2025年上海閔行區(qū)高三一模高考數(shù)學(xué)模擬試卷（含答案詳解）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．本場(chǎng)考試時(shí)間120分鐘，試卷共4頁(yè)，滿分150分，答題紙共2頁(yè)．2．作答前，考生在答題紙正面填寫學(xué)校、姓名、考生號(hào)，粘貼考生本人條形碼．3．所有作答務(wù)必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號(hào)對(duì)應(yīng)的區(qū)域，不得錯(cuò)位．在草稿紙、試卷上作答一律不得分．4．用2B鉛筆作答選擇題，用黑色筆跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1．設(shè)集合，，則．2．不等式的解集為．3．直線的傾斜角為．4．已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為．5．已知圓錐的高為8，底面半徑為6，則該圓錐的側(cè)面積為．6．的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為．7．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則.8．從10名數(shù)學(xué)老師中選出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老師甲必須參加且不安排在假期第一天值班，則不同的值班安排方法種數(shù)為．9．已知（i為虛數(shù)單位，為正整數(shù)），當(dāng)、取遍所有正整數(shù)時(shí)，的值中不同虛數(shù)的個(gè)數(shù)為．10．已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)．若，則．11．如圖，某小區(qū)內(nèi)有一塊矩形區(qū)域，其中米，米，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，左右兩個(gè)扇形區(qū)域?yàn)榛▔▋蓚€(gè)扇形的圓心分別為、，半徑均為20米），其余區(qū)域?yàn)椴萜海F(xiàn)規(guī)劃在草坪上修建一個(gè)三角形的兒童游樂(lè)區(qū)，且三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在線段上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在線段上，則該游樂(lè)區(qū)面積的最大值為平方米．（結(jié)果保留整數(shù)）12．已知，若存在、，且，使得成立，則的取值范圍是．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13．在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的（

）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件14．下列函數(shù)中，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)的為（

）A． B． C． D．15．設(shè)，若、為同一象限的角，且不存在、，使得，則、所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限16．已知數(shù)列滿足，其中為常數(shù)．對(duì)于下述兩個(gè)命題：①對(duì)于任意的，任意的，都有是嚴(yán)格增數(shù)列；②對(duì)于任意的，存在，使得是嚴(yán)格減數(shù)列．以下說(shuō)法正確的為（

）A．①真命題；②假命題 B．①假命題；②真命題C．①真命題；②真命題 D．①假命題；②假命題三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．17．在直三棱柱中，，，，連接，、分別為和的中點(diǎn)．(1)證明：直線平面；(2)求二面角的大小．18．已知(1)若，求函數(shù)的值域；(2)若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．為了解某市高三學(xué)生的睡眠時(shí)長(zhǎng)，從該市6.6萬(wàn)名高三學(xué)生中隨機(jī)抽取600人，統(tǒng)計(jì)他們的日均睡眠時(shí)長(zhǎng)及分布人數(shù)如下表所示：睡眠時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）人數(shù)150270180注：睡眠時(shí)長(zhǎng)在的為睡眠充足，在的為睡眠良好，在的為睡眠不足．(1)估計(jì)該市6.6萬(wàn)名高三學(xué)生中日均睡眠時(shí)長(zhǎng)大于等于6小時(shí)的人數(shù)約為多少？(2)估計(jì)該市高三學(xué)生日均睡眠時(shí)長(zhǎng)；(3)若從這600名學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再?gòu)倪@20人中隨機(jī)抽取4人做進(jìn)一步訪談?wù){(diào)查，求這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學(xué)生的概率．20．已知圓，雙曲線，直線，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求雙曲線的離心率；(2)若與圓相切，證明：與雙曲線的左右兩支各有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)設(shè)與軸交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)、，與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)、，四個(gè)點(diǎn)從左至右依次為、、、．當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．21．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，集合．若中有且僅有一個(gè)元素，則稱為函數(shù)的一個(gè)“值”(1)設(shè)，求的值；(2)設(shè)，且，若的函數(shù)值中不存在值，求實(shí)數(shù)取值的集合；(3)已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象是一條連續(xù)曲線，且函數(shù)的所有函數(shù)值均為值，若，證明：在上為嚴(yán)格增函數(shù)的一個(gè)充要條件是．