2024秋高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計(jì)案例章末復(fù)習(xí)課達(dá)標(biāo)練習(xí)含解析新人教A版選修2-3

PAGE1-章末復(fù)習(xí)課[整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建][警示·易錯(cuò)提示]1．線性回來方程中的系數(shù)及相關(guān)指數(shù)R2，獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量K2公式困難，莫記混用錯(cuò)．2．相關(guān)系數(shù)r是推斷兩隨機(jī)變量相關(guān)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)量，相關(guān)指數(shù)R2是推斷線性回來模型擬合效果好壞的統(tǒng)計(jì)量，而K2是推斷兩分類變量相關(guān)程度的量，應(yīng)留意區(qū)分．3．在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，當(dāng)K2≥6.635時(shí)，我們有99.9%的把握認(rèn)為兩分類變量有關(guān)，是指“兩分類變量有關(guān)”這一結(jié)論的可信度為99%而不是兩分類變量有關(guān)系的概率為99%.專題一回來分析思想的應(yīng)用回來分析是對抽取的樣本進(jìn)行分析，確定兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系，并用一個(gè)變量的改變?nèi)ネ葡肓硪粋€(gè)變量的改變．假如兩個(gè)變量非線性相關(guān)，我們可以通過對變量進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)問題．[例1]下圖是我國2008年至2024年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2008—2025.(1)由折線圖看出，可用線性回來模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回來方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)料2024年我國生活垃圾無害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：eq\a\vs4\al(∑\o(,\s\up6(7),\s\do4(i＝1)))yi＝9.32，eq\a\vs4\al(∑\o(,\s\up6(7),\s\do4(i＝1)))tiyi＝40.17，eq\r(\a\vs4\al(∑\o(,\s\up6(7),\s\do4(i＝1)))（yi－y）2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\a\vs4\al(∑\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1)))（ti－t）（yi－y）,\r(\a\vs4\al(∑\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1)))（ti－t）2\a\vs4\al(∑\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1)))（yi－y）2))，回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\a\vs4\al(∑\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1)))（ti－t）（yi－y）,\a\vs4\al(∑\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1)))（ti－t）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝y(tǒng)－eq\o(b,\s\up6(^))t.解：(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得t＝4，eq\a\vs4\al(∑\o(,\s\up6(7),\s\do4(i＝1)))(ti－t)2＝28,eq\r(\a\vs4\al(∑\o(,\s\up6(7),\s\do4(i＝1)))（yi－y）2)＝0.55，eq\a\vs4\al(∑\o(,\s\up6(7),\s\do4(i＝1)))(ti－t)(yi－y)＝eq\a\vs4\al(∑\o(,\s\up6(7),\s\do4(i＝1)))tiyi－teq\a\vs4\al(∑\o(,\s\up6(7),\s\do4(i＝1)))yi＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈eq\f(2.89,0.55×2×2.646)≈0.99.因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回來模型擬合y與t的關(guān)系．(2)由y＝eq\f(9.32,7)≈1.331及(1)得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\a\vs4\al(∑\o(,\s\up6(7),\s\do4(i＝1)))（ti－t）（yi－y）,\a\vs4\al(∑\o(,\s\up6(7),\s\do4(i＝1)))（ti－t）2)＝eq\f(2.89,28)≈0.10，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))t＝1.331－0.10×4≈0.93.所以y關(guān)于t的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.93＋0.10t.將2024年對應(yīng)的t＝11代入回來方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.93＋0.10×11＝2.03.所以預(yù)料2024年我國生活垃圾無害化處理量約為2.03億噸．歸納升華解決回來分析問題的一般步驟1．畫散點(diǎn)圖．依據(jù)已知數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖．2．推斷變量的相關(guān)性并求回來方程．通過視察散點(diǎn)圖，直觀感知兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系．在此基礎(chǔ)上，利用最小二乘法求回來系數(shù)，然后寫出回來方程．3．實(shí)際應(yīng)用．依據(jù)求得的回來方程解決問題．[變式訓(xùn)練]某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回來分析的方法預(yù)料該數(shù)學(xué)老師孫子的身高為________cm.