2024秋高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版選修2-1

PAGE8-第三章3.13.1.13.1.2請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)完成練案[20]A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．空間隨意四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，則eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于(D)A．eq\o(DB,\s\up6(→)) B．eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(BA,\s\up6(→))[解析]解法一：eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).解法二：eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).2．已知空間向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))，則下列結(jié)論正確的是(B)A．eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)) D．eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))[解析]依據(jù)向量加減法運(yùn)算可得B正確．3．(2024－2024學(xué)年北京市房山區(qū)期末檢測(cè))在空間若把平行于同一平面且長(zhǎng)度相等的全部非零向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是(B)A．一個(gè)球 B．一個(gè)圓C．半圓 D．一個(gè)點(diǎn)[解析]平行于同一平面的全部非零向量是共面對(duì)量，把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)在同一平面內(nèi)，又這些向量的長(zhǎng)度相等，則終點(diǎn)到起點(diǎn)的距離為定值．故在空間把平行于同一平面且長(zhǎng)度相等的全部非零向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是一個(gè)圓．4．如圖所示，已知A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)，P為平面ABC內(nèi)肯定點(diǎn)，O為平面ABC外任一點(diǎn)，則下列能表示向量eq\o(OP,\s\up6(→))的為(C)A．eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→))[解析]依據(jù)A、B、C、P四點(diǎn)共面的條件可知eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).由圖知x＝3，y＝－2，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))，故選C．5．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA1,\s\up6(→))＋y(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，則(D)A．x＝1，y＝eq\f(1,2) B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3) D．x＝1，y＝eq\f(1,4)[解析]eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．所以x＝1，y＝eq\f(1,4).6．(2024·福建泉州市一般中學(xué)質(zhì)量檢測(cè))如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，N是A1B的中點(diǎn)，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，則eq\o(CN,\s\up6(→))＝(B)A．eq\f(1,2)(a＋b－c) B．eq\f(1,2)(a＋b＋c)C．a(chǎn)＋b＋eq\f(1,2)c D．a(chǎn)＋eq\f(1,2)(b＋c)[解析]本小題主要考查解空間向量的運(yùn)算，若AB中點(diǎn)為D，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，故選B．二、填空題7．化簡(jiǎn)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝__0__.[解析]解法一：(利用相反向量的關(guān)系轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.解法二：(利用向量的減法運(yùn)算法則求解)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝0.8．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，若eq\o(AC1,\s\up6(→))＝x·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2y·eq\o(BC,\s\up6(→))＋3z·eq\o(C1C,\s\up6(→))，則x＋y＋z＝__eq\f(7,6)__.[解析]如圖所示，有eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋(－1)·eq\o(C1C,\s\up6(→)).又∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝x·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2y·eq\o(BC,\s\up6(→))＋3z·eq\o(C1C,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,2y＝1,3z＝－1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝\f(1,2),z＝－\f(1,3))).∴x＋y＋z＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,6).三、解答題9．如圖所示，在四棱柱ABCD—A′B′C′D′中，底面ABCD為矩形，化簡(jiǎn)下列各式．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))－eq\o(D′A′,\s\up6(→))＋eq\o(D′D,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC′,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→)).[解析](1)原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)原式＝eq\o(CC′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).10．已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′，點(diǎn)E在AC′上，且AE：EC′＝1：2，點(diǎn)F、G分別是B′D′和BD′的中點(diǎn)，求下列各式中的x、y、z的值．(1)eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA′,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AD,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(GF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→)).[解析](1)∵AE：EC′＝1：2，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3).(2)∵F為B′D′的中點(diǎn)，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2).(3)∵G、F分別為BD′、B′D′的中點(diǎn)，∴eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB′,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝0，z＝0.B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a、eq\o(BC,\s\up6(→))＝b、eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則|a＋b＋c|等于(D)A．0 B．3C．2＋eq\r(2) D．2eq\r(2)[解析]利用向量加法的平行四邊形法則結(jié)合正方形性質(zhì)求解，|a＋b＋c|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).2．如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，則eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝(A)A．eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c B．a(chǎn)＋eq\f(1,2)cC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c[解析]eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c，故選A．3．(多選題)下列命題中假命題的是(ABD)A．將空間中全部的單位向量移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓B．若空間向量a、b滿(mǎn)意|a|＝|b|，則a＝bC．若空間向量m、n、p滿(mǎn)意m＝n，n＝p，則m＝pD．空間中隨意兩個(gè)單位向量必相等[解析]A．假命題．將空間中全部的單位向量移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)時(shí)，它們的終點(diǎn)將構(gòu)成一個(gè)球面，而不是一個(gè)圓．B．假命題．依據(jù)向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但B中向量a與b的方向不肯定相同．C．真命題．向量的相等滿(mǎn)意遞推規(guī)律．D．假命題．空間中隨意兩個(gè)單位向量模長(zhǎng)均為1，但方向不肯定相同，所以不肯定相等，故④錯(cuò)．4．(多選題)設(shè){a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則下列說(shuō)法正確的是(BCD)A．若a⊥b，b⊥c，則a⊥cB．a(chǎn)，b，c兩兩共面，但a，b，c不行能共面C．對(duì)空間任一向量p，總存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zcD．{a＋b，b＋c，c＋a}肯定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底[解析]對(duì)于A選項(xiàng)，b與a，c都垂直，a，c夾角不肯定是eq\f(π,2)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于B選項(xiàng)，依據(jù)基底的概念可知a，b，c兩兩共面，但a，b，c不行能共面，B選項(xiàng)正確．對(duì)于C選項(xiàng)，依據(jù)空間向量的基本定理可知，C選項(xiàng)正確．對(duì)于D選項(xiàng)，由于a，b，c是空間一個(gè)基底，所以a，b，c不共面．假設(shè)a＋b，b＋c，c＋a共面，設(shè)a＋b＝x(b＋c)＋y·(c＋a)，化簡(jiǎn)得(x＋y)c＝(1－y)a＋(1－x)b，所以a，b，c共面，這與已知沖突，所以a＋b，b＋c，c＋a不共面，可以作為基底．所以D選項(xiàng)正確．故選BCD．二、填空題5．已知平行六面體ABCD—A′B′C′D′，則下列四式中：①eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；②eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))；③eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(CC′,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(C′C,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).正確的是__①②③④__.[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，①正確；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))，②正確；③明顯正確；∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))，eq\o(AC′,\s\up6(→))＋eq\o(C′C,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴④正確．6．如圖所示，已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點(diǎn)，且PM：MC＝2：1，N為PD中點(diǎn)，則滿(mǎn)意eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的實(shí)數(shù)x＝__－eq\f(2,3)__，y＝__－eq\f(1,6)__，z＝__eq\f(1,6)__.[解析]在PD上取一點(diǎn)F，使PF：FD＝2：1，連接MF，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))，∵eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\o(DN,\s\up6(→))－eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DP,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，eq\o(MF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，∴x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).三、解答題7．已知三個(gè)向量a、b、c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，向量p、[解析]假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ、μ，使p＝λq＋μr，則a＋b－c＝(2λ－7μ)a＋(－3λ＋18μ)b＋(－5λ＋22μ)c，∵a，b，c不共面，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ－7μ＝1,－3λ＋18μ＝1,－5λ＋22μ＝－1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(5,3),μ＝\f(1,3))).即存在實(shí)數(shù)λ＝eq\f(5,3)，μ＝eq\f(1,3)，使p＝λq＋μr，故p、q、r共面．8．如圖所