD?tan60°＝10（米）．∴（米）．答：該建筑物BC的高度約為27.3米．20．（2023?蘇州）四邊形不具有穩(wěn)定性，工程上可利用這一性質(zhì)解決問(wèn)題．如圖是某籃球架的側(cè)面示意圖，BE，CD，GF為長(zhǎng)度固定的支架，支架在A，D，G處與立柱AH連接（AH垂直于MN，垂足為H），在B，C處與籃板連接（BC所在直線垂直于MN），EF是可以調(diào)節(jié)長(zhǎng)度的伸縮臂（旋轉(zhuǎn)點(diǎn)F處的螺栓改變EF的長(zhǎng)度，使得支架BE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，從而改變四邊形ABCD的形狀，以此調(diào)節(jié)籃板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，測(cè)得∠GAE＝60°時(shí)，點(diǎn)C離地面的高度為288cm．調(diào)節(jié)伸縮臂EF，將∠GAE由60°調(diào)節(jié)為54°，判斷點(diǎn)C離地面的高度升高還是降低了？升高（或降低）了多少？（參考數(shù)據(jù)：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）【分析】當(dāng)∠GAE＝60°時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥HA，交HA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，根據(jù)已知易得BC∥AH，從而可得四邊形ABCD是平行四邊形，進(jìn)而可得AB∥CD，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠ADC＝∠GAE＝60°，再根據(jù)已知可得DK＝80cm，最后在Rt△CDK中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)；當(dāng)∠GAE＝54°，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥HA，交HA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，在Rt△CDQ中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DQ的長(zhǎng)，然后進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：點(diǎn)C離地面的高度升高了，理由：如圖，當(dāng)∠GAE＝60°時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥HA，交HA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，∵BC⊥MN，AH⊥MN，∴BC∥AH，∵AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ADC＝∠GAE＝60°，∵點(diǎn)C離地面的高度為288cm，DH＝208cm，∴DK＝288﹣208＝80（cm），在Rt△CDK中，CD＝＝＝160（cm），如圖，當(dāng)∠GAE＝54°，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥HA，交HA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，在Rt△CDQ中，CD＝160cm，∴DQ＝CD?cos54°≈160×0.6＝96（cm），∴96﹣80＝16（cm），∴點(diǎn)C離地面的高度升高約16cm．培優(yōu)爭(zhēng)分練（建議用時(shí)：30分鐘）1．（2024?秦都區(qū)校級(jí)一模）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，則cosA的值等于（）A． B． C．或 D．或【分析】因?yàn)樵}沒(méi)有說(shuō)明哪個(gè)角是直角，所以要分情況討論：①AB為斜邊，②AC為斜邊，根據(jù)勾股定理求得AB的值，然后根據(jù)余弦的定義即可求解．【解答】解：當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：①當(dāng)AB為斜邊，∠C＝90°，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10．∴cosA＝＝＝；②當(dāng)AC為斜邊，∠B＝90°，由勾股定理得：AB＝＝＝2，∴cosA＝＝；綜上所述，cosA的值等于或．故選：C．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度數(shù)是（）A．15° B．45° C．30° D．60°【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，求出tanB的值，再根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tanB＝＝＝，∴∠B＝60°，故選：D．3．（2024?界首市校級(jí)一模）如圖，滑雪場(chǎng)有一坡角為18°的滑雪道，滑雪道AC長(zhǎng)為150米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長(zhǎng)為（）A．150tan18°米 B．150sin18°米C．米 D．米【分析】根據(jù)正弦的定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵sinC＝，∴AB＝AC?sinC＝150sin18°米，答：滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長(zhǎng)為150sin18°米，故選：B．4．（2024?