解析：兒子和父親的身高可列表如下：父親身高(x)173170176兒子身高(y)170176182設(shè)回來直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，由表中的三組數(shù)據(jù)可求得eq\o(b,\s\up6(^))＝1，故eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝176－173＝3，故回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3＋x，將x＝182代入得孫子的身高為185cm.答案：185專題二獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)是對兩個(gè)分類變量間是否存在相關(guān)關(guān)系的一種案例分析方法．常用等高條形圖來直觀反映兩個(gè)分類變量之間差異的大小；利用假設(shè)檢驗(yàn)求隨機(jī)變量K2的值能更精確地推斷兩個(gè)分類變量間的相關(guān)關(guān)系．[例2]電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視狀況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，下面是依據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖，將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．(1)依據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料推斷是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)．性別非體育迷體育迷總計(jì)男女1055總計(jì)(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采納隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X)．解：(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中“體育迷”有(0.020＋0.005)×10×100＝25(人)．由獨(dú)立性檢驗(yàn)的學(xué)問得2×2列聯(lián)表如下：性別非體育迷體育迷總計(jì)男301545女451055總計(jì)7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得K2的觀測值＝eq\f(100×（30×10－45×15）2,75×25×45×55)＝eq\f(100,33)≈3.030>2.706.所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)．(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為(0.020＋0.005)×10＝0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為eq\f(1,4).由題意知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，從而X的分布列為：X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)由二項(xiàng)分布的期望與方差公式得E(X)＝np＝3×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，D(X)＝np(1－p)＝3×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16).歸納升華獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的求解方法1．等高條形圖法：依據(jù)題目信息畫出等高條形圖，依據(jù)頻率差異來粗略地推斷兩個(gè)變量的相關(guān)性．2．K2統(tǒng)計(jì)量法：通過公式K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，先計(jì)算觀測值k，再與臨界值表進(jìn)行比較，最終得出結(jié)論．[變式訓(xùn)練]學(xué)生會(huì)為了調(diào)查學(xué)生對2024年俄羅斯世界杯的關(guān)注是否與性別有關(guān)，抽樣調(diào)查100人，得到如下數(shù)據(jù)：分類不關(guān)注關(guān)注總計(jì)男生301545女生451055總計(jì)7525100依據(jù)表中數(shù)據(jù)，通過計(jì)算統(tǒng)計(jì)量K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)并參考以下臨界數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828若由此認(rèn)為“學(xué)生對2024年俄羅斯世界杯的關(guān)注與性別有關(guān)”，則此結(jié)論出錯(cuò)的概率不超過________．解析：由題意可得K2＝eq\f(100×（30×10－15×45）2,75×25×45×55)≈3.030>2.706，所以P(K2≥2.706)＝0.10，由此認(rèn)為“學(xué)生對2024年俄羅斯世界杯的關(guān)注與性別有關(guān)”，則此結(jié)論出錯(cuò)的概率不超過0.10.答案：0.10專題三數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用主要是將收集到的數(shù)據(jù)利用圖表的形式表示出來，直觀地反映變量間的關(guān)系．[例3]為了解鉛中毒病人是否有尿棕色素增加現(xiàn)象，分別對病人組和比照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下，問鉛中毒病人和比照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別？組別陽性數(shù)陰性數(shù)總計(jì)鉛中毒病人29736比照組92837總計(jì)383573解：由上述列聯(lián)表可知，在鉛中毒病人中尿棕色素為陽性的占80.56%，而比照組僅占24.32%.說明他們之間有較大差別．依據(jù)列聯(lián)表作出等高條形圖由圖可知，鉛中毒病人中與比照組相比較，尿棕色素為陽性差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽性存在關(guān)聯(lián)關(guān)系．歸納升華收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)問處理問題的兩個(gè)基本步驟，將收集到的數(shù)據(jù)利用圖表的形式整理出來，