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．##【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為：2．【分析】將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解得即可.【詳解】不等式等價(jià)于，解得，所以不等式的解集為.故答案為：3．【分析】把直線方程化為斜截式，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出．【詳解】設(shè)直線的傾斜角為．由直線化為，故，又，故，故答案為．【點(diǎn)睛】一般地，如果直線方程的一般式為，那么直線的斜率為，且，其中為直線的傾斜角，注意它的范圍是．4．2【分析】利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】正實(shí)數(shù)、滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2.故答案為：25．【分析】根據(jù)勾股定理求出母線長(zhǎng)，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解即可.【詳解】因?yàn)閳A錐的高為8，底面半徑為，所以圓錐的母線長(zhǎng)為，則圓錐的側(cè)面積.故答案為：.6．28【分析】利用二項(xiàng)式定理求出含的項(xiàng)，進(jìn)而求出其系數(shù).【詳解】在的二項(xiàng)展開式中，含的項(xiàng)為，所以項(xiàng)的系數(shù)為28.故答案為：287．【分析】首先求出當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以.故答案為：8．144【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理及排列應(yīng)用問(wèn)題列式計(jì)算得解.【詳解】依題意，安排老師甲有種，從除甲外的9名老師中任選2人并安排值班有種，所以不同的值班安排方法種數(shù)為（種）.故答案為：1449．6【分析】由的整數(shù)次冪的周期性求出的取值集合，進(jìn)而列舉出所有結(jié)果即可得解.【詳解】依題意，，，則，因此，，所以的值中不同虛數(shù)有：，共6個(gè).故答案為：610．【分析】首先求出、，設(shè)Ax0,y0，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及，求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的方程，再聯(lián)立直線與橢圓方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，最后由數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】橢圓，則、，設(shè)Ax0,y0即，又，解得，不妨取，則的方程為，由，解得或，所以，所以，，所以.故答案為：.11．137【分析】根據(jù)已知條件知，當(dāng)三角形的兩邊分別與圓弧相切時(shí)，三角形的面積最大，設(shè)切點(diǎn)為，，由三角形全等得到，將三角形面積的表達(dá)式用表示，從而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用換元法轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值即可求解.【詳解】設(shè)游樂(lè)區(qū)所在的三角形為，在線段上，在線段上，如圖所示，當(dāng)分別于圓弧相切時(shí)，取得最大值，由對(duì)稱性，只討論，設(shè)與圓弧相切于點(diǎn)，連接，設(shè)，因?yàn)椤眨?，則，，因?yàn)?，所以，，，，所以，因?yàn)?，所以，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以平方米，即該游樂(lè)區(qū)面積的最大值為137平方米．故答案為：137.12．【分析】根據(jù)的值域得到，則成立的必要條件是，當(dāng)時(shí)必然成立，討論時(shí)是否滿足條件即可.【詳解】因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，所以，即，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，所以，必要條件：，解得；若，即時(shí)，必然成立；若，因?yàn)?，，不妨設(shè)，則，，且，所以，，所以①，②，①②兩式聯(lián)立得，即，所以，又，所以，，當(dāng)時(shí)，，不符合條件；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，則或，此時(shí)或，因?yàn)?，所以；綜上，或，所以的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)之一在于根據(jù)的值域得到，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為；關(guān)鍵點(diǎn)之二在于討論時(shí)是否滿足條件.13．A【分析】利用異面直線的定義及充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】直線a、b為異面直線，則直線a、b不相交，反之，直線a、b不相交，直線a、b可能平行，也可能是異面直線，所以在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的充分非必要條件.故選：A14．B【分析】利用解析式直接判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在上的單調(diào)性即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，A不是；對(duì)于B，函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，B是；對(duì)于C，函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，C不是；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，在上是嚴(yán)格增函數(shù)，D不是.故選：B.15．D【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合同角公式，逐項(xiàng)分析確定的取值的正負(fù)情況即可判斷得解.