道里區(qū)模擬）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹(shù)CD的高度，在點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為45°，在點(diǎn)B處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為60°，且A、B、D三點(diǎn)在同一直線上，若AB＝（8+8）米，則這棵樹(shù)CD的高度是（）A．米 B．米 C．米 D．米【分析】根據(jù)題意可得：CD⊥AB，設(shè)BD＝x米，然后在Rt△BDC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，然后根據(jù)AD+BD＝AB，列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：CD⊥AB，設(shè)BD＝x米，在Rt△BDC中，∠CBD＝60°，∴CD＝BD?tan60°＝x（米），在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，tan∠DAC＝1，∴AD＝＝（米），∵BD+AD＝AB，∴x+x＝8+8，解得x＝8，∴CD＝x＝8（米），∴這棵樹(shù)CD的高度約為8米．故選：B．5．如圖，在Rt△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，若AD＝CD，AB＝BD，則tan∠C的值為（）A． B．2 C． D．【分析】根據(jù)正切的定義表示出tan∠C，再結(jié)合題中所給線段之間的關(guān)系即可解決問(wèn)題．【解答】解：由題知，因?yàn)锳D＝，所以設(shè)CD＝k，則AD＝．又因?yàn)锳B＝BD，且∠B＝90°，所以AB＝BD＝k，則BC＝k+k＝2k．在Rt△ABC中，tan∠C＝．故選：D．6．（2024?平城區(qū)一模）如圖是橢圓機(jī)在使用過(guò)程中某時(shí)刻的側(cè)面示意圖，已知手柄AD⊥滾輪連桿AB，且AD＝20cm，AB＝160cm，連桿AB與底座BC的夾角為60°，則該橢圓機(jī)的機(jī)身高度（點(diǎn)D到地面的距離）為（）A． B．C． D．【分析】點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得DF＝2AD＝40cm，再由勾股定理得AF＝20cm，則BF＝（160﹣20）cm，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得BE＝（80﹣10）cm，則EF＝BE＝（80﹣30）cm，進(jìn)而求出DE的長(zhǎng)即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，則∠BEF＝90°，由題意可知，∠ABC＝60°，∴∠BFE＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝BF，∵AD⊥AB，∴∠A＝90°，∵∠AFD＝∠BFE＝30°，AD＝20cm，∴DF＝2AD＝40cm，∴AF＝＝＝20（cm），∵AB＝160cm，∴BF＝AB﹣AF＝（160﹣20）cm，∴BE＝×（160﹣20）＝（80﹣10）（cm），∴EF＝BE＝（80﹣30）cm，∴DE＝EF+DF＝80﹣30+40＝（80+10）（cm），即該橢圓機(jī)的機(jī)身高度（點(diǎn)D到地面的距離）為（80+10）cm，故選：D．7．如圖，O為蹺蹺板AB的中點(diǎn)，支柱OC與地面MN垂直，垂足為點(diǎn)C，當(dāng)蹺蹺板的一端B著地時(shí)，蹺蹺板AB與地面MN的夾角為20°，測(cè)得AB＝1.6m，則OC的長(zhǎng)為（）A． B． C．0.8sin20° D．0.8cos20°【分析】根據(jù)正弦的定義計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵O為蹺蹺板AB的中點(diǎn)，AB＝1.6m，∴OB＝0.8m，在Rt△OCB中，sinB＝，則OC＝OB?sinB＝0.8sin20°，故選：C．8．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，則∠C的度數(shù)是．【分析】先利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，即sinA＝，cosB＝，則根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到∠A、∠B的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠C的度數(shù)．【解答】解：∵|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，∴sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，即sinA＝，cosB＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案為：105°．9．（2024?平城區(qū)一模）數(shù)學(xué)實(shí)踐小組要測(cè)量某路段上一處無(wú)標(biāo)識(shí)的車輛限高桿MN的高度AB，如圖，他們先用測(cè)傾器在C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角∠AEG＝30°，然后在距離C處2米的D處測(cè)得點(diǎn)A的仰角∠AFG＝45°，已知測(cè)傾器的高度為1.6米，C、D、B在一條直線上，則車輛限高桿AB的高度為米．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】延長(zhǎng)EF，交AB于點(diǎn)H，設(shè)HF＝x米，在Rt△AHF中，可得AH＝HF＝x米，在Rt△AHE中，tan30°＝，求出x的值，進(jìn)而可得出答案．【解答】解：延長(zhǎng)EF，交AB于點(diǎn)H，由題意得，HB＝DF＝CE＝1.6米，CD＝FE＝2米，設(shè)HF＝x米，則EH＝HF+FE＝（x+2）米，在Rt△AHF中，∠AFH＝45°，∴AH＝HF＝x米，在Rt△