【詳解】對(duì)于A，若，，由，解得，顯然，令方程的根為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，取，則，A不是；對(duì)于B，當(dāng)為第二象限時(shí)，，，取，，則，B不是；對(duì)于C，當(dāng)為第三象限時(shí)，，取，，，C不是；對(duì)于D，當(dāng)為第四象限時(shí)，，，則，當(dāng)為第四象限時(shí)，，D正確.故選：D16．A【分析】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，然后作差證明數(shù)列的單調(diào)性；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)無(wú)論為何值，最終恒為常數(shù).【詳解】對(duì)于①，時(shí)，，，時(shí)，；時(shí)，，也有，故①為真命題.對(duì)于②，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，不嚴(yán)格遞減；當(dāng)時(shí)，，，不嚴(yán)格遞減；當(dāng)時(shí)，，若，則，同理當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，則，，不嚴(yán)格遞減.綜上所述，時(shí)，不可能是嚴(yán)格遞減數(shù)列.故②為假命題.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題對(duì)①的分析得關(guān)鍵是對(duì)分類討論，分和研究即可.17．(1)證明見解析；(2)【分析】（1）連接，易得，再利用線面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量m=x,y,z，易知平面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，由求解.【詳解】（1）證明：如圖所示：連接，因?yàn)?、分別為和的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以直線平面；（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=x,y,z則，即，令，得，則，易知平面ABC的一個(gè)法向量為：，設(shè)二面角的大小為，則，二面角的大小為.18．(1)；(2).【分析】（1）把代入，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性分段求出求出值域即可得解.（2）由給定條件，可得，再代入化簡(jiǎn)并結(jié)合輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)的值域是.（2）當(dāng)時(shí)，，由，得，則，整理得，而，，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.19．(1)4.95（萬(wàn)人）(2)（小時(shí)）(3)【分析】（1）由樣本中日均睡眠時(shí)長(zhǎng)大于等于6小時(shí)的頻率估計(jì)總體即可；（2）用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)即可；（3）由古典概型結(jié)合組合數(shù)公式即可求解.【詳解】（1）由題知，隨機(jī)抽取的600人中日均睡眠時(shí)長(zhǎng)大于等于6小時(shí)的人數(shù)為（人），所以估計(jì)該市6.6萬(wàn)名高三學(xué)生中日均睡眠時(shí)長(zhǎng)大于等于6小時(shí)的人數(shù)約為（萬(wàn)人）；（2）隨機(jī)抽取的600人的日均睡眠時(shí)長(zhǎng)為（小時(shí)），所以估計(jì)該市高三學(xué)生日均睡眠時(shí)長(zhǎng)約為（小時(shí)）；（3）從這600名學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取20人，抽樣比例為，所以睡眠時(shí)長(zhǎng)在抽取（人），睡眠時(shí)長(zhǎng)在抽?。ㄈ耍?，睡眠時(shí)長(zhǎng)在抽?。ㄈ耍?，則從這20人中隨機(jī)抽取4人，這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學(xué)生的概率為.20．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)離心率公式即可；（2）聯(lián)立雙曲線和直線方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可證明；（3）聯(lián)立圓和直線方程，得到韋達(dá)定理式和判別式，再聯(lián)立雙曲線方程和直線方程，得到韋達(dá)定理和判別式，再將向量點(diǎn)乘式化成橫坐標(biāo)關(guān)系，再代入化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）由題意，，所以，，因此，雙曲線的離心率.（2）由直線與圓相切，得，即，聯(lián)立得，即，該一元二次方程的判別式，因此有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根之積為，因此兩根一正一負(fù)，即與雙曲線的左右兩支各有一個(gè)公共點(diǎn).（3）設(shè)，聯(lián)立，得，得，由可得.聯(lián)立得，得且分別交于左右兩支可得又，又、、、四個(gè)點(diǎn)在同一直線上，，，還可得，，即，化簡(jiǎn)后可得:，代入后化簡(jiǎn)可得:，解得，由，得.經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)與兩支分別有交點(diǎn)，為唯一滿足條件的實(shí)數(shù).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵是多次聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，再將向量式化簡(jiǎn)得，即，再代入韋達(dá)定理式計(jì)算即可.21．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意可知有唯一解，由可求出結(jié)果；（2）求以及，研究的單調(diào)性，分析的圖像，可得出的函數(shù)值中不存在值時(shí)的情況，列出等式可解出的取值；（3）從充分性以及必要性兩種情況來(lái)證.【詳解】（1）由題設(shè)知：有唯一解，即有唯一解，所以，解得：.所以的值為.（2），當(dāng)時(shí)，由可得：或，由可得：或，所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，，畫簡(jiǎn)圖如下：若的函數(shù)